高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)(2知識點(diǎn)+8題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.5.2橢圓的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)2.了解橢圓的離心率對橢圓的扁平程度的影響.3.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用1.重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)2.難點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用.知識點(diǎn)01橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長eq\a\vs4\al(2a)，短軸長eq\a\vs4\al(2b)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|eq\a\vs4\al(2c)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率eeq\f(c,a)(0<e<1)【即學(xué)即練1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4:1，焦距為215A．x264+C．x216+【即學(xué)即練2】（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m知識點(diǎn)02橢圓的離心率1.定義：eeq\f(c,a).2.離心率的范圍為：(0,1).3.公式拓展：eeq\f(c,a)=1?b2a4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.【即學(xué)即練3】（21-22高二上·陜西銅川·期末）已知橢圓x2a2A．12 B．23 C．32【即學(xué)即練4】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習(xí)）若橢圓C:x2a2A．12 B．32 C．33難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用示例1：（24-25高二上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．35 B．22 C．13【題型1：橢圓的幾何性質(zhì)】例1．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x29+C．x225+y2變式1．（21-22高二上·廣東湛江·期中）已知橢圓x2a2+yA．43 B．23 C．6變式2．（2024·江西·模擬預(yù)測）橢圓C:A．5 B．25 C．26 變式3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓C:x2a2A．23 B．42 C．43變式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓C:x2m+A．23 B．42 C．43變式5．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓x2t+12A．122 B．62 C．3變式6．（多選）（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知橢圓C:A．橢圓C的長軸長為47 B．橢圓CC．橢圓C的短半軸長為42 D．橢圓C的離心率為變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x216+y2b2=1(b變式8.（24-25高二上·上海·課堂例題）若方程x225?【題型2：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系】例2．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線mx+ny?5=0與圓x2+A．在橢圓內(nèi) B．在橢圓外C．在橢圓上 D．不確定變式1．（23-24高二上·河南南陽·階段練習(xí)）點(diǎn)1,1與橢圓x2A．點(diǎn)在橢圓上 B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)C．點(diǎn)在橢圓外 D．不確定變式2．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)Pa,1在橢圓x2A．?233,C．43,+∞ 變式3．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)A(a,1)在橢圓xA．?∞,?2∪2,+∞ B．?2,變式4．(多選)（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知直線l:mx+ny=4A．點(diǎn)P(m,n)C．點(diǎn)P(m,n)變式5．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)Aa,1在橢圓x2A．?2 B．?1 C．1 D．變式6．（23-24高二上·廣東佛山·期末）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x24+y變式7．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)A(m,1)在橢圓x24變式8．（20-21高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)(3，2)在橢圓x2m+【方法技巧與總結(jié)】點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【題型3：離心率取值問題】例3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F，A，B分別是橢圓x2a2A．15 B．13 C．26變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(A．33 B．12 C．52變式2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+yA．102 B．104 C．53變式3．（24-25高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0A．57 B．63 C．2?1變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA．154 B．157 C．215變式5.（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為FA．22 B．32 C．12變式6．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(0<b<a≤3變式7．（24-25高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1,F2在x軸上，A,B是橢圓的頂點(diǎn)，P

變式8．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A【方法技巧與總結(jié)】1．橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用eeq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求離心率范圍時(shí)，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．【題型4：離心率取值范圍問題】例4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．0,22 B．0,33 C．變式1．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點(diǎn)AA．22,3?1 B．22,1變式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓x2a2+yA．33,1 B．0,33 C．變式3．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知點(diǎn)A是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為12的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)P（點(diǎn)A．0,12 B．0,22 C．變式4．（23-24高二下·河北保定·開學(xué)考試）已知F1,F2分別是橢圓M:x2a2A．0,255 B．255,1變式5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）設(shè)橢圓C1:x2m+yA．e1e2的最小值為14 C．e1e2的最大值為14 變式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知橢圓C:x2a2A．0,22 B．22,1 C．變式7．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)變式8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,【方法技巧與總結(jié)】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2【題型5：直線與橢圓的位置關(guān)系】例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直線l：3x+y?3A．2,3 B．213,11313變式1．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知直線l:y=x+A．?7,7C．?6,6變式2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線y=3x?1A．0 B．1C．2 D．無數(shù)個(gè)變式3．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）直線x=1與橢圓xA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定變式4．（21-22高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）直線y=x+1A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定變式5．（23-24高二上·上海寶山·期中）若直線y=kx?1與橢圓變式6．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓M：y2a2(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：x?變式7．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知直線l:y=mx?2【方法技巧與總結(jié)】直線ykx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ykx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓相離．【題型6：弦長問題】例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直線x=?1被橢圓xA．32 B．32 C．3 變式1．（23-24高二上·全國·單元測試）過橢圓x24+y2A．4 B．23C．1 D．43變式2．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知直線y=2x+m與橢圓C：x25+變式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直線x?2y+1=0與橢圓x24+變式4．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）直線x?2y+2=0與橢圓x2變式5．（22-23高二上·北京豐臺·期末）過橢圓x24+變式6．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知經(jīng)過橢圓C：x26+變式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長．變式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的離心率；(2)記線段MP與橢圓C的交點(diǎn)為Q，求PQ的取值范圍.【方法技巧與總結(jié)】1.定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．2.求弦長的方法①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|eq\r(1＋k2)（x1+x2）2?4x1?x2【題型7：中點(diǎn)弦問題】例7．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓x2+4A．2x+yC．x?2y?8=0變式1．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓xA．2x+y?8=0 B．x+2y變式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率為1的直線與橢圓x24+y23=1相交于A、B變式3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）過橢圓E:x2a2+y變式4．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知直線3x+4y?7=0與橢圓x變式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率為32，過點(diǎn)變式6．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)OP的斜率為k'，求證：k變式7．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知橢圓x2a2+y2b2=1((1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)14，求直線l【方法技巧與總結(jié)】解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和【題型8：解答題匯總】例8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P在第一象限，且PF變式1．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知A?2,0，B1,32在橢圓C：x2(1)求a，b的值及C的離心率；(2)若動(dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形PF變式2．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）給定橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，稱圓心在原點(diǎn)O(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)A，B是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸的兩交點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP?變式3．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知橢圓M:x2a2+y(1)求橢圓M的方程；(2)若直線l過橢圓上頂點(diǎn)，且k=1，求AB變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2(1)求C的方程；(2)設(shè)P為C上一點(diǎn)，M1,0.若存在實(shí)數(shù)λ使得PF1變式5．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，點(diǎn)C為直線x=4上一點(diǎn)，以C為圓心的圓同時(shí)與x軸和直線l相切，且一、單選題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若橢圓x2a2+y2b2=1a>A．1617 B．41717 C．42．（23-24高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）橢圓x2A．22 B．4 C．8 3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2m+A．3 B．13 C．2 D．4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知橢圓的方程為x2A．長軸長為2 B．短軸長為3 C．焦距為1 D．離心率為15．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知點(diǎn)B?3,0，C3,0，設(shè)點(diǎn)C到直線AB的最大距離為d1A．34 B．433 C．36．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為6π，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為FA．4 B．3 C．2 D．67．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知P是橢圓x25+y24=1A．534,C．152,18．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓x2A．3 B．5 C．3或5 D．不存在二、多選題9．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）關(guān)于方程mxA．若m>B．若m=nC．若n>D．若m=0,10．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據(jù)此得某橢圓面積為62A．x28+C．x212+11．（23-24高二下·云南保山·階段練習(xí)）已知橢圓x29+y2b2=1(0<b<3)的左?右焦點(diǎn)分別為A．橢圓的短軸長為6B．AFC．離心率為3D．橢圓上不存在點(diǎn)P，使得∠三、填空題12．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>013．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)P在橢圓C:x225+y2914．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為左焦點(diǎn)、長軸長為40萬公里、短軸長為4萬公里的橢圓軌道T1繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)P第二次變軌進(jìn)入仍以F為左焦點(diǎn)、長軸長為20萬公里的橢圓軌道T2繞月飛行，則橢圓軌道T2四、解答題15．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）分別求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)已知橢圓的離心率為e=23(2)橢圓C與x22+y216．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y(1)求橢圓方程；(2)若直線PQ與x軸不垂直，在x軸上是否存在點(diǎn)Ss,0使得17．（24-25高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知圓C:(x?1)2+y2=r2r>0在橢圓E:x24+y2=1(1)求r的取值范圍；(2)是否存在圓C，使得直線MN與之相切，若存在求出圓C的方程，若不存在，說明理由.18．（24-25高三上·山東泰安·開學(xué)考試）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b(1)求C的方程．(2)過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為80°的直線l．直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求△19．（24-25高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，A,B都是橢圓C:x2a2+y2b

(1)求C的離心率；(2)若△PAB的面積比△POA的面積大122.5.2橢圓的幾何性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的幾何性質(zhì)2.了解橢圓的離心率對橢圓的扁平程度的影響.3.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用1.重點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)2.難點(diǎn):橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用.知識點(diǎn)01橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)1(a＞b＞0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長長軸長eq\a\vs4\al(2a)，短軸長eq\a\vs4\al(2b)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|eq\a\vs4\al(2c)對稱性對稱軸x軸和y軸，對稱中心(0,0)離心率eeq\f(c,a)(0<e<1)【即學(xué)即練1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦點(diǎn)在y軸上，且長軸長與短軸長之比為4:1，焦距為215A．x264+C．x216+【答案】A【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出b=1,【詳解】由題意得2a2b=4，解得b=1,故橢圓方程為x2【即學(xué)即練2】（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x2m【答案】6【分析】根據(jù)焦點(diǎn)以及焦距即可根據(jù)a,【詳解】由于x2m+y2由于焦距是2，所以2c=2?c故長軸長為2a故答案為：6知識點(diǎn)02橢圓的離心率1.定義：eeq\f(c,a).2.離心率的范圍為：(0,1).3.公式拓展：eeq\f(c,a)=1?b2a4.e越大，橢圓越扁平；e越小，橢圓越接近于圓.【即學(xué)即練3】（21-22高二上·陜西銅川·期末）已知橢圓x2a2A．12 B．23 C．32【答案】D【分析】由題求出b、c、a，即可求出離心率.【詳解】由題的2b所以a=所以離心率為ca.【即學(xué)即練4】（24-25高二上·湖南衡陽·階段練習(xí)）若橢圓C:x2a2A．12 B．32 C．33【答案】C【分析】由橢圓離心率的公式e=【詳解】橢圓C:x2則該橢圓的離心率e=.難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用示例1：（24-25高二上·浙江溫州·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．35 B．22 C．13【答案】A【分析】作F2E⊥MN，結(jié)合條件可得MF1MN=2【詳解】如圖，F(xiàn)2E⊥因?yàn)椤螰2F1N=∠F∴F1N∵2S∴2MN?F所以MF1=∴MEMF在Rt△MEF2中，ME2∴2化簡整理得5c∴5e2?8e+3=0，解得e∴e.

