全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·選擇性必修第三冊(人教A版)·課件 8.3.2 獨立性檢驗

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗8.3.2獨立性檢驗學(xué)習(xí)目標素養(yǎng)要求1.了解隨機變量χ2的意義數(shù)學(xué)抽象2.通過對典型案例分析，了解獨立性檢驗的基本思想和方法數(shù)據(jù)分析3.會用獨立性檢驗解決簡單的實際問題數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析自學(xué)導(dǎo)引(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對分類變量，我們希望判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)，注意到{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對立事件，我們需要判斷下面的假定關(guān)系H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)是否成立，通常稱H0為零假設(shè)或原假設(shè)．零假設(shè)(2)分類變量X和Y獨立：如果{X＝0}與{Y＝0}獨立，{X＝0}與{Y＝1}獨立，{X＝1}與{Y＝0}獨立，{X＝1}與{Y＝1}獨立，我們就稱分類變量X和Y獨立．因此，我們可以用概率語言，將零假設(shè)改述為H0：分類變量X和Y獨立．(1)定義：利用χ2的取值推斷分類變量X和Y____________的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱______________．(2)公式：χ2＝________________________，其中n＝_____________為樣本量．(3)臨界值：對于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)xα，使得下面關(guān)系成立：__________________，我們稱xα為α的____________．是否獨立獨立性檢驗獨立性檢驗a＋b＋c＋dP(χ2≥xα)＝α臨界值(4)基于小概率值α的檢驗規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認為X和Y____________，該推斷犯錯誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認為X和Y__________．(5)臨界值表不獨立α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828獨立注意：查表時不是查最大允許值，而是先根據(jù)題目要求的百分比找到第一行對應(yīng)的數(shù)值，再將該數(shù)值對應(yīng)的xα值與求得的χ2相比較．用χ2進行獨立性檢驗的依據(jù)獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學(xué)中的反證法．先假設(shè)“兩個分類變量獨立”成立，計算隨機變量χ2的值，如果χ2值很大，說明假設(shè)不合理．χ2越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大．用獨立性檢驗解決實際問題時，為了保證更好的精度，樣本量n＝a＋b＋c＋d的大小有什么要求？提示：一般來說，n＝a＋b＋c＋d越大，精度越高，且通常要求a，b，c和d都不小于5.(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計算χ2的值，并與臨界值xα比較；(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；(4)在X和Y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．注意：上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進行調(diào)整．應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題的大致步驟1．辨析記憶(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)獨立性檢驗的第一步是提出零假設(shè)H0：X和Y有關(guān)． (

)(2)χ2越小，獨立性越強，相關(guān)性越弱． (

)(3)χ2越大，獨立性越弱，相關(guān)性越強． (

)(4)列聯(lián)表頻率分析法可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨立性檢驗中χ2取值則可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大小．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√2．(教材例題改編)某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對待某一活動的態(tài)度”是否有關(guān)，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝7.069，則認為“學(xué)生性別與支持某項活動有關(guān)系”的犯錯誤的概率不超過

(

)A．0.1%

B．1%C．99% D．99.9%【答案】B【解析】∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認為“學(xué)生性別與支持某項活動有關(guān)系”的犯錯誤的概率不超過1%.3．(教材例題改編)根據(jù)下表計算χ2≈________．(保留3位小數(shù))性別不看電視看電視男3785女35143【答案】4.5144．某班主任對全班50名學(xué)生進行了一次調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表：態(tài)度認為作業(yè)多認為作業(yè)不多合計喜歡玩電腦游戲18927不喜歡玩電腦游戲81523合計262450由表中數(shù)據(jù)計算得到χ2≈5.059，依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗，認為喜歡玩電腦游戲與認為作業(yè)多________(填“有關(guān)聯(lián)”或“無關(guān)聯(lián)”).【答案】無關(guān)聯(lián)課堂互動(2024年濱州期中)在當(dāng)今提倡全球環(huán)保的前提下，新能源汽車越來越受到消費者的青睞，某車企隨機調(diào)查了今年3月份購買本車企生產(chǎn)的汽車的100位車主，經(jīng)統(tǒng)計其購車種類與性別情況如表所示(單位：人).題型1有關(guān)“相關(guān)的檢驗”性別購車種類合計購置新能源汽車購置傳統(tǒng)燃油汽車男性501060女性251540合計7525100根據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，分析購車種類是否與性別有關(guān)．獨立性檢驗的具體做法(1)根據(jù)實際問題的需要確定允許推斷“兩個分類變量有關(guān)聯(lián)”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值xα.(2)利用公式計算隨機變量χ2.(3)如果χ2≥xα，推斷“X與Y有關(guān)聯(lián)”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α.1．(2024年衡陽期中)為了了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班45人進行了問卷調(diào)查得到了如下的2×2列聯(lián)表：性別打籃球合計喜愛不喜愛男

