2025屆山東省百校大聯(lián)考高三上學期12月月考學情診斷補充性訓練數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省百校大聯(lián)考2025屆高三上學期12月月考學情診斷補充性訓練數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題1.已知集合，若，則所有符合條件的實數(shù)組成的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】等價于，當時，，此時，符合；當時，，因為，故或，即或．所以符合條件的實數(shù)組成的集合是．故選：D2.設、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列條件中可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】對于，如圖所示，當為平面和平面的交線時，推不出，故A錯誤；對于，如圖所示，，，，但推不出，故B錯誤；對于C，因為，，所以可得，又，所以，故C錯誤；對于，因為，，所以可得，又因為，所以，故D正確.故選：D.3.定義在上的函數(shù)滿足，（若，則，c為常數(shù)），則下列說法錯誤的是（）A.B.在取得極小值，極小值為C.只有一個零點D.若在上恒成立，則【答案】B【解析】∵且0,+∞，可得，則有，故（c為常數(shù)），又f1=0，則，得，故，x∈0,+∞，當，即，解得：，f'x>0，此時單調(diào)遞增，當，即，解得，，當，即解得：，f'x<0，此時單調(diào)遞減，對于A，由于，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，∵，可得，∵，，∵.故，故A正確：∴，取得極大值，，故B錯誤；對于C，當，，，，，，畫出草圖，如圖：根據(jù)圖象可知：只有一個零點，故C正確；對D，要在0,+∞上恒成立即：在0,+∞上恒成立，∵，可在上恒成立，只需，令，，當，；單調(diào)遞增，當時，；單調(diào)遞減，，；則，即，故D正確；故選：B.4.已知函數(shù)在上的導函數(shù)為，若對任意恒成立，關于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）命題①：方程至多只有一個實數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】C【解析】因為，即，對于命題①：令，故，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，所以方程至多只有一個實數(shù)根，故命題①真命題；對于命題②：因為函數(shù)是周期為2，取一個周期，由題意可知在內(nèi)連續(xù)不斷，則在內(nèi)必有最大值和最小值，設在內(nèi)的最大值為，最小值為，設，，且，對任意，顯然時，恒成立，下面考慮的情況，由導數(shù)定義可知，即，若，則成立；若，設，即，則，且，可得，所以成立；綜上所述：對任意實數(shù)，都成立，故命題②為真命題；故選：C.5.設定義在上的函數(shù)，，且對任意，滿足，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.二、多選題6.已知函數(shù)的導函數(shù)為f'x，與f'x的定義域都是R，且滿足，，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于中心對稱 B.f'x為周期函數(shù)C. D.是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】對于AB，，f'x為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；，，故，關于2,1中心對稱，且又關于y軸對稱，故，,所以，故，的周期為，故f'x的周期為，A，B正確.對于D，對兩邊同時求導得，，即，f'x對稱軸為直線，故為偶函數(shù)，故D正確.對于C，關于2,1中心對稱，所以，，C錯誤.故選：ABD.7.已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點為平面內(nèi)一點（異于點），且，則（）A.存在點，使得平面B.存在點，使得直線與所成角為C.當時，三棱錐的體積最大值為D.當時，以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為【答案】BCD【解析】A：假設存在點使得平面，由平面平面，得平面平面，又平面平面平面，則，又，平面，所以重合，即點落在上，由，知點落在以為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)（不含圓），這與點落上矛盾，故A錯誤；B：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，平面，則即為PC與底面所成的角，故，而，所以，則，所以，結合A的分析，取，所以，又，所以直線PB與AM所成角為，即存在點M使得直線PB與AM所成角為，故B正確；C：當時，當M位于BA的延長線時，的高最大為，此時面積取得最大值，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；D：當時，，以P為球心，為半徑球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑圓與側面展開圖的交線，如下圖，由，有，則，所以，則，所以，根據(jù)對稱性有，所以，故的長為，又球與底面的交線是以P為圓心，為半徑的四分之一圓，其長度為，故P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長，故D正確.故選：BCD三、填空題8.已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側面積最大時，它的體積為______．【答案】【解析】如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點均在球心為O的球面上，，記則圓錐側面積為，若相同時，較大才能取得最大值，由截面圓的對稱性知，圓錐側面積最大時兩點位于球心兩側，此時，，而,又，故令，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，故當時，最大，圓錐側面積最大，此時，此時圓錐體積，故答案為：.四、解答題9.在中，角所對的邊分別是，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以；（2）因為，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則，則，故，即的取值范圍為．10.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為直線．（1）求證：直線平面；（2）若直線上存在一點（與都在的同側），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．解：（1）證明：∵，分別是，的中點，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，則平面．