北師大版八年級數(shù)學下冊《1.3線段的垂直平分線》同步測試題（附答案）

第第頁北師大版八年級數(shù)學下冊《1.3線段的垂直平分線》同步測試題（附答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一、單選題（滿分24分）1．如圖，三個小朋友相約周末出去玩，圖中點A、B、C代表三人的家所在的位置，為公平起見，集合地應定在以下什么位置，可以使三個小朋友的家到集合地的距離相等？（）

A．在△ABC三條高線所在的直線的交點處B．在△ABC三條中線的交點處C．在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處D．在△ABC三條角平分線的交點處2．如圖，△ABC，AB>AC>BC，邊AB上存在一點P，使得PA+PC=AB．下列描述正確的是（

A．P是AC的垂直平分線與AB的交點 B．P是∠ACB的平分線與AB的交點C．P是BC的垂直平分線與AB的交點 D．P是AB的中點3．如圖，已知鈍角△ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡．步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫?、?；步驟2：以B為圓心，BA為半徑畫弧②，交?、儆邳cD；步驟3：連接AD，交BC延長線于點H．下列敘述錯誤的是（）A．BH垂直平分線段AD B．AC平分∠BADC．AH是△ABC的高 D．A點和D點關于直線BC對稱4．如圖，△ABC中，直線l是邊AB的垂直平分線，若直線l上存在點P，使得△PAC，△PAB均為等腰三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)共有（

）A．1 B．3 C．5 D．75．在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB，BC于點M，P，AC的垂直平分線分別交AC，BC于點N，Q．若BC=10，QP=2，則△AQP的周長為（

）A．8 B．10 C．14 D．10或146．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB，D為垂足，若AC=12，則CE的長度為（