【題型1：橢圓的幾何性質(zhì)】例1．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）橢圓的長短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．x29+C．x225+y2【答案】D【分析】根據(jù)已知列方程結(jié)合a2=b【詳解】因?yàn)?a+2b又因?yàn)閍2所以a2a?解得a=5,橢圓焦點(diǎn)在x軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2橢圓焦點(diǎn)在y軸時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2.變式1．（21-22高二上·廣東湛江·期中）已知橢圓x2a2+yA．43 B．23 C．6【答案】A【分析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c，再由∠F【詳解】因?yàn)闄E圓x2a2+y又上頂點(diǎn)為P，且∠F1PF2變式2．（2024·江西·模擬預(yù)測）橢圓C:A．5 B．25 C．26 【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,b,c，再求長軸長【詳解】由題得a2=80，b2=35，所以所以長軸長2a=85所以長軸長與焦距之差等于2a?2c變式3．（23-24高二下·廣東廣州·期中）已知橢圓C:x2a2A．23 B．42 C．43【答案】C【分析】首先得到b2=a2?6【詳解】因?yàn)閍2依題意可得b2所以c2則離心率e=ca=c所以橢圓C的長軸長為2a變式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知橢圓C:x2m+A．23 B．42 C．43【答案】D【分析】由離心率公式首先求得參數(shù)m的值，進(jìn)一步可得a以及長軸長.【詳解】因?yàn)榉匠藽:x2從而e=ca所以a=m+6=23.變式5．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）已知橢圓x2t+12A．122 B．62 C．3【答案】C【分析】根據(jù)離心率的公式，求解t，再根據(jù)方程求橢圓的長軸長.【詳解】由條件可知，t+12=a2，t由條件可知，e2=12所以a2=18，橢圓的長軸長變式6．（多選）（23-24高二下·四川雅安·開學(xué)考試）已知橢圓C:A．橢圓C的長軸長為47 B．橢圓CC．橢圓C的短半軸長為42 D．橢圓C的離心率為【答案】AD【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析其性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)闄E圓C:x2且橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上，所以橢圓C的長軸長為47，焦距為45，短半軸長為22D變式7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x216+y2b2=1(b【答案】4【分析】由題意可得△AF1F2為等腰直角三角形，又a【詳解】設(shè)|F1F結(jié)合AF1⊥所以F1F2所以b=所以C的短軸長為2b故答案為：42變式8.（24-25高二上·上海·課堂例題）若方程x225?【答案】0或9【分析】根據(jù)方程的形式，結(jié)合長軸概念，分類討論得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，有25?m>16+m當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，有16+m>25?m綜上，實(shí)數(shù)m的值為0或9．故答案為：0或9.【題型2：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系】例2．（24-25高二上·全國·課堂例題）已知直線mx+ny?5=0與圓x2+A．在橢圓內(nèi) B．在橢圓外C．在橢圓上 D．不確定【答案】A【分析】由直線與圓沒有公共點(diǎn)得m2+n【詳解】∵直線mx+ny?5=0∴圓心(0,0)到直線的距離d=5m∴0≤m又∵m∴點(diǎn)Pm.變式1．（23-24高二上·河南南陽·階段練習(xí)）點(diǎn)1,1與橢圓x2A．點(diǎn)在橢圓上 B．點(diǎn)在橢圓內(nèi)C．點(diǎn)在橢圓外 D．不確定【答案】C【分析】將點(diǎn)代入橢圓即可求解.【詳解】由于125+19<1變式2．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)Pa,1在橢圓x2A．?233,C．43,+∞ 【答案】C【解析】根據(jù)題中條件，得到a2【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Pa,1在橢圓所以a22+123>1.變式3．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)A(a,1)在橢圓xA．?∞,?2∪2,+∞ B．?2,【答案】C【分析】由題意可得a2【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A(a,1)在橢圓x24解得?2<a<2.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，側(cè)重考查對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，屬于?？碱}.變式4．(多選)（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知直線l:mx+ny=4A．點(diǎn)P(m,n)C．點(diǎn)P(m,n)【答案】CC【分析】首先根據(jù)直線與圓相切的公式，得到m2【詳解】由直線l與圓O相切，可知，圓心到直線l的距離d=即m2+n并且2<5，所以圓在橢圓C內(nèi)，P(mC變式5．（多選）（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）點(diǎn)Aa,1在橢圓x2A．?2 B．?1 C．1 D．【答案】CC【分析】由點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系得出a的值.【詳解】由題意知a24+C變式6．（23-24高二上·廣東佛山·期末）設(shè)F1、F2分別是橢圓C:x24+y【答案】2【分析】分析可知，點(diǎn)P在圓x2【詳解】在橢圓C中，a=2，b=2若∠F1PF2=90所以，點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓上，即點(diǎn)P在圓x2聯(lián)立x2+y2=2x2即滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2.故答案為：2.變式7．（20-21高二·全國·課后作業(yè)）若點(diǎn)A(m,1)在橢圓x24【答案】(?【分析】由A在橢圓的內(nèi)部有m2【詳解】∵點(diǎn)A(m,1)∴m24+12故答案為：(?變式8．（20-21高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)(3，2)在橢圓x2m+【答案】點(diǎn)在橢圓外【分析】由已知得9m+4【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)(3，2)在橢圓上，所以9m+4n=1，又故答案為：點(diǎn)在橢圓外.【方法技巧與總結(jié)】點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置關(guān)系：點(diǎn)P在橢圓上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；點(diǎn)P在橢圓外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【題型3：離心率取值問題】例3．（24-25高二上·吉林長春·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F，A，B分別是橢圓x2a2A．15 B．13 C．26【答案】C【分析】根據(jù)題意，作出圖形，取FA的中點(diǎn)N，連接MN,BF，分別求出MN,【詳解】如圖，取FA的中點(diǎn)N，連接MN,BF,則易得|BF

