高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義1.2.4二面角(2知識點(diǎn)+3題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

1.2.4二面角課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二面角及其平面角的概念2.會利用定義法求二面角的大小3.會用向量法求二面角的大小1.理解二面角的概念，并會求簡單的二面角:2.理解二面角的平面角的概念，會找二面角的平面角:知識點(diǎn)01二面角的概念1.半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．2.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個面分別為α，β的二面角的面，記作α-l-β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A-l-B，二面角的范圍為[0，π]．3.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．知識點(diǎn)02二面角的向量求法定義：如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ．則θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sinθsin〈n1，n2〉．條件平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，v〉φ圖形關(guān)系θφθπ－φ計(jì)算cosθcosφcosθ－cosφ【即學(xué)即練1】（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形．PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，則平面PAD與平面PBC所成的角的大小為．【即學(xué)即練2】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）設(shè)a=(1,1,0)，bA．1 B．－1 C．－1或1 D．2難點(diǎn)：動點(diǎn)問題示例1：（23-24高二下·江蘇常州·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．當(dāng)PQ=5時，點(diǎn)Q的軌跡長度為B．若PQ//平面A1BD，則C．當(dāng)PQ=5時，二面角Q?AB?P的余弦值的最小值是D．記直線PQ與平面AA1B1B所成角為【題型1：定義法求面面角】例1．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）H是二面角α?AB?β棱上的一點(diǎn)，在α平面上引射線HM，在β平面上引射線HN，若∠MHB=∠NHB=π4，∠MHN=πA．π2 B．π3 C．π4變式1．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，正八面體ABCDEF的12條棱長相等，則二面角E?AB?F的余弦值為.變式2．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5,BC=3,BB(1)直接在圖中作出平面α截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；(2)設(shè)平面α∩平面A1B1變式3．（24-25高二上·上海·課堂例題）P是二面角α?l?β內(nèi)的一點(diǎn)（P?α，P?β），PA⊥α，PB⊥β且∠APB=35°，求此二面角的大小.變式5．（23-24高二下·浙江·期末）如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面是邊長為4的正方形，M，N分別為棱AP，BC的中點(diǎn)，PA=PB，CP=DP=3，∠ACP=π

(1)求證：MN//平面CDP；(2)求二面角D?BC?P的平面角余弦值.變式5．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在幾何體S?ABC中，點(diǎn)E、O分別是SC、AC的中點(diǎn)，SO⊥底面ABC，∠ASC=∠ACB=90°．(1)求證：OE//平面SAB；(2)若點(diǎn)F在線段BC上，求異面直線OE、SF所成角的大?。?3)若SA=SC=2，BC=12變式6．（2024高二下·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）如圖，在底面為邊長為2的菱形的四棱錐P?ABCD中，PA=PB=2，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=60°，設(shè)E是棱PB上一點(diǎn)，三棱錐E?ACD的體積為12(1)證明：PC⊥AB；(2)求BE；(3)求二面角E?CD?A的正弦值.變式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐D?ABC中，平面ACD⊥平面ABC，AD⊥AC，AB⊥BC，E、F分別為棱BC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF//平面ABD；(2)若直線CD與平面ABC所成的角為45°，直線CD與平面ABD所成角為30°，求二面角B?AD?C的大?。痉椒记膳c總結(jié)】用定義求二面角的步驟1.作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理)．2.證明所作平面角即為所求二面角的平面角．3.解三角形求角．【題型2：向量法求面面角】例2．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=45°,BC=2PQ=2A．1010 B．31010 C．6變式1．（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，過二面角α?l?β內(nèi)一點(diǎn)P作PA⊥α于A,PB⊥β于B，若PA=5,PB=8,AB=7，則二面角α?l?β的大小為（

）A．30° B．60° C．120°變式2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=1，BC=22，A．31010 B．1010 C．5變式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱AAA．0,22 B．33,22變式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如圖，已知四棱錐P?ABCD中，AB∥CD,AB=6,AD=CB=3，CD=9，且PA=PB=5,Q在線段PC上，且滿足BQ∥平面PDA.(1)求PQQC(2)若平面PAB⊥平面ABCD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.變式5．（23-24高二下·云南紅河·期末）如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D

(1)求證：D1P//平面(2)求平面ABB1A變式6．（24-25高二上·上?！卧獪y試）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．(1)在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，說明理由；(2)若BC邊上有且僅有一個點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求出平面PQD與平面PAB所成角的大小．變式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面矩形ABCD垂直于側(cè)面PAD，且PA⊥AD,E、F分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，AD=2

(1)證明：PC⊥平面BEF；(2)若AD=2，求二面角F?BE?C【方法技巧與總結(jié)】求面面角的步驟第一步首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；第二步然后根據(jù)已知條件求出各自所求平面的法向量；第三步由向量的數(shù)量積計(jì)算公式即可得出結(jié)論.【題型3：動點(diǎn)探索性習(xí)題】例3．（22-23高二上·全國·階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE，M,N分別是線段BC,SB的中點(diǎn)，Q是線段DC上的一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)

A．不存在點(diǎn)Q，使得NQ⊥SBB．存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60C．當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時，二面角N?MQ?A的平面角先變大后變小D．當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時，二面角N?MQ?A的平面角先變小后變大變式1．（多選）（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，正方體ABCD?A1B1CA．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AE⊥CFB．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AEC．當(dāng)E運(yùn)動時，二面角E?AB?C最小值為45°D．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時，二面角A?EF?B的余弦值為定值13變式2．（多選）（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面且PO=OB=1，BC=2，點(diǎn)E在線段PB

A．當(dāng)E為PB中點(diǎn)時，PB⊥平面CEOB．記直線CE與平面BOP所成角為θ，則tanC．存在點(diǎn)E，使得平面CEO與平面BEC夾角為πD．CE+OE的最小值為6變式3．（多選）（23-24高二上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．存在點(diǎn)M，使得C1M⊥B．存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線B1CC．存在點(diǎn)M，使得三棱錐D1?D．不存在點(diǎn)M，使得α>β，其中α為二面角M?AA1?B的大小，β為直線M變式4．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2(1)求證：BD1//(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D1?MC?D的平面角的大小為π4變式5．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是C(1)證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；(2)當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成角θ最大?并求該角取最大值時的正切值；(3)是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角的正弦值為32，若存在，試確定點(diǎn)P變式6．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，BC=4，若異面直線PA與CD所成角等于(1)求棱PB的長；(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為5？若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請說明理由．變式7．（23-24高二上·湖北·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，PA=1，PB=5，E為BC(1)證明：PA⊥平面ABCD；(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M?DE?A的余弦值為223？若存在，試確定點(diǎn)1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期末）已知兩個平面的法向量分別為m=A．30° B．60° C．60°或1202．（22-23高二上·遼寧大連·期中）如圖，二面角α?l?β的棱上有兩點(diǎn)A,B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l，若AB=2,AC=3,BD=4,CD=41，則二面角α?l?βA．π6 B．π3 C．233．（23-24高二上·陜西安康·期中）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE=1，則平面ADE與平面BCE的夾角為（

