數(shù)值分析課件-第2章

2.1引言許多實(shí)際問題都用函數(shù)y=f(x)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。若已知f(x)在某個(gè)區(qū)間[a,b]上存在、連續(xù)，但只能給出[a,b]上一系列點(diǎn)的函數(shù)值表時(shí)，或者函數(shù)有解析表達(dá)式，但計(jì)算過于復(fù)雜、使用不方便只給出函數(shù)值表（如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等）時(shí)，為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表上的函數(shù)值。因此我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個(gè)既能反映函數(shù)f(x)的特性，又便于計(jì)算的簡單函數(shù)P(x)，用P(x)近似f(x)。這就引出了插值問題。1、提出問題（插值法的定義）2、幾何意義、外插、內(nèi)插P(x)

f(x)x*(外插)x0x1x(內(nèi)插)x2x3P(x*)

f(x*)3、插值的種類選取不同的函數(shù)族構(gòu)造

P(x)

得到不同類型的插值若P(x)

是次數(shù)不超過n的代數(shù)多項(xiàng)式，就稱為多項(xiàng)式插值；若P(x)

為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值；若P(x)

為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值。主要研究內(nèi)容為如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)；討論插值多項(xiàng)式P(x)的存在唯一性、收斂性及估計(jì)誤差等。4、多項(xiàng)式插值問題插值多項(xiàng)式的存在唯一性

定理1

(存在唯一性)

滿足插值條件的不超過n

次的插值多項(xiàng)式是存在唯一的。2.2拉格朗日插值一、線性插值與拋物插值1、線性插值y=f(x)L1(x)yxxk+1xk02、拋物插值求解基函數(shù)二、拉格朗日插值多項(xiàng)式

上面針對(duì)n=1和n=2的情況，得到了一次和二次插值多項(xiàng)式，這種用基函數(shù)表示的方法很容易推廣到一般情況。下面討論如何構(gòu)造n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式。定理表明：(1)插值誤差與節(jié)點(diǎn)和點(diǎn)x之間的距離有關(guān),節(jié)點(diǎn)距離x越近,插值誤差一般情況下越小。

(2)若被插值函數(shù)f(x)本身就是不超過n次的多項(xiàng)式,則有f(x)≡g(x)。

3、應(yīng)用舉例用二次插值計(jì)算ln(11.25)的近似值,并估計(jì)誤差。例2-2

給定函數(shù)值表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949在區(qū)間[10,12]上lnx

的三階導(dǎo)數(shù)(2/x3)的上限M3=0.002,可得誤差估計(jì)式注：實(shí)際上,ln(11.25)=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058x1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2yi-2.0-0.80.41.2f-1(yi)=x1.01.41.82.00

?分析：求解如上問題等價(jià)于求解x關(guān)于y的反函數(shù)問題。2.3均差與牛頓插值公式一、均差及其性質(zhì)問題的引入：拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，理論分析方便，但插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值及函數(shù)均要隨之變化，實(shí)際計(jì)算不方便，希望把公式表示為如下形式。1、均差定義2、均差的基本性質(zhì)2、均差的基本性質(zhì)2、均差的基本性質(zhì)xi?(xi)一階均差二階均差三階均差…n階均差x0x1x2x3

xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)

?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]

?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]

?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]

?[xn-3,xn-2,x2,x3]………………

?[x0,x1,…,xn]均差計(jì)算表例如由函數(shù)y=(x)的函數(shù)表寫出均差表.解均差表如下i0123xi-2-112(xi)531721ixi?(xi)一階均差二階均差三階均差0123-2-112531721-2743-1-1二、牛頓插值公式解由差商表知[x0,x1]=-2,[x0,x1,x2]=3,[x0,x1,x2,x3]=-1,于是有N1(x)=5-2(x+2)=1-2xN2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9例2-6

對(duì)例如中的(x),求節(jié)點(diǎn)為x0,x1

的一次插值x0,x1,x2的

二次插值和x0,x1,x2,x3的三次插多項(xiàng)式.

ixi?(xi)一階均差二階均差三階均差0123-2-112531721-2743-1-1例2-7

給出f(x)的函數(shù)表，求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并計(jì)算f(0.596)的近似值。xi?(xi)一階均差二階均差三階均差四階均差五階均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.000122.4埃爾米特插值

不少實(shí)際的插值問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式。

y=L10(x)x012(x)129’(x)3xi?(xi)一階均差二階均差三階均差01121229137241解法二（用重節(jié)點(diǎn)的均差表建立埃爾米特多項(xiàng)式）2.5分段低次插值一、高次插值的病態(tài)性質(zhì)一般總認(rèn)為Ln(x)的次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好，但實(shí)際上并非如此。這是因?yàn)閷?duì)任意的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)n->∞時(shí)，Ln(x)不一定收斂于f(x)。20世紀(jì)初龍格（Runge）就給了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式Ln(x)不一定收斂于f(x)的例子。

y=L10(x)

x1y=L10(x)o-10.5y1.51龍格現(xiàn)象二、分段線性插值分段線性插值就是通過插值點(diǎn)用折線段連接起來逼近f(x).分段線性插值三、分段拋物插值三、分段拋物插值2.6三次樣條插值

樣條曲線實(shí)際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)。一、三次樣條函數(shù)y=L10(x)每個(gè)小區(qū)間上要確定4個(gè)待定系數(shù)，共有n個(gè)小區(qū)間，故應(yīng)確定4n個(gè)參數(shù)。y=L10(x)二、三次樣條插值函數(shù)的建立y=L10(x)y=L10(x)y=L10(x)y=L10(x)贈(zèng)送精美圖標(biāo)1、字體安裝與設(shè)置如果您對(duì)PPT模板中的字體風(fēng)格不滿意，可進(jìn)行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項(xiàng)卡中，點(diǎn)擊“替換”按鈕右側(cè)箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點(diǎn)擊“替換”按鈕