（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，由題意得：，，，，，∴，，設，則．依題意可得：，即：又與都在的同側，所以，即于是：，設平面的法向量為則，取，可得再設平面的法向量為，則，取，得于是所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．山東省百校大聯(lián)考2025屆高三上學期12月月考學情診斷補充性訓練數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題1.已知集合，若，則所有符合條件的實數(shù)組成的集合是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】等價于，當時，，此時，符合；當時，，因為，故或，即或．所以符合條件的實數(shù)組成的集合是．故選：D2.設、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列條件中可以推出的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】對于，如圖所示，當為平面和平面的交線時，推不出，故A錯誤；對于，如圖所示，，，，但推不出，故B錯誤；對于C，因為，，所以可得，又，所以，故C錯誤；對于，因為，，所以可得，又因為，所以，故D正確.故選：D.3.定義在上的函數(shù)滿足，（若，則，c為常數(shù)），則下列說法錯誤的是（）A.B.在取得極小值，極小值為C.只有一個零點D.若在上恒成立，則【答案】B【解析】∵且0,+∞，可得，則有，故（c為常數(shù)），又f1=0，則，得，故，x∈0,+∞，當，即，解得：，f'x>0，此時單調(diào)遞增，當，即，解得，，當，即解得：，f'x<0，此時單調(diào)遞減，對于A，由于，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，∵，可得，∵，，∵.故，故A正確：∴，取得極大值，，故B錯誤；對于C，當，，，，，，畫出草圖，如圖：根據(jù)圖象可知：只有一個零點，故C正確；對D，要在0,+∞上恒成立即：在0,+∞上恒成立，∵，可在上恒成立，只需，令，，當，；單調(diào)遞增，當時，；單調(diào)遞減，，；則，即，故D正確；故選：B.4.已知函數(shù)在上的導函數(shù)為，若對任意恒成立，關于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（）命題①：方程至多只有一個實數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對任意，都有．A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】C【解析】因為，即，對于命題①：令，故，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，所以方程至多只有一個實數(shù)根，故命題①真命題；對于命題②：因為函數(shù)是周期為2，取一個周期，由題意可知在內(nèi)連續(xù)不斷，則在內(nèi)必有最大值和最小值，設在內(nèi)的最大值為，最小值為，設，，且，對任意，顯然時，恒成立，下面考慮的情況，由導數(shù)定義可知，即，若，則成立；若，設，即，則，且，可得，所以成立；綜上所述：對任意實數(shù)，都成立，故命題②為真命題；故選：C.5.設定義在上的函數(shù)，，且對任意，滿足，，則A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.二、多選題6.已知函數(shù)的導函數(shù)為f'x，與f'x的定義域都是R，且滿足，，則下列結論正確的是（）A.的圖象關于中心對稱 B.f'x為周期函數(shù)C. D.是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】對于AB，，f'x為奇函數(shù)，為偶函數(shù)；，，故，關于2,1中心對稱，且又關于y軸對稱，故，,所以，故，的周期為，故f'x的周期為，A，B正確.對于D，對兩邊同時求導得，，即，f'x對稱軸為直線，故為偶函數(shù)，故D正確.對于C，關于2,1中心對稱，所以，，C錯誤.故選：ABD.7.已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點為平面內(nèi)一點（異于點），且，則（）A.存在點，使得平面B.存在點，使得直線與所成角為C.當時，三棱錐的體積最大值為D.當時，以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為【答案】BCD【解析】A：假設存在點使得平面，由平面平面，得平面平面，又平面平面平面，則，又，平面，所以重合，即點落在上，由，知點落在以為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)（不含圓），這與點落上矛盾，故A錯誤；B：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，平面，則即為PC與底面所成的角，故，而，所以，則，所以，結合A的分析，取，所以，又，所以直線PB與AM所成角為，即存在點M使得直線PB與AM所成角為，故B正確；C：當時，當M位于BA的延長線時，的高最大為，此時面積取得最大值，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；D：當時，，以P為球心，為半徑球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑圓與側面展開圖的交線，如下圖，由，有，則，所以，則，所以，根據(jù)對稱性有，所以，故的長為，又球與底面的交線是以P為圓心，為半徑的四分之一圓，其長度為，故P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長，故D正確.故選：BCD三、填空題8.已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側面積最大時，它的體積為______．【答案】【解析】如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點均在球心為O的球面上，，記則圓錐側面積為，若相同時，較大才能取得最大值，由截面圓的對稱性知，圓錐側面積最大時兩點位于球心兩側，此時，，而,又，故令，，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，故當時，最大，圓錐側面積最大，此時，此時圓錐體積，故答案為：.四、解答題9.在中，角所對的邊分別是，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．解：（1）因為，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以；（2）因為，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則，則，故，即的取值范圍為．10.如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點，記平面與平面的