在Rt△BOF中，cos∠BFO=c在△FMN中，由余弦定理，|即33c24解得a=3c或a=?5故選:B.變式1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(A．33 B．12 C．52【答案】A【分析】結(jié)合橢圓定義在△PF1F2中由余弦定理求得PF1=2b【詳解】連接PF2,QF在△PPF即(2a解得x=2b22由PF1=在△QQF同理可解得QF又因?yàn)镻F1=3所以e=.變式2．（24-25高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知F1,F2分別為橢圓E:x2a2+yA．102 B．104 C．53【答案】D【分析】利用橢圓的定義結(jié)合勾股定理，易得等式求出離心率.【詳解】由橢圓定義得：PF1+所以解得：PF再由于PF1⊥43a2+23a.變式3．（24-25高二上·河北邯鄲·階段練習(xí)）設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0A．57 B．63 C．2?1【答案】A【分析】利用已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入PF【詳解】

如圖：由題意不妨設(shè)Px1,y1因?yàn)椤螰1PF2所以PF則PF1?PF又由∠PAF2=45°，所以結(jié)合S△F1代入x2a2即e2+2e?2=0，解得e=3.變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA．154 B．157 C．215【答案】D【分析】根據(jù)對稱以及垂直可證四邊形MF1NF2是矩形，即可根據(jù)橢圓定義，以及勾股定理求解x【詳解】點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以線段MN,又MF1?MF2=0，故∠設(shè)MF2=x，則MF1=2由于點(diǎn)M在第一象限，所以x=由15MF2=N整理得7c2+4ac?8變式5.（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點(diǎn)為FA．22 B．32 C．12【答案】C【分析】由已知可得點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，P在以O(shè)F為直徑的圓上，進(jìn)而可得sin∠【詳解】由PA⊥PB易知，點(diǎn)P在以又P在以O(shè)F為直徑的圓上，則PO⊥PF，且OF=可知sin∠PFO=結(jié)合b2=a解得e=.變式6．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(0<b<a≤3【答案】5【分析】根據(jù)橢圓對稱性以及MF1≥2NF1可得|F【詳解】因?yàn)檫^原點(diǎn)的直線與C相交于M，N兩點(diǎn)，MF1?NF1=0,故四邊形M所以2a?|F又|F即(2a?|F解得|F2M|=a結(jié)合|F2M|≤又a≤因此59a2=c故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由|F1M|2+|F變式7．（24-25高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1,F2在x軸上，A,B是橢圓的頂點(diǎn)，P

【答案】5【分析】利用橢圓性質(zhì)寫出焦點(diǎn)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由PF1⊥x軸，PF【詳解】根據(jù)題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2如圖所示則有F1直線PF1方程為x=?c，代入方程x2又PF2//即b2a?0所以a2=b即可得橢圓的離心率為e=故答案為：5變式8．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A【答案】55/【分析】利用橢圓的定義，通過假設(shè)一條焦半徑長，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來消元假設(shè)的字母，最后利用一個(gè)角和余弦定理來建立一個(gè)a,【詳解】令橢圓C：x2a2+y設(shè)|AF2|=m，則|F2B=?而|AB|=52m即(2a?m在Rt△BF在△AF1即(4整理得5c2=所以橢圓C的離心率為55故答案為：55【方法技巧與總結(jié)】1．橢圓的離心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用eeq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，利用b2a2－c2消去b.等式兩邊同除以a2或a4構(gòu)造關(guān)于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求離心率范圍時(shí)，常需根據(jù)條件或橢圓的范圍建立不等式關(guān)系，通過解不等式求解，注意最后要與區(qū)間(0,1)取交集．【題型4：離心率取值范圍問題】例4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A．0,22 B．0,33 C．【答案】A【分析】由題意可得PF2≥a2c?c，若點(diǎn)【詳解】由題意可知：F2因?yàn)辄c(diǎn)P為直線x=a2若點(diǎn)F2在線段PF1則2c≥a2c所以C的離心率的取值范圍是33.變式1．（23-24高二下·黑龍江齊齊哈爾·期中）已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上一點(diǎn)AA．22,3?1 B．22,1【答案】A【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，根據(jù)AF⊥BF，得到四邊形為AF1BF為矩形，再由【詳解】設(shè)橢圓x2a2因?yàn)锳F⊥BF，所以四邊形為AF因?yàn)椤螦BF所以AF=2csinα，由橢圓的定義得2a所以e=因?yàn)棣痢师?所以sinα其中sin=2所以2sin所以e∈變式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知橢圓x2a2+yA．33,1 B．0,33 C．【答案】C【分析】將條件中的不等式用坐標(biāo)表示，再結(jié)合橢圓方程化簡不等式，即可求解橢圓的離心率的范圍.【詳解】設(shè)Px0,y0，xkAP由題意可知，?b2a2≤?則e=變式3．