高中數(shù)學復習 均值不等式及不等式綜合（原卷版）

均值不等式及不等式綜合目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：公式直接用 1題型二：公式成立條件 2題型三：對勾型湊配 3題型四：“1”的代換：基礎代換型 4題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型 4題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型 5題型七：分母構造型：分母和定無條件型 5題型八：分母構造型：分離型型 6題型九：分母構造型：一個分母構造型 7題型十：分母構造型：兩個分母構造型 7題型十一：分離常數(shù)構造型 8題型十二：換元構造型 9題型十三：分母拆解湊配型 9題型十四：萬能“K”型 10題型十五：均值不等式應用比大小 11題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型 12題型十七：因式分解型 12題型十八：三元型不等式 13題型一：公式直接用基本不等式基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)；基本不等式成立的條件：a>0，b>0； (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b.基本不等式的變形：①a＋b≥2eq\r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，常用于求積的最大值；1．（22-23高三·北京·階段練習）若，且，則在下列四個選項中，最大的是（

）A． B． C． D．2．（22-23高三·全國·課后作業(yè)）若，則下列不等式中不成立的是（

）A． B．C． D．3．（22-23高一下·黑龍江佳木斯·開學考試）設，，且，則的最小值為（

）A．18 B．9 C．6 D．34．（23-24高一下·河南·開學考試）設，則（

）A． B．C． D．5．（2024·重慶·模擬預測）設且，則的最大值為題型二：公式成立條件利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.1．（23-24高三·遼寧本溪·開學考試）下列函數(shù)中，最小值為2的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三·安徽六安·開學考試）設，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，且，則B．若，則C．若，則D．對任意，均成立.4．（多選）（23-24高三·四川眉山·期中）下列結論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則5．（多選）（23-24高三·重慶南岸·期中）下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是 B．函數(shù)的最小值是2C．函數(shù)的最小值是6 D．若，則的最小值是86．（多選）（23-24高三·貴州貴陽·階段練習）下列命題中正確的是（

）A．當時，B．若，則函數(shù)的最小值等于C．若，則的取值范圍是D．的最大值是題型三：對勾型湊配1.對勾型結構：1.對勾型結構：容易出問題的地方，在于能否“取等”,如，2.對勾添加常數(shù)型對于形如，則把轉化為分母的線性關系：可消去。不必記憶，直接根據(jù)結構轉化1．（2023·湖南岳陽·模擬預測）已知函數(shù)，則當時，有（

）A．最大值 B．最小值C．最大值 D．最小值2．（23-24高三·陜西西安·階段練習）函數(shù)的最小值為（

）A．2 B．5 C．6 D．73．（21-22高二上·陜西咸陽·期中）已知函數(shù)的定義域為，則的最大值為（

）A．5 B． C．1 D．4．（23-24高三·吉林·階段練習）已知，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．125．（23-24高三·廣東佛山·模擬）函數(shù)，的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．5題型四：“1”的代換：基礎代換型“1”的代換“1”的代換.利用常數(shù)代換法。多稱之為“1”的代換1．（2022高三上·全國·專題練習）若，，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（23-24高三·貴州黔南·階段練習）已知且，則的最小值為（）A． B．8 C．9 D．103．（23-24高三·河南南陽·階段練習）若，，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．3 D．84．（22-23高一下·湖南邵陽·階段練習）設，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．5．（22-23高三·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）已知x，y為正實數(shù)，且，則的最小值是（

）A．2 B．4 C．8 D．16題型五：“1”的代換：有和有積無常數(shù)型有和有積無常數(shù)有和有積無常數(shù)形如，可以通過同除ab，化為構造“1”的代換求解1．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）若，，且，則的最小值為（

）A． B． C．6 D．2．（23-24高二上·陜西西安·期中）已知且，則的最小值為（

）A． B．10 C．9 D．3．（2022·四川樂山·一模）已知，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（21-22高三·山西太原·階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．3 C． D．5．（23-24高一下·廣西·開學考試）已知，，且，則的最小值是（

）A． B． C． D．題型六：“1”的代換：有和有積有常數(shù)型有和有積有常數(shù)有和有積有常數(shù)形如求型，可以對“積pxy”部分用均值，再解不等式，注意湊配對應的“和”的系數(shù)系數(shù)，如下：1．（23-24高三·廣西·模擬）已知，則的最大值為（

）A．2 B．4 C．8 D．2．（23-24高三·甘肅·模擬）若正數(shù)a，b滿足，則ab的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三·江蘇·模擬）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．4 D．24．（23-24高三·安徽阜陽·模擬）已知正實數(shù)滿足，記的最小值為；若且滿足，記的最小值為.則的值為（

）A．30 B．32 C．34 D．365．（23-24高三·福建莆田·模擬）已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．題型七：分母構造型：分母和定無條件型無條件分母和定型無條件分母和定型型，滿足（定值），則可以構造1．（2020高三·全國·專題練習）的最小值為（