A．4 B．5 C．6 D．87．如圖，在△ABC中，以點A為圓心，AC的長為半徑作圓弧交BC于點D，再分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點M和點N，連接MN交AB于點E．若AB=9，AC=7，則A．22 B．20 C．18 D．168．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=10，D是BC的中點，EF垂直平分AB，交AB于點E，交AC于點F．在EF上確定一點P，使PB+PD最小，則這個最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空題（滿分24分）9．如圖，用尺規(guī)作圖過直線l上一點P作已知直線l的垂線，圖中的點C是的交點．10．如圖，在△ABC中，BC=8，AB垂直平分線交AB于點M，交AC于點D，△BDC的周長為17，則AC為．11．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，點C在AE的垂直平分線上．若△ABC的周長為16cm，則DE的長為cm12．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點O，這兩條垂直平分線分別交BC于點D、E，已知△ADE的周長為15cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長為32cm，則OA的長為13．如圖，已知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線DE交于AC于點E，CE的垂直平分線正好經過點B，與AC相交于點F，求∠A的度數(shù)為°．14．如圖，已知AB平分∠CAD，AC=AD，E在AB上，結論：①BC=BD；②CE=DE；③BA平分∠CBD；④AB所在的直線是CD的垂直平分線．其中正確的是（填序號）15．如圖，在△ABC中，AB=AC，邊AC的垂直平分線MN分別交AB，AC于點M，N，點D是邊BC的中點，點P是MN上任意一點，連接PD，PC，若∠A=α，∠CPD=β，當△PCD周長取到最小值時，α，β之間的數(shù)量關系是．16．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，分別以點A，C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，AC長為半徑作弧，與直線DE交于點F，CF與AB交于點G，若AB=4，則CG三、解答題（滿分72分）17．如圖，在△ABC中，作邊AB的垂直平分線DE，與AB，BC分別相交于點D，E（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）；18．如圖，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于點F，交BC于點E，AD⊥BC,垂足為D，且BD=DE,連接AE．求證：AB=EC19．如圖，在△ABC中，點E是BC邊上的一點，連接AE，BD垂直平分AE，垂足為F，交AC于點D．連接DE．(1)若△ABC的周長為19，△DEC的周長為7，求AB的長；(2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠EAC的度數(shù)．20．如圖，在△ABC中，l是AB的垂直平分線，與邊AC交于點E，點D在l上，且DB=DC，連接AD．(1)求證∠CAD=∠ACD；(2)連接BE，若BD⊥CD，求證BE⊥AC．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為BC的中點，DE⊥AB，垂足為E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF(1)求證：BD=BF．(2)求證：AD⊥CF．(3)連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．22．如圖，∠ABC=∠ADC=90°，AC與BD相交于點E，∠ABD=∠ADB．(1)求證：AC垂直平分BD；(2)過點B作BF∥CD交CA的延長線于F，如果AB=AF；①求證：△BCD是等邊三角形；②如果G、H分別是線段AC、線段CD上的動點，當GH+AH為最小值時，請確定點H的位置，并思考此時GH與CH有怎樣的數(shù)量關系．23．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在AC邊上取一點D，連接BD，點E為線段BD上一點，以BE為斜邊作等腰Rt△BEF．連接AE、AF、CE，AF交BD于(1)如圖1，若AE垂直平分GD，①求證：∠AFE=∠CBD；②判斷CE與BF的關系，并說明理由；(2)如圖2，M是線段CE上一點，若∠FAM=45°，求證：CM=ME．參考答案：題號12345678答案CCBADADB1．解：根據(jù)垂直平分線性質可知，垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，所以集合地應定在△ABC三條邊的垂直平分線的交點處，故選：C．2．解：∵PA+PC=AB，∴PC=BP，∴P是BC的垂直平分線與AB的交點．故選：C．3．解：如圖：連接CD，BD∵以C為圓心，CA為半徑畫弧∴AC=CD∵以B為圓心，BA為半徑畫?、凇郆D=BA∴點B、C在AD的垂直平分線上．故選：A．4．解：如圖，AC的垂直平分線交l于P點，則AP=CP=BP此時△PAC，△PAB均為等腰三角形，共一點，故選A．5．解：如圖，當點P在點Q左側時，∵PM垂直平分AB，QN垂直平分AC，∴AP=BP，AQ=QC，∴△AQP的周長為AP+AQ+PQ=BP+QC+PQ=BC=10；當點P在點Q的右側時，∵PM垂直平分AB，QN垂直平分AC，∴AP=BP，AQ=QC，∴△AQP的周長為AP+AQ+PQ=BP+QC+PQ=BP+CP+PQ+PQ=BC+2PQ=10+4=14；綜上所述，△AQP的周長為10或14，故選：D．6．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵ED垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A，∴∠ABE=∠CBE=∠A，又∵∠C=90°，∴∠ABE+∠CBE+∠A=90°，解得∠CBE=30°，設AE=BE=x，則CE=AC?AE=12?x，∵在Rt△BCE中，∠C=90°，∠CBE=30°∴BE=2CE，即x=212?x解得x=8，即AE=8，∴CE=AC?AE=4．故選：A．7．解：∵以點A為圓心，AC的長為半徑作圓弧交BC于點D，∴AD=AC，∵分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作圓弧，兩弧分別交于點M和點N，連接MN交AB于點∴MN垂直平分BD，∴BE=DE，∴△ADE的周長為AD+AE+DE=AC+AE+BE=AC+AB，∵AB=9，AC=7，∴△ADE的周長為9+7=16，故選：D．8．解：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∵EF垂直平分AB，∴PA=PB,PB+PD=PA+PD，如圖，當P為EF與AD的交點時，PB+PD取最小值，此時PA+PD=AD=10，∴PB+PD的最小值為10，故選：B．9．解：過直線l上一點P作已知直線l的垂線的作法如下：①以P為圓心，以適當?shù)拈L為半徑畫弧，兩弧交在直線l上點P的兩旁為A，B；②分別以A、B為圓心，以大于12AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點③過點C、P作直線CP，則直線CP為所求作的直線；故答案為：分別以A、B為圓心，以大于1210．解：∵△BDC的周長為17，即BC+BD+CD=17，BC=8，∴8+BD+CD=17，∴BD+CD=17?8=9，∵AB垂直平分線交AB于點M，交AC于點D，∴BD=AD，且AC=AD+CD，∴BD+CD=AD+CD=9，故答案為：9．11．解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∴△ABC的周長=AB+AC+BC=2AC+2CD=16cm∴AC+CD=8cm∵點C在AE的垂直平分線上．∴AC=CE，∴CE+CD=DE=8cm故答案為：812．解：∵OM、ON分別為AB、AC的垂直平分線，∴DA=DB，OA=OB，EA=EC，OA=OC，∵△ADE的周長為15cm∴AD+DE+EA=15cm∴BD+DE+EC=15cm，即BC=15∵△OBC的周長為32cm∴OB+BC+OC=32cm∴2OA=32?15=17cm∴OA=8.5cm故答案為：8.5．13．解：如圖，連接BE，∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∵DE⊥AB，∴∠BED=∠AED=90°?∠A，∵BF是CE的垂直平分線，∴BC=BE，∴∠BEF=∠C，∵∠AED+∠BED+∠BEF=180°，∴2（∴∠C=2∠A，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∴∠A+∠C+∠C=∠A+7∠C=180°，∴∠A+2×2∠A=180°，∴∠A=36°，故答案為：36．14．解：∵AB平分∠CAD，∴∠CAB=∠DAB又∵AC=AD，AB=AB∴△ABC≌△ABD∴BC=BD，∠ABC=∠ABD，即BA平分∠CBD；故①③正確，又∵AC=AD∴AB垂直平分CD，故④正確，∵E在AB上，∴CE=DE，故②正確，故答案為：①②③④．15．解：如圖，連接AP．∵MN垂直平分AC，∴PA=PC，∠PAC=∠PCA，∴PC+PD=PA+PD，當A、P、D在同一直線上時，PA+PD最小，最小值為AD．∴△PCD周長最小值=PC+PD+CD=AD+CD．∵AB=AC，點D是邊BC的中點，∴∠BAC=2∠CAD，∵∠CPD=∠PAC+∠PCA=2∠CAD，∴∠BAC=∠CPD，即α=β．故答案為：α=β．16．解：如圖，連接AF，由題意可知，DE垂直平分AC，AC=CF，∴AF=CF，∴AF=CF=AC，∴△ACF是等邊三角形，∴∠ACF=60°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4∴BC=12AB=2∴∠BGC=90°，∴BG=1∴CG=B故答案為：3．17．解：邊AB的垂直平分線DE如圖所示．18．解：∵AD⊥BC，且BD=DE，∴AD垂直平分BE，∴AB=AE，∵EF垂直平分AC，∴EA=EC，∴AB=EC．19．（1）解：∵BD是線段AE的垂直平分線，∴AB=BE，AD=DE，∵△ABC的周長為19，△DEC的周長為7，∴AB+BE+CE+CD+AD=19，CD+EC+DE=CD+CE+AD=7，∴AB+BE=19?7=12，∴AB=BE=6；（2）解：∵∠ABC=30°，∠C=45°，∴∠BAC=180°?30°?45°=105°，∵AB=BE∴∠BAE=∠BEA=∴∠EAC=∠BAC?∠BAE=30°．20．（1）證明：∵l是AB的垂直平分線，點D在l上，∴DA=DB，∵DB=DC，∴DA=DC，∴∠CAD=∠ACD；（2）證明：∵l是AB的垂直平分線，點D在l上，∴DA=DB，EA=EB，∴∠DAB=∠DBA，∠EAB=∠EBA，∴∠EAB?∠DAB=∠EBA?∠DBA，∴∠EAD=∠EBD，即∠CAD=∠EBD，由（1）知∠CAD=∠ACD，∴∠ACD=∠EBD，設EA與CD的交點為G，∵∠CGE=∠BGD，BD⊥CD，∴∠CGE+∠BEC+∠ECD=∠BGD+∠CDB+∠DBE，∠CDB=90°，∴∠CEG=∠BDG=90°，∴BE⊥AC．21．（1）證明：∵BF∥AC，且∴∠CBF=90°，又AC=BC，∴∠DBA=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠BEF=∠DBF=90°，∴∠BDE=∠BFE=45°，∴BD=BF；（2）證明：由（1）可知BD=CD=BF，且CA=CB，∠ACB=∠CBF=90°，在△ACD和△CBF中，CD=BF∠ACD=CBF∴△ACD≌△CFBSAS∴∠CAD=∠BCF，∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠CDA=90°，∴∠BCF+∠CDA=90°，∴∠CGD=90°，∴AD⊥CF；（3）解：由（2）可知△ACD≌△CBF，∴AD=CF，由（1）可知AB垂直平分DF，∴AD=AF，∴AF=CF，∴△ACF為等腰三角形．22．（1）證明：∵∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC=90°，∴AB=AD，∠ABC?∠ABD=∠ADC?∠ADB，∴A在BD的垂直平分上，∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，∴C在BD的垂直平分上，∴AC垂直平分BD；（2）①證明：設∠F=α，∵AB=AF，∴∠ABF=∠F=α，∵∠BAC是△ABF的外角，∴∠BAC=∠F+∠AFB=2α，由（1）AC⊥BD，CB=CD，∴∠BCE=∠DCE，∵BF∥CD，∴∠F=∠DCE，∴∠F=∠BCE=α，∵∠ABC=90°，∴∠BCE+∠BAC=90°，即α+2α=90°，則α=30°，∴∠DCB=2∠BCE=60°，∵BC=CD，∴△BCD是等邊三角形；②GH+AH為最小值時，GH與CH的數(shù)量關系是CH=2GH，理由：延長AD至A′，使D∵CD⊥AD，∴A與A′關于CD成軸對稱，過A′作A′G⊥AC于G交CD于∴AH=A∴AH+GH=A′H+GH=由①知：∠DCE=30°，即∠GCH=30°，∵A′G⊥AC∴在Rt△GCH中，∠GCH=30°∴CH=2GH，∴GH+AH為最小值時，GH與CH的數(shù)量關系是CH=2GH．23．（1）①證明：如圖，過F作FK⊥BD于點K，則∠FKE=∠FKB=90°，∵△BEF是等腰直角三角形，∴∠FEB=∠FBE=45°，∴∠EFK=45°，即∠AFE+∠GFK=45°，同理：∠CBD+∠ABD=45°，∵AE垂直平分GD，∴AD=AG，AE⊥DG，∴∠GAE=∠DAE，∠AED=∠AEG=90