2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)2蝗制和蝗制與角度制的換算含解析新人教B版必修4

PAGE1-課時分層作業(yè)(二)弧度制和弧度制與角度制的換算(建議用時：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．－eq\f(25π,6)的角是()A．第一象限的角 B．其次象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角D[因?yàn)椋璭q\f(25π,6)＝－eq\f(π,6)－4π，所以－eq\f(25π,6)與－eq\f(π,6)的終邊相同，為第四象限的角．]2．若2rad的圓心角所對的弧長為4cm，則這個圓心角所對的扇形面積是()A．4cm2 B．2cm2C．4πcm2 D．2πcm2A[r＝eq\f(l,|α|)＝eq\f(4,2)＝2(cm)，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4(cm2)．]3．與30°角終邊相同的角的集合是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝k·360°＋\f(π,6)))，k∈Z))B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,6)，))k∈Z))D[∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，∴與30°終邊相同的全部角可表示為α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故選D.]4．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是4，則扇形的周長為()A．2 B．4C．6 D．8C[設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則由扇形面積公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周長為2r＋l＝6.]5．若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3) D．2C[設(shè)圓的半徑為r，則圓內(nèi)接正三角形邊長為eq\r(3)r，所以圓心角的弧度數(shù)為eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).]二、填空題6．把－570°寫成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π))的形式是________．－4π＋eq\f(5,6)π[－570°＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(570×\f(π,180)))rad＝－eq\f(19,6)πrad，∴－eq\f(19,6)π＝－4π＋eq\f(5,6)π.]7．已知一扇形的周長為eq\f(π,3)＋4，半徑r＝2，則扇形的圓心角為________．eq\f(π,6)[設(shè)扇形的圓心角為α，則eq\f(π,3)＋4＝2r＋2α.又∵r＝2，∴α＝eq\f(π,6).]8．經(jīng)過點(diǎn)P(a，a)(a≠0)的角α的集合是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))[當(dāng)a>0，點(diǎn)P(a，a)在第一象限，此時α＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z；a<0，點(diǎn)P(a，a)在第三象限，此時α＝2kπ＋eq\f(5,4)π，k∈Z，故滿意條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).]三、解答題9．已知角α的終邊與－eq\f(25,3)π的終邊關(guān)于x軸對稱，求角eq\f(α,3)在(－π，π)內(nèi)的值．[解]∵eq\f(25,3)π與－eq\f(25,3)π的終邊關(guān)于x軸對稱，且eq\f(25,3)π＝8π＋eq\f(π,3)，∴α與eq\f(π,3)的終邊相同．∴α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，eq\f(α,3)＝eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z)．∵－π<eq\f(α,3)<π，∴－π<eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)<π.當(dāng)k＝－1時，eq\f(α,3)＝－eq\f(5π,9)∈(－π，π)；當(dāng)k＝0時，eq\f(α,3)＝eq\f(π,9)∈(－π，π)；當(dāng)k＝1時，eq\f(α,3)＝eq\f(7π,9)∈(－π，π)．∴在(－π，π)內(nèi)eq\f(α,3)的值有三個，它們分別是－eq\f(5π,9)，eq\f(π,9)和eq\f(7π,9).10．已知一個扇形的周長是40，(1)若扇形的面積為100，求扇形的圓心角；(2)求扇形面積S的最大值．[解](1)設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝40，,\f(1,2)lr＝100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝20，,r＝10，))則α＝eq\f(l,r)＝2(rad)．故扇形的圓心角為2rad.(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，故S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(40－2r)·r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，故r＝10時，扇形面積S取最大值100.[等級過關(guān)練]1．假如一個圓的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，而弧長變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則該弧所對的圓心角是原來的()A.eq\f(1,2)倍 B．2倍C.eq\f(1,3)倍 D．3倍D[設(shè)圓的半徑為r，弧長為l，圓心角的弧度數(shù)為eq\f(l,r)，將半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，弧長變?yōu)樵瓉淼膃q\f(3,2)倍，則弧度數(shù)變?yōu)閑q\f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)＝3·eq\f(l,r)，即弧度數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍．]2．若α是第三象限的角，則π－eq\f(α,2)是()A．第一或其次象限的角B．第一或第三象限的角C．其次或第三象限的角D．其次或第四象限的角B[因?yàn)棣翞榈谌笙薜慕?，所以?kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，－kπ－eq\f(3,4)π<－eq\f(α,2)<－kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，故－kπ＋eq\f(π,4)<π－eq\f(α,2)<－kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，π－eq\f(α,2)在第一象限；當(dāng)k為奇數(shù)時，π－eq\f(α,2)在第三象限，故選B.]3．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把eq\f(3,5)π化成度＝________.(1)eq\f(3,8)π(2)108°[(1)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3,8)π.(2)eq\f(3,5)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,5)×\f(180,π)))°＝108°.]4．一個半徑為2的扇形，假如它的周長等于所在的半圓的弧長，那么扇形的圓心角是________弧度，扇形面積是________．π－22(π－2)[由題意知r＝2，l＋2r＝πr，∴l(xiāng)＝(π－2)r，∴圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(π－2r,r)＝π－2(rad)，扇形面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(π－2)·r·r＝2(π－2)．]5．已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.[解](1)由⊙O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧長l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝e