2018屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)訓(xùn)練題9

題組層級(jí)快練(二十)1．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)答案D解析原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝eq\f(1,2).2．(2014·重慶文)eq\f(sin47°－sin17°cos30°,cos17°)＝()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)答案C解析sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝eq\f(sin30°cos17°,cos17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).3．(2016·武漢調(diào)研)已知tan95°＝k，則tan35°＝()A.eq\f(\r(3)－k,1＋\r(3)) B.eq\f(k－\r(3),1＋\r(3)k)C.eq\f(k＋\r(3),1－\r(3)) D.eq\f(k＋\r(3),1＋\r(3))答案B解析∵tan95°＝tan(60°＋35°)＝eq\f(\r(3)＋tan35°,1－\r(3)tan35°)，∴tan35°＝eq\f(k－\r(3),1＋\r(3)k).4．已知sinα＝eq\f(12,13)，cosβ＝eq\f(4,5)，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于()A.eq\f(33,65) B.eq\f(63,65)C．－eq\f(16,65) D．－eq\f(56,65)答案A解析因?yàn)棣潦堑诙笙藿?，且sinα＝eq\f(12,13)，所以cosα＝－eq\r(1－\f(144,169))＝－eq\f(5,13).又因?yàn)棣率堑谒南笙藿?，cosβ＝eq\f(4,5)，所以sinβ＝－eq\r(1－\f(16,25))＝－eq\f(3,5).sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(12,13)×eq\f(4,5)－(－eq\f(5,13))×(－eq\f(3,5))＝eq\f(48－15,65)＝eq\f(33,65).5．在△ABC中，tanA＋tanB＋eq\r(3)＝eq\r(3)tanAtanB，則C等于()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)答案A解析由已知得tanA＋tanB＝－eq\r(3)(1－tanAtanB)，∴eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\r(3)，即tan(A＋B)＝－eq\r(3).又tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝eq\r(3)，0<C<π，∴C＝eq\f(π,3).6．設(shè)a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝eq\f(\r(6),2)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．b<c<a答案B解析a＝eq\r(2)sin(45°＋14°)＝eq\r(2)sin59°，b＝eq\r(2)sin(45°＋16°)＝eq\r(2)sin61°，c＝eq\f(\r(6),2)＝eq\r(2)sin60°，∴b>c>a.7．在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝eq\f(2\r(3),3)，則cosAcosB＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)答案B解析tanA＋tanB＝eq\f(sinA,cosA)＋eq\f(sinB,cosB)＝eq\f(sinAcosB＋cosAsinB,cosAcosB)＝eq\f(sin（A＋B）,cosAcosB)＝eq\f(sin60°,cosAcosB)＝eq\f(\f(\r(3),2),cosAcosB)＝eq\f(2\r(3),3)，∴cosAcosB＝eq\f(3,4).8．已知cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sin(α＋eq\f(7π,6))的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(1,2)答案C解析∵cos(α－eq\f(π,6))＋sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα＋eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5)，∴eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5).∴sin(α＋eq\f(7π,6))＝－sin(α＋eq\f(π,6))＝－(eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα)＝－eq\f(4,5).9．(2016·太原模擬)設(shè)α，β均為銳角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，則tanα的值為()A．2 B.eq\r(3)C．1 D.eq\f(\r(2),2)答案C解析由cos(α＋β)＝sin(α－β)得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosα(cosβ＋sinβ)＝sinα(cosβ＋sinβ)，因?yàn)棣聻殇J角，所以cosβ＋sinβ≠0，所以cosα＝sinα，所以tanα＝1.10．(2016·成都一診)若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β－α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈[eq\f(π,4)，π]，β∈[π，eq\f(3π,2)]，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4) B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4) D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)答案A解析因?yàn)棣痢蔥eq\f(π,4)，π]，故2α∈[eq\f(π,2)，2π]，又sin2α＝eq\f(\r(5),5)，故2α∈[eq\f(π,2)，π]，α∈[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]，∴cos2α＝－eq\f(2\r(5),5)，β∈[π，eq\f(3π,2)]，故β－α∈[eq\f(π,2)，eq\f(5π,4)]，于是cos(β－α)＝－eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－eq\f(2\r(5),5)×(－eq\f(3\r(10),10))－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，且α＋β∈[eq\f(5π,4)，2π]，故α＋β＝eq\f(7π,4).11．