5年級下冊第09講-立體幾何

第九講立體幾何------------------------------------------------------------------------------------首先，我們來學習一下長方體、正方體的體積與表面積的計算方法．圖形圖形體積表面積abca練一練．一個正方體的棱長總和是72厘米，它的一個面是邊長_______厘米的正方形，它的表面積是_______平方厘米，體積是_______一個長方體的長是5分米，寬是45厘米，高是24厘米，它的表面積是_______平方厘米，體積是做一個長8分米，寬4分米，高6分米的長方體玻璃魚缸，至少需要_______平方分米的玻璃．有一塊棱長是10厘米的正方體的鐵塊，現(xiàn)在要把它熔鑄成一個橫截面積是20平方厘米的長方體，這個長方體的長是_______厘米．如果要求這個長方體每條棱的長度都是整數(shù)厘米，它的表面積最小是_______平方厘米．相信同學們對于這些公式都很熟悉，但是對于較復雜的立體圖形，往往我們并不能直接應用公式進行計算，這個時候又該怎么辦呢？------------------------------------------------------------------------------------例題1．有30個邊長為1米的正方體，如圖所示堆成一個四層的立體圖形．請問：該立體圖形的表面積等于多少平方米？分析：所謂表面積，就是立體圖形露在外面的總面積．我們可以從上、下、左、右、前、后6個不同的方向去考慮這個立體圖形，把每個方向露出的面積加在一起就行了．練習1．用14個棱長是1厘米在觀察物體的時候，我們往往可以從不同的角度進行觀察．角度不同，看到的風景就會不同．比如：我們可以從正面看，上面看，左面看，看到的圖形分別稱為正視圖，俯視圖和左視圖．并且容易發(fā)現(xiàn)：正面看和后面看，上面看和下面看，左面看和右面看得到的圖形是相同的．對于較復雜的立體圖形，通過三視圖法往往可以很方便地計算出表面積．例題2．一個正方體被切成24個大小形狀相同的小長方體（見下圖），這些小長方體的表面積之和為162平方厘米，那么原正方體的體積是多少立方厘米？

分析：我們先來分析一下切成小塊的過程中，圖形的表面積是如何變化的．同學們請看下圖：

一刀下去，正方體被一分為二．表面積和原來比，正好多出了A，B兩個面．不難看出，這兩個面的面積都等于原正方體6個面中1個面的面積．按這種方法，每切一刀，增加的都是兩個面的面積．同學們可以計算一下，按如圖的方式切了6刀后，表面積究竟增加了多少？練習2．一個正方體被切成36個大小形狀相同的小長方體（見下圖），這些小長方體的表面積之和為500平方厘米，那么原正方體的體積是多少立方厘米？例題3．如圖，有一個邊長為30厘米的大正方體，分別在它的角上、棱上、面上各挖掉一個大小相同的小正方體后，表面積變?yōu)?496平方厘米，那么挖掉的小正方體的棱長是多少厘米？分析：挖去小正方體后，表面積會發(fā)生變化．如果挖的位置，最終結果會有區(qū)別嗎？練習3．一個正方體棱長10厘米，在它的表面上挖去一個棱長3厘米的小正方體．請求出剩下立體圖形表面積的所有可能．除了長方體、正方體之外，圓柱和圓錐在我們的生活中也特別常見．高高底面?zhèn)让婺妇€高頂點底面如圖，圓柱的兩個圓面叫做底面；周圍的面叫做側面；兩個底面之間的距離叫做高．圓錐的圓面叫做底面；尖點叫做頂點；頂點到底面的距離叫做高，頂點到底面圓周上任意一點的連線叫做母線．關于圓錐的內容，我們不作深入的學習，同學們只需要學會如何計算它的體積即可．大家可以把圓柱想象成一個底面是圓形的柱子，那其他柱體也就是底面是其他圖形的柱子．如圖，所有“上下一般粗”的圖形都稱為柱體，圖中的兩個圖形分別叫做三棱柱和四棱柱，它們的體積計算公式都是：立體圖形立體圖形體積側面展開圖

圓柱的側面展開圖為長方形，長為圓柱底面周長，寬為圓柱的高．圓錐的側面展開圖為扇形，半徑為母線（不是圓錐的高！），弧長為圓錐底面周長．（注：圓錐側面展開只需了解，不需掌握）hrrh例題4．（1）如下左圖，是長為8，寬為4的長方形，以長方形的長為軸旋轉一周，求所形成的立體圖形的體積和表面積是多少．

（2）如下右圖，是直角邊分別為3和4的直角三角形，以邊長為4的直角邊為軸旋轉一周，求所形成的立體圖形的體積．

分析：圓柱體的底面半徑和高與長方形的長和高有什么關系？圓錐體呢？練習4．有一個圓柱和一個圓錐，它們的高和底面直徑如圖所示．圓柱體積及表面積分別是多少？圓錐的體積是多少？（π取3.14）66633

例題5．下圖是一個棱長為4厘米的正方體，分別在前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一個棱長1分析：打穿以后，表面積的計算有點復雜．想想都有哪些面是露在外面的？例題6．如圖，一個底面長20分米，寬8分米，高15分米的長方形水池，存有三分之二池水．將一個高50分米，體積400立方分米的長方體豎直放入池中，那么長方體被水浸濕的部分有幾分米高？分析：很明顯長方體沒有被水浸沒，還有一部分在外面．水的體積沒有變化過，但是形狀發(fā)生了變化．原來是一個長方體，后來是什么樣的形狀？-

正多面體正多面體，指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數(shù)都是一樣的凸多面體．一共有五種正多面體，分別是正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體．這些正多面體的作法都收錄在了《幾何原本》的第13卷中．

柏拉圖認為世界萬物都是由火、氣、水、土四元素構成的，其形狀如正多面體中的四個．火的熱令人感到尖銳和刺痛，好像小小的正四面體．空氣是用正八面體制的，可以粗略感受到，它極細小的結合體十分順滑．當水放到人的手上，它會自然流出，那它就應該是由很多小球所組成，好像正二十面體．土與其他的元素相異，因為它可以被堆棧，正如立方體．剩下沒有用的正多面體——正十二面體，柏拉圖以不清晰的語調寫道：“神使用正十二面體以整理整個天空旳星座．”柏拉圖的學生亞里士多德添加了第五個元素——以太，并認為天空是用此組成，但他沒有將以太和正十二面體聯(lián)系起來．約翰內斯·開普勒依隨文藝復興建立數(shù)學對應的傳統(tǒng)，將五個正多面體對應五個行星——水星、金星、火星、木星和土星，同時它們本身亦對應了五個古典元素．在立體圖形中，正多面體非常對稱．除了正多面體之外，還有很多圖形也具有非常漂亮的對稱性．下面就是一些例子，不過要注意，它們可不是正多面體哦．

如圖所示，一個正方體被切成16個大小形狀相同的小長方體，這些小長方體的表面積之和為256平方厘米，那么原正方體的體積是多少？

一個正方體棱長8厘米，在它的表面上挖去一個棱長為2厘米的小正方體．則剩下的立體圖形表面積可能是多少？

如圖，有一個邊長為20厘米的大正方體