）

A．45° B．60° C．120° D．150°4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知：PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=2，BC∥AD，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角Q?PD?AA．0,4155 B．0,155 5．（22-23高二上·天津河北·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=CCA．3010 B．7010 C．3066．（22-23高二上·北京·期中）若直線a的方向向量為a，平面α、β的法向量分別為n、m，則下列命題為假命題的是（

）A．若a//n，則直線a⊥B．若a⊥n，則直線aC．若cosa,n=12D．若cosm,n=127．（21-22高二下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（

）A．異面直線AC與BC1B．二面角A?B1C．直線AB1與平面ABD．四面體D1?A8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1DA．當(dāng)A1C=2B．當(dāng)A1C=3A1P時，若平面C．當(dāng)A1C=4A1D．若A1C二、多選題9．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥底面A．PA⊥BD B．PB與平面ABCD所成角為πC．異面直線AB與PC所成角的余弦值為55 D．二面角A?PB?C的正弦值為10．（22-23高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體ABCD?A1BA．三棱錐C?EFG的體積為1 B．A1C．A1D1//11．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形ABCD是邊長為4的正方形，則（

）

A．異面直線AE與DF所成角大小為πB．二面角A?EB?C的平面角的余弦值為1C．此八面體存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為32三、填空題12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形ABCD，AB=1,BC=3，沿對角線AC將△ABC折起，若BD=2，則二面角B?AC?D13．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿對角線AC折疊之后，使得平面BAC⊥平面ACD（如圖），則平面BCD與平面ACD夾角的正弦值為．

14．（24-25高二上·上?！卧獪y試）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66DO，則二面角B?PC?E

四、解答題15．（23-24高二下·云南楚雄·期末）如圖，在正三棱柱ABC?A'B'C'中，(1)證明：BE//平面AFC(2)求平面ABC與平面AFC16．（23-24高二下·黑龍江大慶·期中）四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，點(diǎn)E是棱PC上一點(diǎn).(1)求證：平面PAC⊥平面BDE；(2)當(dāng)E為PC中點(diǎn)時，求A?BE?D所成二面角銳角的大小.17．（23-24高二下·青海海東·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AP=AB=1，F(xiàn)，E分別是PB，PC的中點(diǎn)．(1)證明：PB⊥ED；(2)求平面ADEF與平面PCD的夾角．18．（23-24高二下·吉林長春·期末）如圖①，在等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=6，AD=22，E，F(xiàn)分別是線段CD的兩個三等分點(diǎn)，若把等腰梯形沿虛線AF，BE折起，使得點(diǎn)C和點(diǎn)D重合，記為點(diǎn)P，如圖②

(1)求證：平面PEF⊥平面ABEF；(2)求平面PAE與平面PAB所成銳二面角的余弦值.19．（23-24高二上·四川樂山·期末）已知直棱柱ABC?A1B1C1中，AB=2，AC=22，BB1(1)證明：DE⊥C(2)當(dāng)B1D為何值時，平面DEC與平面1.2.4二面角課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解二面角及其平面角的概念2.會利用定義法求二面角的大小3.會用向量法求二面角的大小1.理解二面角的概念，并會求簡單的二面角:2.理解二面角的平面角的概念，會找二面角的平面角:知識點(diǎn)01二面角的概念1.半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．2.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個面分別為α，β的二面角的面，記作α-l-β，若A∈α，B∈β，則二面角也可以記作A-l-B，二面角的范圍為[0，π]．3.二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在兩半平面內(nèi)分別作射線OA⊥l，OB⊥l，則∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．知識點(diǎn)02二面角的向量求法定義：如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ．則θ〈n1，n2〉或θπ－〈n1，n2〉，sinθsin〈n1，n2〉．條件平面α，β的法向量分別為u，v，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，v〉φ圖形關(guān)系θφθπ－φ計(jì)算cosθcosφcosθ－cosφ【即學(xué)即練1】（24-25高二上·上海·隨堂練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形．PA⊥平面ABCD，且PA=AB=1，則平面PAD與平面PBC所成的角的大小為．【答案】45°【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法求平面PAD與平面PBC所成的角的大小.【詳解】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB=1，所以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0則PB=1,0,?1，由題知，平面PAD的法向量為AB=設(shè)平面PBC的法向量為m=則m?PB=x?z=0m?所以m=設(shè)平面PAD與平面PBC所成的角為θ，則cosθ=又0°≤θ≤90°，所以所以平面PAD與平面PBC所成的角的大小為45°，故答案為：45°.【即學(xué)即練2】（23-24高二下·甘肅酒泉·期末）設(shè)a=(1,1,0)，bA．1 B．－1 C．－1或1 D．2【答案】D【分析】借助向量夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)榉ㄏ蛄縜，b所成的角與兩平面所成的角相等或互補(bǔ)，所以1,1,0?．難點(diǎn)：動點(diǎn)問題示例1：（23-24高二下·江蘇常州·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．當(dāng)PQ=5時，點(diǎn)Q的軌跡長度為B．若PQ//平面A1BD，則C．當(dāng)PQ=5時，二面角Q?AB?P的余弦值的最小值是D．記直線PQ與平面AA1B1B所成角為【答案】AD【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，對A：利用空間兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可得點(diǎn)Q軌跡，即可得其長度；對B：借助空間向量求出平面A1BD法向量可得點(diǎn)Q軌跡，即可得其長度的最小值；對C：借助空間向量求出兩平面的法向量后可得其夾角的余弦值，結(jié)合點(diǎn)Q軌跡即可得其范圍；對D：求出平面【詳解】以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有D0,0,0，P2,1,2，設(shè)Q0,m,n，0≤m≤2對A：PQ=22則點(diǎn)Q的軌跡為以0,1,2為圓心，1為半徑，且在正方形CC則點(diǎn)Q的軌跡長度為12對B：PQ=?2,m?1,n?2，A1則DA1=2,0,2，DB=則有m?DA1=2x1由PQ//平面A1BD，則有即m+n=1，則PQ=2對C：A2,0,0，AQ=?2,m,n設(shè)平面ABQ的法向量為α=則有α?可令x2=n，則y2=0，易得x軸⊥平面ABP，故平面ABP的法向量可為β=則cosα由A知m?12+n?22=1則cosα故二面角Q?AB?P的余弦值的最小值是55對D：PQ=?2,m?1,n?2，平面AA則sinθ=由0≤m≤2，0≤n≤2，則m?12故sinθ=D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，從而借助平面的法向量研究位置關(guān)系，借助空間向量的夾角公式研究二面角或線面角.【題型1：定義法求面面角】例1．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）H是二面角α?AB?β棱上的一點(diǎn)，在α平面上引射線HM，在β平面上引射線HN，若∠MHB=∠NHB=π4，∠MHN=πA．π2 B．π3 C．π4【答案】A【分析】過AB上一點(diǎn)Q分別在α,β內(nèi)做AB的垂線，分別交HM,HN于M點(diǎn)和N點(diǎn)，則∠MQN即為二面角α?AB?β的平面角，設(shè)HQ=1，求出MQ,NQ,MN可得答案.【詳解】過AB上一點(diǎn)Q分別在α,β內(nèi)做AB的垂線，分別交HM,HN于M點(diǎn)和N點(diǎn)，則∠MQN即為二面角α?AB?β的平面角，如下圖所示：設(shè)HQ=1，因?yàn)椤螹HB=∠NHB=π所以MH=NH=2，MQ=NQ=1因?yàn)椤螹HN=π3，所以MN=2所以MQ⊥NQ，即二面角α?AB?β的大小為π2.變式1．（23-24高二下·廣東·期末）如圖，正八面體ABCDEF的12條棱長相等，則二面角E?AB?F的余弦值為.【答案】?1【分析】AB的中點(diǎn)為G，∠EGF為二面角E?AB?F的平面角，結(jié)合正八面體的幾何特征，利用余弦定理求值即可.【詳解】連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接EF，取AB的中點(diǎn)G，連接EG,FG，根據(jù)正八面體的幾何特征，有EF過點(diǎn)O，EG⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，又EG?平面ABE，F(xiàn)G?平面ABF，平面ABE∩平面ABF=AB，所以∠EGF為二面角E?AB?F的平面角.正八面體中，EF⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則EF⊥AC，所以△AOE是直角三角形，設(shè)正八面體棱長為2，則AO=2，AE=2，所以O(shè)E=2在△AEB中，EG=32在△EGF中，由余弦定理，可得cos故答案為：?1變式2．（23-24高二下·貴州銅仁·期末）如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=5,BC=3,BB(1)直接在圖中作出平面α截此長方體所得的截面（不必說明畫法和理由），判斷截面圖形的形狀，并證明；(2)設(shè)平面α∩平面A1B1【答案】(1)作圖見解析，截面為矩形，證明見解析；(2)55【分析】（1）作出截面，利用面面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)判斷即可.（2）連接AF，確定二面角的平面角并計(jì)算即得.【詳解】（1）在平面A1B1C1D1內(nèi)過點(diǎn)P作EF//則四邊形BCEF為所作截面，截面BCEF為矩形，證明如下：在長方體ABCD?A1B又平面ABB1A1//平面CDD1C1于是BF//CE，四邊形BCEF為平行四邊形，又BC⊥平面ABB1A1，因此BC⊥BF，所以四邊形BCEF為矩形.（2）連接AF，由矩形BCEF的周長為16，且BC=3，得BF=5，又BB1=4，∠BB1F=90由（1）知，EF//BC，則EF⊥平面ABB1A1，而因此EF⊥BF,EF⊥AF，二面角A?l?B的平面角為∠BFA，在△ABF中，AB=BF，則cos∠BFA=所以二面角A?l?B的余弦值為55變式3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）P是二面角α?l?β內(nèi)的一點(diǎn)（P?α，P?β），PA⊥α，PB⊥β且∠APB=35°，求此二面角的大小.【答案】145°【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，利用定義求解即得.【詳解】令平面PAB與l相交于O，連接OA、OB，如圖，