(2015·重慶理)若tanα＝2taneq\f(π,5)，則eq\f(cos（α－\f(3π,10)）,sin（α－\f(π,5)）)＝()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析eq\f(cos（α－\f(3π,10)）,sin（α－\f(π,5)）)＝eq\f(sin（α－\f(3π,10)＋\f(π,2)）,sin（α－\f(π,5)）)＝eq\f(sin（α＋\f(π,5)）,sin（α－\f(π,5)）)＝eq\f(sinαcos\f(π,5)＋cosαsin\f(π,5),sinαcos\f(π,5)－cosαsin\f(π,5))＝eq\f(\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),\f(sinα,cosα)cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)＋sin\f(π,5),2·\f(sin\f(π,5),cos\f(π,5))cos\f(π,5)－sin\f(π,5))＝eq\f(3sin\f(π,5),sin\f(π,5))＝3，故選C.12．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理)設(shè)θ為第二象限角，若tan(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1,2)，則sinθ＋cosθ＝________．答案－eq\f(\r(10),5)解析由tan(θ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanθ,1－tanθ)＝eq\f(1,2)，得tanθ＝－eq\f(1,3)，即sinθ＝－eq\f(1,3)cosθ.將其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得eq\f(10,9)cos2θ＝1.因?yàn)棣葹榈诙笙藿?，所以cosθ＝－eq\f(3\r(10),10)，sinθ＝eq\f(\r(10),10).所以sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(10),5).13．化簡(jiǎn)：eq\f(sin（3α－π）,sinα)＋eq\f(cos（3α－π）,cosα)＝________.答案－4cos2α解析原式＝eq\f(－sin3α,sinα)＋eq\f(－cos3α,cosα)＝－eq\f(sin3αcosα＋cos3αsinα,sinαcosα)＝－eq\f(sin4α,sinαcosα)＝－eq\f(4sinαcosα·cos2α,sinαcosα)＝－4cos2α.14．求值：(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),sin80°)＝________；(2)eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝________．答案(1)4(2)2解析(1)原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2（\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°）,sin10°cos10°)＝eq\f(4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin（30°－10°）,sin20°)＝4.(2)eq\f(3－sin70°,2－cos210°)＝eq\f(3－cos20°,2－cos210°)＝eq\f(3－（2cos210°－1）,2－cos210°)＝eq\f(4－2cos210°,2－cos210°)＝2.15．(2015·東北三校模擬)若cos(α＋eq\f(π,6))－sinα＝eq\f(3\r(3),5)，則sin(α＋eq\f(5π,6))＝________．答案eq\f(3,5)解析∵cos(α＋eq\f(π,6))－sinα＝eq\f(3\r(3),5)，∴eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα－sinα＝eq\f(3\r(3),5).即eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝eq\f(3\r(3),5)，得cosα－eq\r(3)sinα＝eq\f(6,5).∴sin(α＋eq\f(5π,6))＝sinαcoseq\f(5π,6)＋cosαsineq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝eq\f(1,2)(cosα－eq\r(3)sinα)＝eq\f(1,2)×eq\f(6,5)＝eq\f(3,5).16．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝eq\f(1,3)，則cos2α－sin2β＝________．答案eq\f(1,3)解析∵(cosαcosβ－sinαsinβ)(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(1,3)，∴cos2αcos2β－sin2αsin2β＝eq\f(1,3).∴cos2α(1－sin2β)－(1－cos2α)sin2β＝eq\f(1,3).∴cos2α－sin2β＝eq\f(1,3).17．(2015·廣東文)已知tanα＝2.(1)求tan(α＋eq\f(π,4))的值；(2)求eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值．答案(1)－3(2)1解析(1)tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝－3.(2)eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－（2cos2α－1）－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－2cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq\f(2×2,22＋2－2)＝1.18．已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).(1)求sin(α－β)的值．(2)求cosβ的值．答案(1)－eq\f(\r(10),10)(2)eq\f(9\r(10),50)解析(1)∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，從而－eq\f(π,2)<α－β<eq\f(π,2).又∵tan(α－β)＝－eq\f(1,3)<0，∴－eq\f(π,2)<α－β<0.∴sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)可得，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).