《概率論與數理統(tǒng)計》課件-第4章

第四章隨機變量的數字特征第一節(jié)數學期望第二節(jié)方差第三節(jié)協方差與相關系數本章小結

第一節(jié)數學期望

一、離散型隨機變量的數學期望定義4-1設離散型隨機變量X的分布律為

例4-1甲、乙兩人進行射擊訓練,所得環(huán)數分別記為X、Y,其分布律分別為

試比較他們成績的好壞。

解分別計算X和Y的數學期望:

這意味著,如果進行多次射擊,甲所得環(huán)數的平均值為9.7,而乙所得環(huán)數的平均值為9.6,因此甲的成績要好于乙。

1.0－1分布

設隨機變量X服從01分布,其分布律如表4-1所示。其中0<p<1,則E(X)=0×(1-p)+1×p=p。

2.二項分布

設隨機變量X服從二項分布B(n,p),即

則

3.泊松分布

設隨機變量X服從參數為λ的泊松分布P

(λ),其分布律為

則

二、連續(xù)型隨機變量的數學期望

例4-2設隨機變量X的概率密度為

求E(X)。

1.均勻分布

設隨機變量X~U(a,b),其概率密度為

則

即數學期望位于區(qū)間(a,b)的中點。

2.指數分布

設連續(xù)型隨機變量X服從參數為λ的指數分布E(λ),其概率密度

則

3.正態(tài)分布

設連續(xù)型隨機變量X服從參數為μ、σ(σ>0)的正態(tài)分布N(μ,σ2),其概率密度為

則

三、隨機變量函數的數學期望

定理4-1設g(x)是連續(xù)函數,Y是隨機變量X的函數:Y=g(X)。

(1)如果X是離散型隨機變量,其分布律為

例4-3設隨機變量X的分布律為

例4-4-設風速V在(0,a)上服從均勻分布,即具有概率密度

又設飛機機翼受到的正壓力W是V的函數:W=kV2(k>0且為常數),求E(W)。

四、數學期望的性質

設隨機變量X、Y的數學期望E(X)、E(Y)存在,C為常數,則有如下性質:

性質1

E(C)=C。

性質2

E(CX)=CE(X)。

性質3

E(X+Y)=E(X)+E(Y)。

此性質可推廣到任意有限個隨機變量之和的情況,即

性質4-當X、Y相互獨立時,有E(XY)=E(X)E(Y)

此性質可推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情況,即

例4-5設一電路中電流I(A)與電阻R(Ω)是兩個相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為

試求電壓V=IR的期望。

第二節(jié)方差

一、方差的概念引例甲、乙兩人進行射擊訓練,所得環(huán)數分別記為X、Y,其分布律分別為

試比較他們成績的好壞。

定義4-3設X是一個隨機變量,若數學期望E{[X-E(X)]2}存在,則稱E{[X-E(X)]2}為隨機變量X的方差,記為D(X)或Var(X),即

這樣,我們得到了計算方差的一個重要公式:

例4-6設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為

二、方差的性質

設隨機變量X、Y的方差D(X)、D(Y)都存在,C為常數,則有如下性質:

性質1D(C)=0。

性質2

D(CX)=C2D(X)。

性質3當X與Y相互獨立時,有

當X與Y不相互獨立時,有

證明由于

性質4-D(X)=0的充分必要條件是X以概率1取常數C,即P{X=C}=1,其中C=E(X)。

例4-7設隨機變量X服從0－1分布,其分布律為

例4-8設隨機變量X~U(a,b),求D(X)。

三、常用分布的期望和方差

六種常見分布的期望和方差的結果歸納見表4-2。

第三節(jié)協方差與相關系數

一、協方差定義4-4-設(X,Y)是一個二維隨機變量,且數學期望E(X)、E(Y)存在,如果

例4-9設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為

求Cov(X,Y)

例4-10設二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為

協方差具有下列性質:

性質1Cov(X,Y)=Cov(Y,X)。

性質2Cov(aX,bY)=abCov(Y,X),其中a、b為任意常數。

性質3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。

性質4-設X與Y相互獨立,則有Cov(X,Y)=0。

二、相關系數

定義4-5若D(X)>0,D(Y)>0,則稱為X和Y的相關系數,記為ρXY,即

例4-11設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯合分布律為

定理4-2若X、Y獨立,則X、Y不相關。

證明若X、Y獨立,則有