5年級下冊第04講-計(jì)算綜合一

第四講計(jì)算綜合一

看完前面的故事，同學(xué)們可能有些疑問，真的需要那么多麥子嗎？同學(xué)們可以試著算一算：從第一個棋盤開始，需要的麥子數(shù)分別為：1粒、2粒、4粒、8粒、16粒、32粒、64粒、128粒、256粒、512粒、1024粒、2048粒、……寫到這里，同學(xué)們可以看出，開始的時候麥粒數(shù)量并不大，但越到后面數(shù)量越多，最終會達(dá)到全世界都無法承受的程度．我們的直覺往往是正確的，但有的時候我們也會被直覺所欺騙．麥粒數(shù)量形成的這串?dāng)?shù)列，就叫做等比數(shù)列．等比數(shù)列就是按照相同的倍數(shù)增加（或減少）的數(shù)列，例如“麥粒數(shù)列”就是按照2倍的速度增加的，這個相同的倍數(shù)就是公比，“麥粒數(shù)列”的公比就是2．同等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列同樣有首項(xiàng)，末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)，同學(xué)們可以想一想如何通過首項(xiàng)和公比將等比數(shù)列的每一項(xiàng)都表示出來．等差數(shù)列求和是利用“倒序相加”或“配對求和”的方法，那么等比數(shù)列如何求和呢？我們來看一個例題．例題1．計(jì)算： （1）；（2）．分析：這是一個等比數(shù)列求和的問題.如果一個一個的計(jì)算會有點(diǎn)復(fù)雜，那么該如何簡便地算出數(shù)列的和呢？

練習(xí)1．（1）；（2）．（）等比數(shù)列求和，最常用的是“錯位相減”法.其基本步驟是：設(shè)等比數(shù)列的和為S；等式兩邊同時乘以公比（或者公比的倒數(shù)）；兩式對應(yīng)的項(xiàng)相減，消去同樣的項(xiàng)，求出結(jié)果．

有關(guān)等比數(shù)列的知識，同學(xué)們到中學(xué)以后還會繼續(xù)學(xué)習(xí)，在這里只需掌握簡單的等比數(shù)列求和即可．下面我們看一些技巧性比較強(qiáng)的分?jǐn)?shù)計(jì)算的題目，首先我們先來看一個整體約分的題目．例題2．計(jì)算：．分析：注意到是的倍，是的倍，是的倍，那么可以把都提出來．分母也可以同樣處理．

練習(xí)2．計(jì)算：．

除了整體約分，有時候我們也可以對計(jì)算中的某些數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱?，從而避免很多冗繁的?jì)算．使得計(jì)算過程呈現(xiàn)出“四兩撥千斤”的效果．

例題3．計(jì)算：．分析：把算式里的某些數(shù)適當(dāng)拆分，可以簡化計(jì)算的過程．練習(xí)3．計(jì)算：．例題4．計(jì)算：．分析：利用前面兩道題目用過的技巧，就可以解決這道題目了．練習(xí)4．計(jì)算：．例題5．定義新運(yùn)算為a與b之間（包含a，b）所有與a奇偶性相同的自然數(shù)的平均數(shù)，例如：

，．（1）計(jì)算：；（2）在算式的方框中填入恰當(dāng)?shù)淖匀粩?shù)后可使等式成立，請問：所填的數(shù)是什么？分析：根據(jù)題意，可知是公差為2的等差數(shù)列的平均數(shù)．想一下，等差數(shù)列的平均數(shù)有什么簡便算法嗎？

最后我們來看一下數(shù)列數(shù)表的問題，數(shù)列數(shù)表的問題一般難度比較大，需要我們仔細(xì)觀察，尋找規(guī)律．例題6．觀察數(shù)列的規(guī)律，求：（1）是數(shù)列中第幾項(xiàng)？（2）數(shù)列中第100個分?jǐn)?shù)是多少？分析：觀察數(shù)列，你找到什么規(guī)律了嗎？又如何來利用這些規(guī)律呢？

心算能力超強(qiáng)的數(shù)學(xué)家“歐拉進(jìn)行計(jì)算看起來毫不費(fèi)勁兒，就像人進(jìn)行呼吸，像鷹在風(fēng)中盤旋一樣．”(數(shù)學(xué)家阿拉戈語)歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫下了浩如煙海的書籍和論文．他心算能力極強(qiáng)，如果你問他前一百個質(zhì)數(shù)中任何一個數(shù)的六次方，他都可以瞬間告訴你結(jié)果．有一次歐拉的兩個學(xué)生算無窮級數(shù)求和，算到第17項(xiàng)時兩人在小數(shù)點(diǎn)后第50位數(shù)字上發(fā)生爭執(zhí)，歐拉這時進(jìn)行心算，迅速給出了正確答案．萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler）約翰·馮·諾依曼（JohnVonNeumann）（1707年4月15日～1783年9月18日）（1903年12月28日~1957年2月8日）約翰·馮·諾依曼，被譽(yù)為“現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)之父”，也是公認(rèn)的數(shù)學(xué)天才．據(jù)說：六歲時他能心算八位數(shù)乘除法，八歲時掌握微積分，十二歲就讀懂領(lǐng)會了波萊爾的大作《函數(shù)論》要義．有一次，美國物理學(xué)家塞格雷（諾貝爾獎獲得者）和同事（也是個諾貝爾獎牛人）為一個積分問題奮斗了一個下午，卻毫無進(jìn)展．這時他們從開著的門縫中看到馮·諾依曼正沿著走廊朝他們的辦公室走來，于是他們問馮·諾依曼：“您能幫我們解決這個積分問題嗎？”困擾他們的積分問題就寫在移