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知點(diǎn)A是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)A且斜率為12的直線l與橢圓C交于另一點(diǎn)P（點(diǎn)A．0,12 B．0,22 C．【答案】C【分析】由題意可推得要使PA≥PQ，只需?kPQ≥12，由此設(shè)直線AP方程，并聯(lián)立橢圓方程，求出點(diǎn)Q【詳解】要使PA≥PQ，只要∠PQA因?yàn)橹本€l的斜率為12即只要?k設(shè)直線AP方程為：y=聯(lián)立x2a因?yàn)閤1=?a故x2所以點(diǎn)P?可得kOP由于OP⊥PQ，故令?kPQ≥可得b2<a所以離心率的取值范圍是0,2．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.變式4．（23-24高二下·河北保定·開學(xué)考試）已知F1,F2分別是橢圓M:x2a2A．0,255 B．255,1【答案】C【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義，分別表示出PF【詳解】由題意得PF1+由PF1=即4b2=4故M的離心率的取值范圍為25變式5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）設(shè)橢圓C1:x2m+yA．e1e2的最小值為14 C．e1e2的最大值為14 【答案】A【分析】由橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的性質(zhì)及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解．【詳解】已知橢圓C1:x2m+y又m∈(2,8)則e1=m則e1設(shè)f(m)=則根據(jù)對勾函數(shù)知f(m)在(2,4)則f(m)∈[8則e1即e1e2．變式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知橢圓C:x2a2A．0,22 B．22,1 C．【答案】C【分析】先求出直線所過的定點(diǎn)，由題，此定點(diǎn)也在橢圓上，從而得出a，b，c的關(guān)系，用離心率表示出a，再由題目中長軸長的范圍列出關(guān)于離心率的不等式，求解即可.【詳解】直線x?my+2?2m=0即x+2=my+2設(shè)c=a2所以a2=4因?yàn)镃的長軸長大于43，所以a>23所以2?e21?e2.變式7．（23-24高二上·湖南邵陽·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)【答案】5【分析】由(FP+FA)?AP=0可得|FA|=|FP【詳解】取AP的中點(diǎn)Q，連接FQ，如圖所示，則FQ=12所以FQ⊥AP，所以即|FA|=|FP|，且又因?yàn)辄c(diǎn)P在右準(zhǔn)線x=所以|FP|≥a所以ac≥a2c2?1又0<e<1，所以故答案為：[5變式8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,【答案】2【分析】利用條件設(shè)P表示Q，由平行四邊形的性質(zhì)及橢圓的性質(zhì)得出不等關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】注意到直線l:x=a2又四邊形PQF2F即?a<2a2故C的離心率的取值范圍為2?1,1【方法技巧與總結(jié)】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2【題型5：直線與橢圓的位置關(guān)系】例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直線l：3x+y?3A．2,3 B．213,11313【答案】A【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立解方程即可得出答案.【詳解】由3x+y?3=0當(dāng)x=2時(shí)，y=?3，當(dāng)所以直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為2,?變式1．（23-24高二上·浙江溫州·期中）已知直線l:y=x+A．?7,7C．?6,6【答案】A【分析】直線l和橢圓C有公共點(diǎn)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去y便可得到關(guān)于x的一元二次方程，方程有解，從而有判別式Δ≥0，即可解出m的取值范圍．【詳解】直線y=x+∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，方程有解，∴Δ=64m解得?7≤m變式2．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線y=3x?1A．0 B．1C．2 D．無數(shù)個(gè)【答案】D【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程消去y，再利用判別式判斷作答.【詳解】由y=3x?1x2所以直線y=3x?1變式3．（21-22高二上·全國·課后作業(yè)）直線x=1與橢圓xA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的方程求得短軸的右頂點(diǎn)為(1,0)，進(jìn)而得到直線與橢圓的位置關(guān)系.【詳解】由橢圓的方程x2+y22所以直線x=1與橢圓x.變式4．（21-22高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）直線y=x+1A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】D【分析】代數(shù)法聯(lián)立直線與橢圓，轉(zhuǎn)化為二次方程根的問題來判斷即可.【詳解】聯(lián)立y=則Δ=所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以直線與橢圓相交.變式5．（23-24高二上·上海寶山·期中）若直線y=kx?1與橢圓【答案】m≥1且【分析】根據(jù)直線方程寫出其所過定點(diǎn)，結(jié)合其與橢圓的位置關(guān)系，可得答案.【詳解】由直線y=kx?1易知當(dāng)該點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則m>0025+故答案為：m≥1且m變式6．（23-24高二上·重慶·階段練習(xí)）已知橢圓M：y2a2(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l1與橢圓M相切，且直線l1與直線l：x?【答案】(1)y2(2)y=【分析】（1）由焦距、所過點(diǎn)求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）由平行關(guān)系設(shè)直線方程l1：y=x+b【詳解】（1）由題意得2c=4a所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2（2）設(shè)與l平行的l1：y由y26+由Δ=4b2?4×4b2?6=0變式7．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知直線l:y=mx?2【答案】m<?1【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式大于0，解不等式可得結(jié)果.