）A．2 B．16 C．8 D．122．（21-22高三·福建莆田·期末）當時，的最小值為（

）A． B． C．6 D．3．（2024·山西臨汾·三模）若，則的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．4．（22-23高三·江蘇南通·模擬）函數(shù)（）的最小值是（）A． B． C． D．5．（23-24高三·四川成都·期中）若，則的最小值為（

）A．12 B． C． D．題型八：分母構造型：分離型型對勾分離常數(shù)型（換元型）對勾分離常數(shù)型（換元型）型，可以通過換元分離降冪，轉化為對勾型1．（21-22高三·遼寧沈陽·模擬）若不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·海南?？凇るA段練習）若函數(shù)在是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2020高三·河北石家莊·階段練習）已知，則的最大值是（

）A． B． C．2 D．74．（20-21高三·遼寧大連·模擬）“”是“關于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（20-21高三·浙江紹興·期中）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值題型九：分母構造型：一個分母構造型單分母單分母形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。1．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知非負實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．3．（23-24高三下·江蘇揚州·開學考試）已知實數(shù)，，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三·浙江·模擬）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．95．（23-24高三·廣東肇慶·模擬）已知，，，則的最小值為（

）A．15 B．16 C．17 D．18題型十：分母構造型：兩個分母構造型雙分母雙分母形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調換a、b系數(shù)，來進行變換湊配。1．（2024·全國·模擬預測）設正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，則的最小值為（

）A．1 B． C．9 D．3．（23-24高三·江蘇徐州·階段練習）已知正實數(shù)滿足，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·江蘇南京·階段練習）已知非負實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高三·湖北·階段練習）若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．題型十一：分離常數(shù)構造型對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解對于分式型不等式求最值，如果分子上有變量，可以通過常數(shù)代換或者分離常熟，消去分子上變量，轉化為分式型常數(shù)代換或者分式型分母和定來求解分離常數(shù)技巧：1．（23-24高三·廣東佛山·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·廣東東莞·期中）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三·全國·期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．54．（23-24高三·湖北武漢·模擬）已知且，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．5．（22-23高一下·云南·階段練習）已知，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．題型十二：換元構造型若已知若已知（定值），型，則可通過線性換元，令，反解出代入條件等式中，換元為簡單的條件不等式1．（23-24高三上·四川巴中·開學考試）已知且，則的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．72．（23-24高三上·山東·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（21-22高三·河南洛陽·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．4．（22-23高三上·江西南昌·階段練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．（2022·安徽合肥·模擬預測）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值（

）A． B． C． D．題型十三：分母拆解湊配型湊配拆解型湊配拆解型形如，求型，則可以湊配，再利用“1”的代換來求解。其中可以任意調換a、b系數(shù)，來進行變換湊配1．（22-23高三上·河北保定·階段練習）不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．12 D．103．（19-20高三上·陜西榆林·階段練習）已知的值域為，當正數(shù)滿足時，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高三下·河北·開學考試）已知，均為正實數(shù)，且滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．題型十四：萬能“K”型一般情況下的“萬能K法”一般情況下的“萬能K法”設K法的三個步驟：⑴、問誰設誰：求誰，誰就是K；⑵、代入整理：整理成某個變量的一元二次方程（或不等式）；⑶、確認最值：方程有解（或不等式用均值放縮），≥0確定最值。求誰設誰，構造方程用均值1．（22-23高三上·江蘇南京·模擬）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．92.（2022·全國·高一課時練習）已知為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（2022秋·四川成都·高一成都外國語學校?？计谥校┮阎龜?shù)滿足，則的最大值是.4.（21-22高三上·湖北襄陽·期中）若正數(shù)滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．2題型十五：均值不等式應用比大小幾個重要不等式幾個重要不等式（1）_（）；（2）（）；（3）2（）；（4）__或（）；（5）1．（23-24高三下·全國·階段練習）已知，則（

）A． B．C． D．2．（2023·河南洛陽·一模）下列結論正確的是（

）A． B．C． D．3．（22-23高三·江蘇常州·模擬）若且，設，，，則（

）A． B．C． D．4．（2022·全國·模擬預測）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三·浙江溫州·模擬）已知，則（

）A． B． C． D．題型十六：利用均值不等式求恒成立參數(shù)型恒成立：恒成立：①若在上恒成立，則；②若在上恒成立，則；③若在上有解，則；④若在上有解，則；函數(shù)最值，符合均值不等式條件的，可以構造均值不等式放縮求最值1．（22-23高三·福建廈門·階段練習）已知不等式對滿足的所有正實數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最小值為（

）A． B．1 C． D．22．（23-24高三·甘肅蘭州·期末）對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值（

）A．2 B．4 C． D．3．（23-24高三上·河北邢臺·階段練習）不等式對所有的正實數(shù),恒成立，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．14．（22-23高三上·河南鄭州·模擬）已知正數(shù)a，b滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型十七：因式分解型如果條件（或者結論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉化求解如果條件（或者結論）可以因式分解，則可以通過對分解后因式雙換元來轉化求解1.特征：條件式子復雜，一般有一次和二次（因式分解展開就是一次和二次），可能就符合因式分解原理2.最常見的因式分解：1.（2023·全國·高三專題練習）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是．2.（22-23高三上·