由PA⊥α于點(diǎn)A，得PA⊥l，同理PB⊥l，又PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB，因此l⊥平面PAB，而OA,OB?平面PAB，則l⊥OA，l⊥OB，于是∠AOB是二面角α?l?β的平面角，又∠APB=35°，所以∠AOB=145°.變式5．（23-24高二下·浙江·期末）如圖，已知四棱錐P?ABCD，底面是邊長為4的正方形，M，N分別為棱AP，BC的中點(diǎn)，PA=PB，CP=DP=3，∠ACP=π

(1)求證：MN//平面CDP；(2)求二面角D?BC?P的平面角余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）作出輔助線證明MNCL為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）利用線面垂直判定定理作出二面角D?BC?P的平面角∠PGO，再由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）取DP的中點(diǎn)L，連接ML，CL，如下圖所示：

∵M(jìn)，L分別是PA，PD的中點(diǎn)，∴ML∥AD，∵CN∥AD，∴ML∥CN，ML=CN，可得四邊形∴MN∥CL，∵M(jìn)N?面CDP，CL?面所以MN//平面CDP（2）取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，PF，PE，作PO⊥EF交EF于O，∵CP=DP=3，∴PF⊥CD且PF=5∵底面是邊長為4的正方形，∴CD⊥EF，∵PF∩EF=E，PF，EF?平面PEF，∴CD⊥平面PEF，PO?平面PEF，∴PO⊥CD，又CD∩EF=F且CD,EF?平面ABCD；即PO⊥平面ABCD.過O點(diǎn)作OG⊥BC，連接PG，如下圖所示：