【詳解】聯(lián)立y=mx?2x2依題意得Δ=(16m)解得m<?12【方法技巧與總結(jié)】直線ykx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)1(a>b>0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ykx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)1，))消y得一元二次方程．當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)Δ0時(shí)，方程有一解，直線與橢圓相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無解，直線與橢圓相離．【題型6：弦長問題】例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直線x=?1被橢圓xA．32 B．32 C．3 【答案】D【分析】求出交點(diǎn)得縱坐標(biāo)即可得解.【詳解】令x=?1，得14+所以直線x=?1被橢圓x24.變式1．（23-24高二上·全國·單元測試）過橢圓x24+y2A．4 B．23C．1 D．43【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的方程，求得橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(3,0)【詳解】因?yàn)闄E圓x24+y2所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F(將x=3，代入橢圓的方程，求得y=±.變式2．（24-25高二上·上?！るS堂練習(xí)）已知直線y=2x+m與橢圓C：x25+【答案】5【分析】聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，建立△AOB的面積表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求解出m2=212【詳解】由y=2x+mx設(shè)Ax1,y1，BAB=又O到直線AB的距離d=則△AOB的面積S當(dāng)且僅當(dāng)m2=21?m2，即此時(shí)，AB=故答案為：5變式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直線x?2y+1=0與橢圓x24+【答案】352/【分析】聯(lián)立直線和橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式求出答案.【詳解】聯(lián)立x?2y+1=0與x設(shè)Ax則x1故AB=故答案為：35變式4．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）直線x?2y+2=0與橢圓x2【答案】5【分析】本題先聯(lián)立直線l與橢圓C方程，消去x，整理可得一元二次方程，解得A,【詳解】聯(lián)立x?2y+2=0x2+4y因此x1故AB=故答案為：5.變式5．（22-23高二上·北京豐臺·期末）過橢圓x24+【答案】3【分析】根據(jù)題意即求通徑大小，先求c=1，令x=1代入橢圓方程求得【詳解】由c2=a不妨令x=1，代入x24所以y=±32故答案為：3變式6．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知經(jīng)過橢圓C：x26+【答案】26【分析】由題可得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求MN=【詳解】由題可得c=6?2=2將x=2代入x26解得y=±不妨令M2,63∴△OMN的面積為S變式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知橢圓C:x2a(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線l，直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，求線段MN的長．【答案】(1)x(2)24【分析】（1）根據(jù)橢圓右焦點(diǎn)F1,0，且過點(diǎn)Q（2）根據(jù)題意求出直線方程為y=【詳解】（1）由題意得a2解得a2故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）由題意可得直線l的方程為y=與橢圓方程聯(lián)立y=x?1設(shè)Mx1,y1故MN=1+變式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的離心率；(2)記線段MP與橢圓C的交點(diǎn)為Q，求PQ的取值范圍.【答案】(1)5(2)1,5?【分析】（1）根據(jù)四邊形面積得到ab=6，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出a（2）PQ=MP?MQ=5?MQ，設(shè)Qx1,【詳解】（1）由題意得c=5,a2解得a=3,所以橢圓C的離心率e=（2）由題意，得PQ=設(shè)Qx1,所以MQ=因?yàn)閤1所以當(dāng)x1=95時(shí)，|MQ所以PQ的取值范圍為1,5?4【方法技巧與總結(jié)】1.定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．2.求弦長的方法①交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．②根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：|AB|eq\r(1＋k2)（x1+x2）2?4x1?x2【題型7：中點(diǎn)弦問題】例7．（24-25高二上·山東濱州·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓x2+4A．2x+yC．x?2y?8=0【答案】C【分析】設(shè)出直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用k表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于k的方程可得解.【詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由對稱性可知l被橢圓截得線段AB的中點(diǎn)在x軸上，不合題意；故可設(shè)直線l的方程為y?2=kx1+4k有Δ>0，x1+x所以直線l的方程為y?2=?12.變式1．（23-24高二上·天津·階段練習(xí)）已知M4,2是直線l被橢圓xA．2x+y?8=0 B．x+2y【答案】C【分析】設(shè)出直線l方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理用k表示中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知中點(diǎn)坐標(biāo)解關(guān)于k的方程可得【詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，由對稱性可知，此時(shí)直線l被橢圓x2+4y而已知M4,2是線段AB的中點(diǎn)，不在x故直線斜率存在，可設(shè)斜率為k，則直線的方程為y?2=即kx?代入橢圓的方程化簡得(1+4k所以x1+x故直線l方程為y?2=?12.變式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率為1的直線與橢圓x24+y23=1相交于A、B【答案】?43【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線AB的方程為y=【詳解】設(shè)直線AB的方程為y=x+可得7x由韋達(dá)定理可得x1則xM則yM=x所以m=故答案為：?變式3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）過橢圓E:x2a2+y【答案】53/【分析】求出直線AB的方程，與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合弦的中點(diǎn)坐標(biāo)求解即得.【詳解】依題意，kAB=13?0由y=?23(x由弦AB的中點(diǎn)為M(12,1由a>1可得上述關(guān)于x的一元二次方程Δ>0