∵α為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(3,5)×(－eq\f(\r(10),10))＝eq\f(9\r(10),50).1．(2015·重慶文)若tanα＝eq\f(1,3)，tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，則tanβ＝()A.eq\f(1,7) B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,7) D.eq\f(5,6)答案A解析tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)＋tanβ,1－\f(1,3)tanβ)＝eq\f(1,2)，解得tanβ＝eq\f(1,7).2．(1)(tan10°－eq\r(3))sin40°的值為()A．－1 B．0C．1 D．2答案A解析(tan10°－eq\r(3))·sin40°＝(eq\f(sin10°,cos10°)－eq\f(sin60°,cos60°))·sin40°＝eq\f(－sin50°,cos10°·cos60°)·sin40°＝－eq\f(2sin40°·cos40°,cos10°)＝－eq\f(sin80°,cos10°)＝－1.(2)eq\f(sin50°（1＋\r(3)tan10°）－cos20°,cos80°·\r(1－cos20°))＝________．答案eq\r(2)3．(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理)設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,2))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，則()A．3α－β＝eq\f(π,2) B．3α＋β＝eq\f(π,2)C．2α－β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)答案C解析∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴－β∈(－eq\f(π,2)，0)，∴α－β∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))．∵tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，∴eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ).即sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα.化簡(jiǎn)得sin(α－β)＝cosα.∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴cosα>0，sin(α－β)>0.∴α－β∈(0，eq\f(π,2))，得α－β＋α＝eq\f(π,2)，即2α－β＝eq\f(π,2)，故選C.4.如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE＝1，連接EC，ED，則sin∠CED＝()A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),10) D.eq\f(\r(5),15)答案B解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝eq\f(π,4).在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝eq\f(\r(5),5)，cos∠BEC＝eq\f(2\r(5),5).sin∠CED＝sin(eq\f(π,4)－∠BEC)＝eq\f(\r(2),2)cos∠BEC－eq\f(\r(2),2)sin∠BEC＝eq\f(\r(2),2)(eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(5),5))＝eq\f(\r(10),10).5．已知f(x)＝sinx－cosx，則f(eq\f(π,12))的值是()A．－eq\f(\r(6),2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)答案C解析因?yàn)閒(x)＝sinx－cosx＝eq\r(2)sin(x－eq\f(π,4))，所以f(eq\f(π,12))＝eq\r(2)sin(eq\f(π,12)－eq\f(π,4))＝eq\r(2)sin(－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(2),2).6．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，則tanα·tanβ＝________．答案eq\f(1,2)解析tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）)＝1－eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).故填eq\f(1,2).7．若cos(α＋β)＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，則tanα·tanβ＝________．答案eq\f(1,2)解析由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosαcosβ－sinαsinβ＝\f(1,5)，,cosαcosβ＋sinαsinβ＝\f(3,5)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosαcosβ＝\f(2,5)，,sinαsinβ＝\f(1,5)，))∴tanα·tanβ＝eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝eq\f(1,2).8．已知3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)cos(α＋φ)，其中－π<φ<π.則φ＝________．答案eq\f(π,6)9．已知0<α<eq\f(π,2)<β<π，taneq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，cos(β－α)＝eq\f(\r(2),10).(1)求sinα的值；(2)求β的值．答案(1)eq\f(4,5)(2)eq\f(3π,4)解析(1)方法一：sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cos2\f(α,2))＝eq\f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(4,5).方法二：因?yàn)閠anα＝eq\f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq\f(4,3)，所以eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(4,3).又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1，解得sinα＝eq\f(4,5).(2)因?yàn)?<α<eq\f(π,2