易知知PG⊥BC，則∠PGO為二面角D?BC?P的平面角.在△ACP中，AP在△AEP中，PE設(shè)OF=x，則OE=4?x，則PO2=13?可得PO=5?1=2，所以在Rt△PGO中，cos即二面角D?BC?P的平面角的余弦值為22變式5．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，在幾何體S?ABC中，點(diǎn)E、O分別是SC、AC的中點(diǎn)，SO⊥底面ABC，∠ASC=∠ACB=90°．(1)求證：OE//平面SAB；(2)若點(diǎn)F在線段BC上，求異面直線OE、SF所成角的大小；(3)若SA=SC=2，BC=12【答案】(1)證明見解析(2)90°(3)6【分析】（1）借助中位線性質(zhì)，運(yùn)用線面平行判定可解；（2）運(yùn)用線面垂直得到線線垂直即可得到異面直線OE、SF所成角;（3）找出二面角的平面角，借助銳角三角函數(shù)求出余弦值即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)E、O分別是SC、AC的中點(diǎn)，所以O(shè)E//SA．又因?yàn)镺E?平面SAB，SA?平面SAB,所以O(shè)E//平面SAB．（2）解：因?yàn)镺E∥AS，所以∠ASF（或其補(bǔ)角）是異面直線OE、SF所成的角．因?yàn)镾O⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以SO⊥BC．又∠ACB=90°，即AC⊥BC，又SO∩AC=O,SO,AC?平面ASC，所以BC⊥平面ASC，AS?平面ASC,于是BC⊥AS．因?yàn)椤螦SC=90°，即AS⊥SC，又SC∩BC=C,SC,BC?平面SBC，所以AS⊥平面SBC，從而AS⊥SF，所以∠ASF=90°，即異面直線OE、SF所成角的大小為90°．（3）解：由（2）可得AS⊥平面SBC，所以AS⊥SB，而AS⊥SC，所以∠BSC是二面角B?AS?C的平面角．在Rt△ASC中，∠ASC=90°，SA=SC=2，則AC=2，而BC=12由上面證明知道，BC⊥平面ASC，SC?平面ASC.則∠BCS=90°，SC=2，BC=1，則SB=所以cos∠BSC=SCCB=6變式6．（2024高二下·浙江紹興·學(xué)業(yè)考試）如圖，在底面為邊長為2的菱形的四棱錐P?ABCD中，PA=PB=2，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=60°，設(shè)E是棱PB上一點(diǎn)，三棱錐E?ACD的體積為12(1)證明：PC⊥AB；(2)求BE；(3)求二面角E?CD?A的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)BE=1(3)5【分析】（1）取AB中點(diǎn)H，連結(jié)PH，CH，證明AB⊥平面CHP，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）作EM⊥AB于M，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明EM⊥平面ABCD，再根據(jù)三棱錐的體積公式即可得解；（3）作MN⊥CD交于DC的延長線于點(diǎn)N，連接EN，證明CD⊥平面EMN，則CD⊥EN，則∠ENM即為二面角E?CD?A的平面角，再解△ENM即可.【詳解】（1）取AB中點(diǎn)H，連結(jié)PH，CH，因?yàn)镻A=PB=2，所以PH⊥AB，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，則△ABC是等邊三角形，所以CH⊥AB，又PH∩CH=H,PH,CH?平面CHP，故AB⊥平面CHP，又CP?平面CHP，所以AB⊥CP；（2）作EM⊥AB于M，因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，EM?平面PAB，所以EM⊥平面ABCD，所以VE?ACD=1所以BE=1；（3）作MN⊥CD交于DC的延長線于點(diǎn)N，連接EN，由EM⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，得EM⊥CD，又MN∩EM=M,MN,EM?平面EMN，所以CD⊥平面EMN，又EN?平面EMN，所以CD⊥EN，所以∠ENM即為二面角E?CD?A的平面角，sin∠ENM=變式7．（22-23高二上·上海普陀·期末）如圖，在三棱錐D?ABC中，平面ACD⊥平面ABC，AD⊥AC，AB⊥BC，E、F分別為棱BC、CD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF//平面ABD；(2)若直線CD與平面ABC所成的角為45°，直線CD與平面ABD所成角為30°，求二面角B?AD?C的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)45°【分析】（1）根據(jù)E，F(xiàn)分別是棱BC、CD的中點(diǎn)得到EF//BD，從而可證直線EF//平面ABD；（2）利用線面角與二面角的定義，結(jié)合線面垂直的判定定理求得所需線面角與二面角，從而得解.【詳解】（1）∵E，F(xiàn)分別是棱BC、CD的中點(diǎn)，∴在△BCD中，EF//BD，∵EF?平面ABD，BD?平面ABD，∴直線EF//平面ABD；（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，AD?平面ACD，AD⊥AC，∴AD⊥平面ABC，∴∠DCA是直線CD與平面ABC所成角，∵直線CD與平面ABC所成角為45°，∴∠DCA=45°，∴AD=AC，∵AD⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC，∴AD⊥BC，AD⊥AB，∵AB⊥BC，AB∩AD=A，AB，AD?ABD平面，∴BC⊥平面ABD，∴∠BDC是直線CD與平面ABD所成角，∵直線CD與平面ABD所成角為30°，∴∠BDC=30°，∴BC=12CD，BD=3則CD=2，BD=3，AD=AC=2，∴△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=45°，∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴∠BAC是二面角的平面角，∴二面角B?AD?C的大小為45°．【方法技巧與總結(jié)】用定義求二面角的步驟1.作(找)出二面角的平面角(作二面角時多用三垂線定理)．2.證明所作平面角即為所求二面角的平面角．3.解三角形求角．【題型2：向量法求面面角】例2．（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在體積為5的多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，∠DAB=45°,BC=2PQ=2A．1010 B．31010 C．6【答案】D【分析】先證明∠ABQ=90°，再根據(jù)體積公式，結(jié)合棱柱與棱錐的體積關(guān)系，結(jié)合等體積法可得PM=?=6，即可建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用法向量求解.【詳解】在△DCM中，由余弦定理可得DM=D所以DM2+DC2又因?yàn)镈C⊥PD，DM∩PD=D,DM,DP?平面PDM,所以DC⊥平面PDM,PM?平面PDM，所以DC⊥PM．由于PQ//BM,PQ=BM=2,所以四邊形PQBM為平行四邊形，所以PM又AB//DC，所以AB⊥BQ，所以∠ABQ=90°．因?yàn)镼B⊥MD，所以PM⊥MD，又PM⊥CD，DC∩MD=D,DC,MD?平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，則QB⊥面ABCD．取AD中點(diǎn)E，連接PE，由PM?面PME，QB?面ABQ，則面PME⊥面ABCD，面ABQ⊥面ABCD，根據(jù)已知易知△ABQ?△EMP，所以ABQ?EMP為三棱柱，設(shè)PM=?，多面體ABCDPQ的體積為V，則V==S解得PM=?=6．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A?1,2,0,B?1,1,0則平面QAB的一個法向量n=1,0,0，且設(shè)平面PCD的一個法向量m=x,y,z，則m?CD=0,所以cosθ=m?nm?n變式1．（23-24高二上·河南焦作·階段練習(xí)）如圖，過二面角α?l?β內(nèi)一點(diǎn)P作PA⊥α于A,PB⊥β于B，若PA=5,PB=8,AB=7，則二面角α?l?β的大小為（

）A．30° B．60° C．120°【答案】D【分析】設(shè)PA=a,PB=【詳解】設(shè)PA=a,PB=因?yàn)锳B2=b可得cosa且0°≤a所以二面角α?l?β的大小為120°.變式2．（23-24高二上·陜西渭南·期末）在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=1，BC=22，A．31010 B．1010 C．5【答案】A【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，結(jié)合二面角M?BC?A是銳角以及法向量夾角余弦的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可得解.【詳解】過點(diǎn)A作AE//BC交CD于點(diǎn)E，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE,AB?平面ABCD，所以PA⊥AE,PA⊥AB，又因?yàn)锳B∥CD，∠ABC=π2，所以所以PA,AE,AB兩兩互相垂直，所以以A為原點(diǎn)，PA,AE,AB所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)锳B=PA=12CD=1，BC=22，所以A0,0,0所以BC=設(shè)平面BCM的法向量為n=x,y,z，則令y=1，解得x=0,z=3，即可取n=顯然可取平面ABC的法向量為m=0,0,1，且二面角所以二面角M?BC?A的余弦值為..變式3．（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱AAA．0,22 B．33,22【答案】A【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面EFB的法向量，由向量的夾角公式求解二面角的余弦值的取值范圍，由此判斷求解即可．【詳解】設(shè)平面EFB與底面ABCD所成的二面角的平面角為θ，由圖可得θ不為鈍角.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D所以BE=設(shè)平面EFB的法向量為n=(x,y,z)則n?BE=0令x=?1，則y=m(n?1),z=n?1又底面ABCD的一個法向量為m=(0,0,1)所以cosθ=cosn則cosθ=當(dāng)n=1時，cosθ=0當(dāng)n≠1時，cosθ=111?n2則1?n2∈0,1，m則當(dāng)n=0,m=0時，分母取到最小值2，此時cosθ當(dāng)n→1，n>0時，則11n?12綜上cosθ∈.變式4．（23-24高二下·河南漯河·期末）如圖，已知四棱錐P?ABCD中，AB∥CD,AB=6,AD=CB=3，CD=9，且PA=PB=5,Q在線段PC上，且滿足BQ∥平面PDA.(1)求PQQC(2)若平面PAB⊥平面ABCD，求平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.【答案】(1)2；(2)891【分析】（1）過點(diǎn)Q作QE∥CD交PD于E，由線面平行的性質(zhì)可得BQ∥AE，則PQQC（2）利用空間向量法即可求得平面PAB與平面PCD夾角的余弦值.【詳解】（1）過點(diǎn)Q作QE∥CD交PD于E，連接AE，由于BQ∥平面PDA，由線面平行性質(zhì)知BQ∥AE，又QE∥CD∥AB,∴四邊形ABQE為平行四邊形.所以QE=6,QE則PQQC（2）取線段AB的中點(diǎn)O，連接OP,∵PA=PB,∴PO⊥AB.又平面PAB∩平面ABCD=AB，由已知：平面PAB⊥平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過O作AB的垂線為y軸，以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)P所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則易得平面APB的一個法向量nC92則DC=設(shè)平面PCD的法向量為n2則n令y=8，可得n2設(shè)平面PAB與平面PCD夾角為θ,cos故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為891變式5．（23-24高二下·云南紅河·期末）如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D