所以橢圓E的離心率為e=故答案為：5變式4．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知直線3x+4y?7=0與橢圓x【答案】3【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合橢圓方程和直線方程，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)A,B坐標(biāo)為x1作差可得(x1?根據(jù)題意可得y1?y2x1?當(dāng)m=3時(shí)，聯(lián)立3x+4其Δ=422故答案為：3.變式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，離心率為32，過點(diǎn)【答案】?【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式、橢圓離心率公式，結(jié)合點(diǎn)差法進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)Ax1,y1，B由題意可得x1+x將A，B的坐標(biāo)的代入橢圓的方程：x1作差可得x1所以y1又因?yàn)殡x心率e=ca=3所以?b2a2=?故答案為：?1變式6．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)OP的斜率為k'，求證：k【答案】(1)x(2)證明見解析【分析】（1）由題意，利用焦距，長軸，短軸間關(guān)系可得答案；（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2【詳解】（1）設(shè)半焦距為c，長半軸為a，短半軸為b，依題意可知2c=23故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：設(shè)Ax1,y1，Bx2把Ax1,y1，B兩式相減可得y2?y1x則k?k'變式7．（23-24高二下·北京·開學(xué)考試）已知橢圓x2a2+y2b2=1((1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)14，求直線l【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根據(jù)已知條件及橢圓的簡單幾何性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件設(shè)出直線l的方程，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合線段AB中點(diǎn)在直線l上即可求解.【詳解】（1）由題意可知2a=4,解得因?yàn)閑=所以c=所以b2=a所以橢圓的方程為x2（2）由題意可知直線斜率存在，如圖所示設(shè)l:y=y=kx+1x所以Δ=8k2x1設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為Mx所以xy0又因?yàn)榫€段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)14所以y0=k所以直線方程為y=12【方法技巧與總結(jié)】解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和【題型8：解答題匯總】例8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P在第一象限，且PF【答案】(1)x(2)0,3【分析】（1）依題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓的定義求得a，進(jìn)而求得b即可；（2）設(shè)Px,y(x【詳解】（1）由已知得2c=23∴F1?3,0同理MF∴2a∴a=2，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）設(shè)Px,y(x>0,y

∴PF由橢圓方程可得?3?整理得3x2≤9即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是0,3變式1．（23-24高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）已知A?2,0，B1,32在橢圓C：x2(1)求a，b的值及C的離心率；(2)若動(dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，求四邊形PF【答案】(1)a=2，b=(2)0,2【分析】（1）待定系數(shù)法求出橢圓方程，并求出離心率；（2）在（1）的基礎(chǔ)上求出F1F2【詳解】（1）因?yàn)锳?2,0，B1,3所以?22a2+0=11所以c=a2（2）由（1）得x24+故F1因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P，Q均在C上，且P，Q在x軸的兩側(cè)，所以四邊形PF1Q當(dāng)且僅當(dāng)P，Q分別為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)時(shí)，等號不成立.變式2．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）給定橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0，稱圓心在原點(diǎn)O(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)A，B是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸的兩交點(diǎn)，P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP?【答案】(1)橢圓C的方程為x23+(2)?3,?1.【分析】（1）根據(jù)已知求橢圓方程中的參數(shù)，即得橢圓方程，再由“準(zhǔn)圓”定義寫出對應(yīng)“準(zhǔn)圓”的方程；（2）設(shè)Pm,n?3≤m≤3，寫出A【詳解】（1）由題意知c=2，且a=故橢圓C的方程為x23+（2）由題意，設(shè)Pm,n不妨設(shè)A2,0，B?2,0，所以AP=m所以AP?BP=m2所以AP?BP的取值范圍是

變式3．（23-24高二上·浙江嘉興·階段練習(xí)）已知橢圓M:x2a2+y(1)求橢圓M的方程；(2)若直線l過橢圓上頂點(diǎn)，且k=1，求AB【答案】(1)x(2)3【分析】（1）由題意可得a2=b（2）由題意可得直線l的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立后，再結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式求解即可.【詳解】（1）由題意得，a2解得c=2，a=∴橢圓M的方程為x2（2）因?yàn)閗=1，橢圓上頂點(diǎn)為0,1所以直線l的方程為y=x+1，設(shè)A聯(lián)立y=x+1又直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以Δ=9>0，∴x1+x∴AB=