5

女5

合計

45補充2×2列聯(lián)表如下：性別打籃球合計喜愛不喜愛男20525女51520合計252045(2024年佛山期中)某省進行高中新課程改革，為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．題型2分類變量“無關(guān)的檢驗”解：(1)2×2列聯(lián)表如表所示：教師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計341650獨立性檢驗的關(guān)注點(1)步驟：列表，計算，比較χ2與臨界值χα的大小，判斷．(2)注意兩點：①χ2計算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細心．②判斷時把計算結(jié)果與臨界值比較，其值越大，有關(guān)的可信度越高．2．(2024年青島期中)學(xué)校舉行運動會，為了搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、女志愿者中分別有10人和6人喜愛運動，其余人不喜愛運動．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表：性別運動的喜好合計喜愛不喜愛男10

16女6

14合計

30(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為性別與喜愛運動有關(guān)？解：(1)由題設(shè)條件，得2×2列聯(lián)表：性別運動的喜好合計喜愛不喜愛男10616女6814合計161430第33屆奧運會于2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行．為了宣傳奧運精神，某校高二年級舉辦了奧運會知識競賽(總分：100分)，并隨機抽取了n名中學(xué)生的成績，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同．題型3獨立性檢驗的綜合應(yīng)用(2)設(shè)男生人數(shù)為x，依題意可得2×2列聯(lián)表如下：獨立性檢驗的考查，往往與概率和抽樣統(tǒng)計圖等一起考查，這類問題的求解往往按各小題及提問的順序，一步步進行下去，χ2的公式及臨界值表在考試中會在原題中給出．3．某大學(xué)生社團組織社會調(diào)查活動，隨機調(diào)查了某市區(qū)某個路口100個工作日中每天的天氣情況和當(dāng)天早高峰(7點至9點)時段經(jīng)過該路口的機動車車次，整理數(shù)據(jù)得到下表：天氣機動車車次[1600，2400)[0，800)[800，1600)晴天105213陰天298雨天024(1)分別估計該市一天的天氣為晴天和雨天的概率．(2)若晴天記為“天氣好”，陰天或雨天記為“天氣不好”，若當(dāng)天早高峰時段經(jīng)過該路口的機動車車次小于1600，則視為交通順暢，否則視為交通擁堵．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.005的獨立性檢驗，判斷兩種交通路況是否和天氣情況有關(guān)．項目交通順暢交通擁堵合計天氣好

天氣不好

合計

項目交通順暢交通擁堵合計天氣好621375天氣不好131225合計7525100素養(yǎng)訓(xùn)練1．(題型1，2)下列對兩個分類變量A，B的說法中正確的個數(shù)為

(

)①A與B無關(guān)，即A與B互不影響；②A與B關(guān)系越密切，則χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A與B是否相關(guān)的唯一依據(jù)．A．0

B．1C．2

D．3【答案】B2．(題型1)某同學(xué)寒假期間對其30位親屬的飲食習(xí)慣進行了一次調(diào)查，列出了如下2×2列聯(lián)表：年齡飲食習(xí)慣合計偏愛蔬菜偏愛肉類50歲以下481250歲以上16218合計201030則可以說其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過

(

)A．0.005

B．0.004C．0.002

D．0.001【答案】A3．(題型2)(多選)在一次惡劣天氣的飛行航程中，調(diào)查男、女乘客在飛機上暈機的情況，得到如下列聯(lián)表(單位：人)：性別暈機合計暈機者未暈機者男a15c女6bd合計e2846則

(

)【答案】BD所以得到如下列聯(lián)表：性別暈機合計暈機者未暈機者男121527女61319合計1828464．(題型3)某大學(xué)為了解學(xué)生對學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到如下的列聯(lián)表．零假設(shè)為H0：男、女生對該食堂的服務(wù)評價無差異．經(jīng)計算χ2≈4.762，則該學(xué)校男生對食堂服務(wù)滿意的概率的估計值為________；依據(jù)α＝________的獨立性檢驗認為男、女生對該食堂服務(wù)的評價有差異．性別滿意不滿意合計男302050女401050合計70301005．(題型3)(2023年福州期末)2023年3月，“兩會”在北京召開，會議吸引了全球的目光，對我國以后的社會經(jīng)濟發(fā)展有深刻的歷史意義．某媒體為調(diào)查本市市民對“兩會”的了解情況，進行了一次“兩會”知識問卷調(diào)查(每位市民只能參加一次)，隨機抽取年齡在15～75歲之間的100人進行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為[15，25)，[25，35)，[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75]，把年齡落在區(qū)間[15，35)和[35，75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”．(1)若“青少年人”中有15人在關(guān)注“兩會”，根據(jù)已