(1)求證：D1P//平面(2)求平面ABB1A【答案】(1)見解析(2)π【分析】（1）利用空間向量證明D1（2）利用空間向量求解二面角即可.【詳解】（1）底面ABCD是邊長為2的正方形，DD故DD1，DA，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1分別為x軸，y軸，

在四棱臺ABCD?A1B1C故D1則D1所以D1P=?且D1P?平面BCC1B故D1P//平面（2）由（1）知，BC=(?2,0,0),BC設(shè)平面BCC1則n令y1=1設(shè)平面ABB1則n令x2=1故cos故平面ABB1A1與平面變式6．（24-25高二上·上?！卧獪y試）在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．(1)在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，說明理由；(2)若BC邊上有且僅有一個點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求出平面PQD與平面PAB所成角的大?。敬鸢浮?1)答案見解析(2)6(3)arctan【分析】（1）設(shè)BQ=x，則QC=a?x，分別求出QD|2,PQ|（2）由（1）知，當(dāng)BC邊上僅有一個點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD時，即BC=2，Q為BC中點(diǎn)，先根據(jù)面面垂直的判斷定理，證明平面PDQ⊥平面APQ，然后過點(diǎn)A作AE⊥PQ，垂足為E，得AE⊥平面PDQ，即∠ADE為AD和平面PDQ（3）延長DQ，AB交于點(diǎn)F，則PF為平面PQD和平面PAB的交線，過點(diǎn)A作AH⊥AF，垂足為H，連接DH，根據(jù)線面垂直的判定定理以及性質(zhì)證明PF⊥DH，則∠AHD即為平面PQD與平面PAB所成角，最后利用等面積法和銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】（1）設(shè)BQ=x，則QC因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AQ|QD|因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，所以PA⊥AQ，PA⊥AD，所以PQ|PD|假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，由PD|2=即x2?ax+1=0其判別式為Δ=則當(dāng)a=2時，Δ=0，方程①有一解，即存在一個點(diǎn)Q，使PQ⊥QD當(dāng)a>2時，Δ>0，方程①有兩解，即存在兩個點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD當(dāng)0<a<2時，Δ<0，方程①無實(shí)根，即不存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD（2）由（1）知，當(dāng)BC邊上僅有一個點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD時，a=2，x=1，即BC=2，Q為BC中點(diǎn)，此時，AQ=2，QD=所以AQ|即QD⊥AQ，又因?yàn)镼D⊥PQ，AQ∩PQ=Q，AQ,PQ?平面APQ，所以QD⊥平面APQ，因?yàn)镼D?平面PDQ所以平面PDQ⊥平面APQ，如圖①所示，過點(diǎn)A作AE⊥PQ，垂足為E，則AE⊥平面PDQ，所以∠ADE為AD和平面PDQ所成的角，在Rt△PAQ中，AE所以AE=在Rt△ADE中，sin（3）如圖②所示，延長DQ，AB交于點(diǎn)F，則PF為平面PQD和平面PAB的交線，過點(diǎn)A作AH⊥AF，垂足為H，連接DH，因?yàn)锳D⊥AB,AD⊥PA,AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，因?yàn)镻F?平面PAB，所以AD⊥PF，又因?yàn)锳H⊥PF,AD∩AH=A,AD,AH?平面ADH，所以PF⊥平面ADH，所以PF⊥DH，所以∠AHD即為平面PQD與平面PAB所成角，由（2）知Q為BC中點(diǎn)，因?yàn)锽Q//AD，所以B為AF中點(diǎn)，即AF=2所以PF=在Rt△PAF中，AH所以AH=在Rt△AHDtan∠AHD=所以∠AHD=arctan即平面PQD與平面PAB所成角的大小為arctan5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了線線垂直、線面角及二面角，解題的關(guān)鍵在于通過輔助線作出線面角、二面角，計(jì)算量較大，容易出錯.變式7．（23-24高二下·安徽亳州·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面矩形ABCD垂直于側(cè)面PAD，且PA⊥AD,E、F分別是棱AD、PC的中點(diǎn)，AD=2

(1)證明：PC⊥平面BEF；(2)若AD=2，求二面角F?BE?C【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）由面面垂直可得BA⊥平面PAD，則BA⊥PA，由幾何知識可得EF⊥PC，BF⊥PC，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，可得平面BEF、平面ABCD的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）因?yàn)锳BCD為矩形，則BA⊥AD，且平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD=AD,BA?平面PAD，則BA⊥平面PAD，且PA?平面PAD，所以BA⊥PA．

連接PE、EC．在Rt△PAE和Rt△CDE中，可知Rt△PAE全等于Rt△CDE．則且F是PC的中點(diǎn)，則EF⊥PC．在Rt△PAB中，PB=而F是PC的中點(diǎn)，則BF⊥PC．且BF∩EF=F，BF,EF?平面BEF，所以PC⊥平面BEF．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP,AD,AB所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，

則P1,0,0,C0,由（1）知，PC=?1,2且平面ABCD的法向量是AP=可得cosPC所以二面角F?BE?C的正弦值為1??【方法技巧與總結(jié)】求面面角的步驟第一步首先根據(jù)已知條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系并標(biāo)出相應(yīng)點(diǎn)的空間坐標(biāo)；第二步然后根據(jù)已知條件求出各自所求平面的法向量；第三步由向量的數(shù)量積計(jì)算公式即可得出結(jié)論.【題型3：動點(diǎn)探索性習(xí)題】例3．（22-23高二上·全國·階段練習(xí)）如圖，在多面體ABCDES中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且DE//SA，SA=AB=2DE，M,N分別是線段BC,SB的中點(diǎn)，Q是線段DC上的一個動點(diǎn)（含端點(diǎn)

A．不存在點(diǎn)Q，使得NQ⊥SBB．存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60C．當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時，二面角N?MQ?A的平面角先變大后變小D．當(dāng)點(diǎn)Q自D向C處運(yùn)動時，二面角N?MQ?A的平面角先變小后變大【答案】A【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對于A，由NQ?SB=2m?1+2=0,0≤m≤2即可判斷；對于B，cos【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,