變式4．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知橢圓C:x2a2(1)求C的方程；(2)設(shè)P為C上一點(diǎn)，M1,0.若存在實(shí)數(shù)λ使得PF1【答案】(1)x(2)4【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率列式解得a2（2）根據(jù)橢圓定義可得λ=【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的長軸長與短軸長之和為6，則2a+2b=6又因?yàn)閑=ca=32聯(lián)立①②解得a2=4b2=1（2）設(shè)Px,y因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)λ使得PF1+可得λ=又因?yàn)?4x?43所以λ的取值范圍為43變式5．（23-24高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F且斜率為34的直線l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，點(diǎn)C為直線x=4上一點(diǎn)，以C為圓心的圓同時(shí)與x軸和直線l相切，且【答案】(1)1(2)x【分析】（1）根據(jù)3|OA|=2|（2）設(shè)橢圓方程為x24c2+y23c2=1，直線l的方程為y【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知得，3a又由a2=b2+c2所以，橢圓的離心率為12（2）由（1）知，a=2c,由題意，F(xiàn)?c,0，則直線l點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足x24c2+解得x1=c,x因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸的上方，所以Pc由圓心C在直線x=4上，可設(shè)C由（1）知A?2c,0，則k∴kOC=kAP，即t因?yàn)閳AC與x軸相切，所以圓的半徑r為2，由圓C與l:y=34x+c相切，得圓心故a=4,b=2【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．一、單選題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若橢圓x2a2+y2b2=1a>A．1617 B．41717 C．4【答案】A【分析】由已知條件可列出等量關(guān)系式c+b2c?【詳解】依題意得c+b2所以a=b2.2．（23-24高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）橢圓x2A．22 B．4 C．8 【答案】A【分析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦距的定義即可得解.【詳解】由x29+y2所以焦距為2c．3．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2m+A．3 B．13 C．2 D．【答案】D【分析】先分別表示出a,【詳解】∵a=m.4．（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知橢圓的方程為x2A．長軸長為2 B．短軸長為3 C．焦距為1 D．離心率為1【答案】A【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a,【詳解】由橢圓的方程x24+y2則a=2,所以長軸長為2a=4，短軸長為2b=235．（24-25高二上·江西贛州·階段練習(xí)）在△ABC中，sinB+sinC=2sinA，已知點(diǎn)B?3,0，C3,0，設(shè)點(diǎn)C到直線AB的最大距離為d1A．34 B．433 C．3【答案】A【分析】根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角互化，可知點(diǎn)A的軌跡及d1，d【詳解】由已知B?3,0，C3,0，則由sinB+sinC所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)，長軸長為12得橢圓，不含左、右頂點(diǎn)，所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A是橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到直線BC的距離最大為d2當(dāng)AB⊥BC時(shí)，點(diǎn)C到直線AB的距離最大為所以d1.6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為6π，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為FA．4 B．3 C．2 D．6【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，可得ab=6，再由四邊形周長求出a【詳解】依題意，ab=6，由橢圓對稱性，得線段AB則四邊形AF由橢圓的定義得4a=2(|A所以橢圓C的短半軸長b=2

7．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知P是橢圓x25+y24=1A．534,C．152,1【答案】C【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用面積公式計(jì)算參數(shù)即可.【詳解】設(shè)Px0,y0又S△PF1F2=1所以P15故選:B.8．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）橢圓x2A．3 B．5 C．3或5 D．不存在【答案】D【分析】分焦點(diǎn)在x軸和y軸上兩種情況求解即可.【詳解】∵2c=2，∴當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2=m，b∴m?4=1，m當(dāng)圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a2=4，∴c2=4?m=1綜上，m的值是3或5．二、多選題9．（24-25高二上·江蘇徐州·開學(xué)考試）關(guān)于方程mxA．若m>B．若m=nC．若n>D．若m=0,【答案】ACD【分析】AC選項(xiàng)，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的特征得到答案；B選項(xiàng)，化為x2+y【詳解】對于A，若m>n>0，則m因?yàn)閙>n>0對于B，若m=n>0，則mx2對于C，n>m>0，則m由于n>m>0對于D，若m=0,n>0，則mx2此時(shí)該方程表示平行于x軸的兩條直線，故D正確．CD10．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）阿基米德是古希臘數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”算出橢圓面積等于圓周率、橢圓的長半軸長、短半軸長三者的乘積．據(jù)此得某橢圓面積為62