2024-2025學年高中數(shù)學第一章空間幾何體1.3.2球的體積和表面積課時作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE1-1.3.2球的體積和表面積[基礎(chǔ)鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知兩個球的半徑之比為1：3，那么這兩個球的表面積之比為()A．1：9B．1：27C．1：3D．1：1解析：設(shè)兩球的半徑分別為r1，r2，表面積分別為S1，S2，∵r1：r2＝1：3，∴S1：S2＝4πreq\o\al(2,1)：4πreq\o\al(2,2)＝req\o\al(2,1)：req\o\al(2,2)＝1：9.故選A.答案：A2．[2024·安徽省合肥市檢測]平面α截球O所得截面圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π解析：球的半徑R＝eq\r(12＋\r(2)2)＝eq\r(3)，所以球的體積V＝eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.答案：B3．兩球的體積之和是12π，它們的大圓周長之和是6π，則大球與小球的半徑之差是()A．1B．2C．3D．4解析：設(shè)大球半徑為R，小球半徑為r，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πR3＋\f(4,3)πr3＝12π，,2πR＋2πr＝6π，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R＝2,r＝1))，所以R－r＝2－1＝1.答案：A4．已知一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是()A．8πB．6πC．4πD．π解析：設(shè)該正方體的棱長為a，內(nèi)切球的半徑為r，則a3＝8，∴a＝2，∴正方體的內(nèi)切球直徑為2，r＝1，∴內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝4π.答案：C5．半徑為eq\r(3,\f(36,π))的球的體積與一個長、寬分別為6,4的長方體的體積相等，則長方體的表面積為()A．44B．54C．88D．108解析：由題意知，球的半徑R＝eq\r(3,\f(36,π))，故球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·eq\f(36,π)＝48，則長方體的高為48÷6÷4＝2，故長方體的表面積為2×(6×4＋4×2＋6×2)＝88.答案：C二、填空題(每小題5分，共15分)6．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是邊長為2的正三角形，三棱錐P－ABC的體積為________．解析：依題意有，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．把直徑分別為6cm,8cm,10cm的三個鐵球熔成一個大鐵球，則這個大鐵球的半徑為________cm.解析：設(shè)大鐵球的半徑為Rcm，由eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))3＋eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))3＋eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,2)))3，得R3＝216，得R＝6.答案：68．湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球半徑是________cm，表面積是________cm2.解析：設(shè)球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑，冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為R，則OD＝(R－1)cm，則(R－1)2＋32＝R2，解之得R＝5cm，所以該球表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π(cm2)．答案：5100π三、解答題(每小題10分，共20分)9．若三個球的表面積之比為1：4：9，求這三個球的體積之比．解析：設(shè)三個球的半徑分別為R1，R2，R3，∵三個球的表面積之比為1：4：9，∴4πReq\o\al(2,1)：4πReq\o\al(2,2)：4πReq\o\al(2,3)＝1：4：9，即Req\o\al(2,1)：Req\o\al(2,2)：Req\o\al(2,3)＝1：4：9，∴R1：R2：R3＝1：2：3，∴V1：V2：V3＝eq\f(4,3)πReq\o\al(3,1)：eq\f(4,3)πReq\o\al(3,2)：eq\f(4,3)πReq\o\al(3,3)＝Req\o\al(3,1)：Req\o\al(3,2)：Req\o\al(3,3)＝1：8：27.10．已知球心O到過球面上三點A，B，C的截面的距離等于球半徑的一半，且AB＝BC＝CA＝3cm，求球的體積．解析：如圖所示，設(shè)過A，B，C三點的截面為圓O′，連接OO′，AO，AO′，因為AB＝BC＝CA＝3cm，所以O(shè)′為正三角形ABC的中心，且AO′＝eq\f(\r(3),3)AB＝eq\r(3)cm.設(shè)球的半徑為R，則OO′＝eq\f(1,2)R.由球的截面性質(zhì)，知△OO′A為直角三角形，所以AO′＝eq\r(OA2－OO′2)＝eq\r(R2－\f(1,4)R2)＝eq\f(\r(3),2)R，所以R＝2cm.所以V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π(cm3)．[實力提升](20分鐘，40分)11．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B.答案：B12．長方體的共頂點的三個側(cè)面面積分別為eq\r(3)、eq\r(5)、eq\r(15)，則它的外接球的表面積為________．解析：設(shè)長方體的有公共頂點的三條棱的長分別為x、y、z，則由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xy＝\r(3)，,yz＝\r(5)，,zx＝\r(15)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)，,y＝1，,z＝\r(5)))所以球的半徑R＝eq\f(1,2)eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(3,2).所以S球＝4πR2＝9π.答案：9π13．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，其次個球與這個正方體各條棱都相切，第三個球過這個正方體的各個頂點，求這三個球的表面積之比．解析：設(shè)正方體棱長為a，三個球的半徑依次為R1，R2，R3，則有2R1＝a，R1＝eq\f(a,2)，eq\r(2)a＝2R2，R2＝eq\f(\r(2),2)a，eq\r(3)a＝2R3，R3＝eq\f(\r(3),2)a，所以R1：R2：R3＝1：eq\r(2)：eq\r(3).所以S1：S2：S3＝Req\o\al(2,1)：Req\o\al(2,2)：Req\o\al(2,3)＝1：2：3.即這三個球的表面積之比為1：2：3.14．一個高為16的圓錐內(nèi)接于一個體積為972π的球，在圓錐內(nèi)又有一個內(nèi)切球．求：(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐內(nèi)切球的體積．解析：(1)如圖所示，作出軸截面，則等腰三角形SAB內(nèi)接于圓O，而圓O1內(nèi)切于△SAB.設(shè)圓O的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝972π，所以R3＝729，R＝9，所以SE＝18.又因為SD＝16，所以ED＝2.連接AE，因為SE是直徑，所以SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288，所以SA＝12eq\r(2).因為AB⊥SD，所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4eq\r(2).所以S圓錐側(cè)＝π×4eq\r