設(shè)DE=1，則SA=AB=2；∴A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,2,0，E0,2,1，S對于A，假設(shè)存在點(diǎn)Qm,2,00≤m≤2，使得NQ⊥SB，則又SB=∴NQ?SB=2m?1+2=0，解得：m=0，即點(diǎn)對于B，假設(shè)存在點(diǎn)Qm,2,00≤m≤2，使得異面直線NQ與SA所成的角為∵NQ=m?1,2,?1∴cos∴不存在點(diǎn)Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為60°對于C，D，由上分析知：NQ=m?1,2,?1，NM=(1,1,?1)，若m則m?NQ=(m?1)x+2y?z=0m?而面AMQ的法向量n=(0,0,1)所以cosm,n則cosm,n由Q從D到C的過程，m由小變大，則t由大變小，即1t所以cosm.變式1．（多選）（23-24高二上·山東淄博·期中）如圖，正方體ABCD?A1B1CA．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AE⊥CFB．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AEC．當(dāng)E運(yùn)動時，二面角E?AB?C最小值為45°D．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時，二面角A?EF?B的余弦值為定值13【答案】ABD【分析】利用垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解選項(xiàng)A；利用平行關(guān)系求解選項(xiàng)B；利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出二面角的余弦值求解選項(xiàng)C,D.【詳解】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,對于A，則A(2,2,0),B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),D由于EF=2，設(shè)則AE=(t?2,?t,2)則AE?所以E，F(xiàn)運(yùn)動時，不存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得AE⊥CF，A錯誤;對B，若AE//BF，則與AB與B1對C，設(shè)平面ABE的法向量為m=(x,y,z).又ABAB?m=?2x=0AE?平面ABC的法向量可取為n=(0,0,1)故cos<因?yàn)?≤t≤2，所以函數(shù)y=1+4t所以1+4所以cos<所以當(dāng)t=2時，cos<m,設(shè)二面角E?AB?C的平面角為θ,0<θ<π所以cosθ有最大值為2即二面角E?AB?C的最小值為45°對于D，連接BD,AD平面EFB即為平面BDD1B1,平面取平面BDD1B設(shè)平面AB1DAAB1?t=?2a+2c=0D設(shè)二面角A?EF?B的平面角為α，則cosα觀察可知二面角A?EF?B的平面角為α為銳角，所以cosα=故選:ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來判斷選項(xiàng).變式2．（多選）（23-24高二上·浙江寧波·期中）如圖，AB是底面圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面且PO=OB=1，BC=2，點(diǎn)E在線段PB

A．當(dāng)E為PB中點(diǎn)時，PB⊥平面CEOB．記直線CE與平面BOP所成角為θ，則tanC．存在點(diǎn)E，使得平面CEO與平面BEC夾角為πD．CE+OE的最小值為6【答案】ABD【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.【詳解】因?yàn)镻O=OB=1，BC=2，所以O(shè)B⊥OC，又因?yàn)镻O垂直于圓O所在的平面，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C,OB,OP對于A，因?yàn)镋為PB中點(diǎn)，所以E(0,12,所以O(shè)E?PB=又OE∩OC=O,OE,OC?平面CEO，所以PB⊥平面CEO，選項(xiàng)A正確；對于B，因?yàn)辄c(diǎn)E在線段PB上，設(shè)PE=λPB,λ∈[0,1]，則E(0,λ,1?λ)，CE=(?1,λ,1?λ)，平面所以sinθ=cos<所以tanθ∈對于C，設(shè)平面CEO的一個法向量為n1=(x1,y1,z1)，則n1?則n2?BC=x所以n2所以cos<n1所以cos<n1所以不存在點(diǎn)E，使得平面CEO與平面BEC夾角為π6對于D，CE+OE=CE因?yàn)棣恕蔥0,1]，所以當(dāng)λ=12時，CE+OE取得最小值為BD.

變式3．（多選）（23-24高二上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．存在點(diǎn)M，使得C1M⊥B．存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線B1CC．存在點(diǎn)M，使得三棱錐D1?D．不存在點(diǎn)M，使得α>β，其中α為二面角M?AA1?B的大小，β為直線M【答案】ACD【分析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA、BB1所在直線分別為x、y、【詳解】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、BA、BB1所在直線分別為x、y、則A0,1,0、B0,0,0、C1,0,0、D1,1,0、C11,0,1、D11,1,1，設(shè)BM=t對于A：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得C1M⊥平面因?yàn)镃1M=t?1,t,t?1，則C1M?故當(dāng)點(diǎn)M為線段BD1的中點(diǎn)時，C1即選項(xiàng)A正確；對于B：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線B1C所成的角為AM=t,t?1,t，因?yàn)锳M?B1所以不存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線B1C所成的角為即選項(xiàng)B錯誤；對于C：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得三棱錐D1?CS△C1DD1=則VD1?所以當(dāng)點(diǎn)為M線段BD1的靠近三棱錐D1?C對于D：AM=t,t?1,t，設(shè)平面AA1M則m?取x=1?t，可得m=易知平面AA1B的一個法向量為n=1,0,0則cosα=A1M=cosβ=因?yàn)?<t2+則cosα=因?yàn)棣痢?,π2，β∈0,π則a≤β，即不存在點(diǎn)M，使得α>β，即選項(xiàng)D正確.CD.變式4．（23-24高二下·甘肅蘭州·期末）如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2(1)求證：BD1//(2)在線段AB上是否存在點(diǎn)M，使二面角D1?MC?D的平面角的大小為π4【答案】(1)證明見解析(2)存在，AM=2?【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得DD1⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A（2）假設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M，設(shè)M1,y0,00≤【詳解】（1）∵平面AA1D平面AA1DDD1⊥AD,DD1則以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D?xyz，則D0,0,0∴D設(shè)平面A1DE的法向量為n1令x1=1，解得：又BD1=又BD1?平面A（2）假設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M，使二面角D1?MC?D的大小為設(shè)M1,y0設(shè)平面D1MC的一個法向量為則n2令y2=1，解得：又平面MCD的一個法向量為D1，即y02?4y0此時AM=2?3∴在線段AB上存在點(diǎn)M，使二面角D1?MC?D的平面角的大小為此時AM=2?3變式5．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是C(1)證明：無論λ取何值，總有AM⊥PN；(2)當(dāng)λ取何值時，直線PN與平面ABC所成角θ最大?并求該角取最大值時的正切值；(3)是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角的正弦值為32，若存在，試確定點(diǎn)P【答案】(1)證明見解析(2)λ=12(3)存在；點(diǎn)P的位置在A【分析】（1）以AB，AC，AA1別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷AM?（2）設(shè)出平面ABC的一個法向量，表達(dá)出sinθ，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的λ值，進(jìn)而求出此時θ（3）假設(shè)存在，利用平面PMN與平面ABC所成的二面角的余弦值為12，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角的余弦值為12，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個關(guān)于【詳解】（1）證明：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A10,0,1，B11,0,1，A1P=λA1PN=∵AM=0,1,1所以無論λ取何值，AM⊥PN.（2）∵m=∴sin∴當(dāng)λ=12時，θ取得最大值，此時sinθ=45（3）假設(shè)存在，則NM=?1設(shè)n=x,y,z是平面則?12x+12y+12z=0∴n=∴cosm化簡得4λ2?14λ+1=0∴存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角正弦值為32，此時點(diǎn)P的位置在A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求二面角時可用分別求出兩個面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，進(jìn)而求出角度.變式6．（23-24高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，BC=4，若異面直線PA與CD所成角等于(1)求棱PB的長；(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為5？若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請說明理由．【答案】(1)2(2)存在，點(diǎn)E為棱PA上靠近A的三等分點(diǎn)【分析】（1）先得到線面垂直，線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BP=b(b>0)，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，由異面直線的夾角得到方程，求出b=2，求出棱長；（2）假設(shè)棱PA上存在一點(diǎn)E，設(shè)PE=λPA，(0≤λ≤1)，表達(dá)出E2λ,0,2?2λ，求出兩個平面的法向量，由平面PAB與平面BDE【詳解】（1）因?yàn)镻B⊥底面ABCD，AB,BC?平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，又BC⊥AB，所以AB,BC,PB兩兩垂直，如圖，以B為原點(diǎn)，BA、BC、BP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BP=b(b>0)，則B0,0,0則PA=∵異面直線PA、CD所成角為60°，∴cos解得b=2，棱長PB的大小為2；（2）假設(shè)棱PA上存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為5，設(shè)PE=λPA，(0≤λ≤1)，且Ex∴E2λ,0,2?2λ設(shè)平面DEB的一個法向量為m=BE=2λ,0,2?2λ，則m?取a=λ?1，得m=平面PAB的法向量p=∵平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為5，由tanθ=5得sinθcosθ∴平面PAB與平面BDE所成銳二面角的余弦值為66∴|cos解得λ=23或λ=2（舍∴在棱PA上存在一點(diǎn)E，使得平面PAB與平面BDE所成銳二面角的正切值為5，且點(diǎn)E為棱PA上靠近A的三等分點(diǎn)．變式7．（23-24高二上·湖北·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD為直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=BC=2CD=2，PA=1，PB=5，E為BC(1)證明：PA⊥平面ABCD；(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M，使得二面角M?DE?A的余弦值為223？若存在，試確定點(diǎn)【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)【分析】（1）由題意，△ABE≌△BCD，得到BD⊥AE，進(jìn)而證明BD⊥平面PAE，即可得到BD⊥PA，即可證明PA⊥平面ABCD；（2）以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，BM=λBP=2λ,0,λ0≤λ≤1【詳解】（1）證明：

連接AE，AE與BD的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，因?yàn)锳B=BC，BE=12BC=1=CD所以△ABE≌△BCD，所以∠BAE=∠CBD，因?yàn)椤螦BD+∠CBD=90°，所以∠ABD+∠BAE=90所以∠AOB=90°，即BD⊥AE，又因?yàn)锽D⊥PE，且PE∩AE=E，PE?平面PAE，AE?平面PAE，所以BD⊥平面PAE，因?yàn)镻A?平面PAE，所以BD⊥PA．因?yàn)樵凇鱌AB中，PA2+A又因?yàn)锽D∩AB=B，AB?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD．（2）存在，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)理由如下：如圖，以B為原點(diǎn)，BA，BC所在直線分別為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B0,0,0，P2,0,1，E0,1,0，D

設(shè)BM=λBP=則EM=2λ,?1,λ，設(shè)平面DEM的法向量n=x,y,z，由取x=λ，則n=易知，平面ABCD的一個法向量為n=因?yàn)槎娼荕?DE?A的余弦值為22即cosn整理可得12λ2?4λ?1=0，解得λ=?故線段PB上存在一點(diǎn)M，使得二面角M?DE?A的余弦值為223，此時點(diǎn)M為線段1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期末）已知兩個平面的法向量分別為m=A．30° B．60° C．60°或120【答案】C【分析】根據(jù)兩平面夾角與其法向量夾角的關(guān)系，利用向量夾角公式即可得到答案.【詳解】cosm,n故兩向量夾角為23π，故兩平面夾角為π3.2．（22-23高二上·遼寧大連·期中）如圖，二面角α?l?β的棱上有兩點(diǎn)A,B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l，若AB=2,AC=3,BD=4,CD=41，則二面角α?l?βA．π6 B．π3 C．23【答案】D【分析】設(shè)AC,BD=θ(0≤θ≤π)，則二面角α?l?β的大小為θ【詳解】設(shè)AC,BD=θ(0≤θ≤π)由題意，CA⊥AB,AB⊥BD，則AC?所以CD2即41=9+4+16+2×3×4(?cosθ)，得cosθ=?即二面角α?l?β的大小為2π3.3．（23-24高二上·陜西安康·期中）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE=1，則平面ADE與平面BCE的夾角為（

）

A．45° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)锳E⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B1,0,0、C1,1,0、所以BC=0,1,0，設(shè)平面BCE的法向量為n=x,y,z，則n?又平面ADE的一個法向量為m=設(shè)平面ADE與平面BCE的夾角為θ，則cosθ=又0°≤θ≤90°，所以θ=45°.

4．（22-23高二上·江西吉安·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知：PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=2，BC∥AD，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角Q?PD?AA．0,4155 B．0,155 【答案】A【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示面面夾角的余弦值，即可確定點(diǎn)G位置，即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，因?yàn)槎娼荙?PD?A的平面角大小為π3所以Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條直線，又因?yàn)镼是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），所以Q的軌跡是過點(diǎn)D的一條線段，設(shè)以Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為G(0,b,0)，由題意可得A(0,0,0),D(4,0,0),P(0,0,2),所以DP=(?4,0,2),因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以平面PAD的一個法向量為m=設(shè)平面PDG的法向量為n=(x,y,z)所以DP?n=?4x+2z=0,DG所以n=(1,因?yàn)槎娼荙?PD?A的平面角大小為π3所以cos<m,所以當(dāng)Q在線段BC上時，△ADQ面積最大，最大值為12所以△ADQ面積的取值范圍是0,4，故選:D.5．（22-23高二上·天津河北·期末）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=CCA．3010 B．7010 C．306【答案】C【分析】建系，求兩平面的法向量，利用空間向量解決面面夾角問題.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0設(shè)平面ABB1A∵BA=2,?4,0,令x=2，則y=1,z=0，∴n=同理可得：平面B1CD的法向量故cosn設(shè)平面ABB1A1與平面B1故平面ABB1A1與平面.6．（22-23高二上·北京·期中）若直線a的方向向量為a，平面α、β的法向量分別為n、m，則下列命題為假命題的是（

）A．若a//n，則直線a⊥B．若a⊥n，則直線aC．若cosa,n=12D．若cosm,n=12【答案】C【分析】利用空間線面位置關(guān)系與空間向量的關(guān)系，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；利用空間角與空間向量的關(guān)系可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，若a//n，則a為平面α的一個法向量，故直線a⊥平面對于B選項(xiàng)，若a⊥n，則直線a//平面α或直線a?對于C選項(xiàng)，若cosa,n=12，則直線對于D選項(xiàng)，若cosm,n=12，則平面.7．（21-22高二下·新疆烏魯木齊·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（

）A．異面直線AC與BC1B．二面角A?B1C．直線AB1與平面ABD．四面體D1?A【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項(xiàng)，D選項(xiàng)，四面體D1【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD則A1,0,0A選項(xiàng)，設(shè)異面直線AC與BC1所成的角為則cosθ=故異面直線AC與BC1所成的角為B選項(xiàng)，設(shè)平面AB1C則有m?AB1=y+z=0則m=平面BB1Ccos設(shè)二面角A?B1C?B的大小為α，顯然α所以sinα=63，tanα=2C選項(xiàng)，設(shè)平面ABC1D則n1?AB=y所以n1設(shè)直線AB1與平面ABC則sinβ=則β=30°，C錯誤；D選項(xiàng)，四面體D1?AB設(shè)外接球半徑為R，則R=32，則外接球體積為8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1DA．當(dāng)A1C=2B．當(dāng)A1C=3A1P時，若平面C．當(dāng)A1C=4A1D．若A1C【答案】D【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)Px,y,z，根據(jù)A1C=2A1P得到P32,12,12，結(jié)合法向量得到直線BP與平面ABCD所成角的正弦值；B選項(xiàng)，根據(jù)A1C=3A1P【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AA建立空間直角坐標(biāo)系．由AB=3，AD=AA1則A1C=3,1,?1當(dāng)A1C=2A1P時，A所以P32,平面ABCD的一個法向量為A1所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值cosAB選項(xiàng)，當(dāng)A1C=3A1P所以P33,設(shè)平面BDC1的法向量為因?yàn)镃1由n?令z'=?3，則x所以D1C選項(xiàng)，當(dāng)A1C=4A1P所以P34,14設(shè)平面APD1的法向量為m=因?yàn)锳P=34由m?令b=1，則c=?1，a=233所以二面角A1cosABD選項(xiàng)，設(shè)A1P=λA1所以x=3λy=λz?1=?λ，解得所以D1若A1C?解得λ=15，所以A1.二、多選題9．（22-23高二下·江蘇南京·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=π3，AB=2AD=2PD，PD⊥底面A．PA⊥BD B．PB與平面ABCD所成角為πC．異面直線AB與PC所成角的余弦值為55 D．二面角A?PB?C的正弦值為【答案】ABD【分析】連接BD，由已知結(jié)合余弦定理與勾股定理逆定理可得BD⊥AD，于是可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】連接BD，因?yàn)椤螪AB=π3，設(shè)由余弦定理得BD所以BD2=則BD2+AD2=AB2，即BD⊥AD，又所以PD⊥AD,PD⊥BD，如圖，以D為原點(diǎn)，DA,DB,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D對于A，所以PA=a,0,?a，BD=所以PA⊥BD，故A正確；對于B，又PB=0,3a,?a，因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以DP=則PB與平面ABCD所成角的正弦值為12，即PB與平面ABCD所成角為π對于C，AB=則cosAB則異面直線AB與PC所成角的余弦值為25對于D，設(shè)平面PAB的法向量為n=x1,y1,設(shè)平面PBC的法向量為m=x2,y2,所以cosn令二面角A?PB?C所成角為θ0≤θ≤π，則則平面PAB與平面PBC的夾角的余弦值為27所以sinθ=BD.10．（22-23高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體ABCD?A1BA．三棱錐C?EFG的體積為1 B．A1C．A1D1//【答案】AB【分析】根據(jù)錐體體積公式求得三棱錐C?EFG的體積.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷BCD選項(xiàng)的正確性.【詳解】A選項(xiàng)，S△CEF所以VC?EFG建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，A1A1A1C?由于EG∩EF=E,EG,EF?平面FEG，所以A1C⊥平面平面EFG的一個法向量為A1A1D1?A平面ABCD的法向量為n=設(shè)平面EFG于平面ABCD的夾角為θ，則cosθ=B11．（23-24高二下·江蘇南京·期中）（多選）如圖，八面體的每個面都是正三角形，若四邊形ABCD是邊長為4的正方形，則（

）

A．異面直線AE與DF所成角大小為πB．二面角A?EB?C的平面角的余弦值為1C．此八面體存在外接球D．此八面體的內(nèi)切球表面積為32【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法計(jì)算異面直線所成角及二面角判斷AB；由OE=【詳解】連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接OE,OF，由正方形ABCD，得AC⊥BD，又八面體的每個面都是正三角形，則E,O,F三點(diǎn)共線，且EF⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,OC,OE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，如圖，

則O(0,0,0),A(0,?22,0),B(22對于A，AE=(0,22,2所以異面直線AE與DF所成角大小為π3對于B，BE=(?2設(shè)平面ABE的法向量為n=(x1,y1,設(shè)平面BEC的法向量為m=(x2,y2,于是cos?n,m?=所以二面角A?EB?C的平面角的余弦值為?1對于C，因?yàn)镺E=OF=OA=OB=OC=OD=22，即O因此此八面體一定存在外接球，C正確；對于D，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，SABCD=則八面體的體積為V=2V又八面體的體積為V=13Sr=323所以內(nèi)切球的表面積為4πCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個多面體的表面積為S，如果這個多面體有半徑為r的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：V=1三、填空題12．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知矩形ABCD，AB=1,BC=3，沿對角線AC將△ABC折起，若BD=2，則二面角B?AC?D【答案】1【分析】利用空間向量的數(shù)量積與模長計(jì)算夾角即可.【詳解】

如圖所示，過B、D分別作BE⊥AC,DF⊥AC，垂足分別為E、F，由矩形ABCD中，AB=1,BC=3可知AC=2,∠BAC=設(shè)二面角B?AC?D的平面角為α，則<EBBD2=3故答案為：113．（23-24高二上·陜西咸陽·階段練習(xí)）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿對角線AC折疊之后，使得平面BAC⊥平面ACD（如圖），則平面BCD與平面ACD夾角的正弦值為．

【答案】255【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)AC的中點(diǎn)為E，連接BE,DE，因?yàn)榱庑蜛BCD中，∠ABC=60°，所以三角形BAC和三角形ACD都是等邊三角形，因此BE⊥AC，DE⊥AC，因?yàn)槠矫鍮AC⊥平面ACD，平面BAC∩平面ACD=AC，所以BE⊥平面ACD，而DE?平面ACD，因此BE⊥DE，因此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)菱形的邊長為2，A1,0,0設(shè)平面BCD的法向量為m=x,y,z，所以有m?平面ACD的法向量為n=平面BCD與平面ACD夾角為θ，所以cosθ因此sinθ=故答案為：214．（24-25高二上·上海·單元測試）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD．△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66DO，則二面角B?PC?E

【答案】5【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面PCE以及平面APC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意知O是圓錐底面的圓心，AE=AD，則DO⊥平面ABC，△DAE為正三角形，則DO=3設(shè)DO=a，由題設(shè)可得PO=6△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,故AB=AEsinPA=PB=PC=A如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過O點(diǎn)作AE的垂線作為x軸，以O(shè)E,OD為y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由前面證明的結(jié)論，不妨取a=3，則AO