2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線與方程44.1曲線與方程學(xué)案北師大版選修2-1

PAGE1-4.1曲線與方程學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能夠結(jié)合已學(xué)過的曲線及其方程的實(shí)例，了解曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想．(重點(diǎn))eq\a\vs4\al(2).駕馭求曲線方程的一般方法，進(jìn)一步體會(huì)曲線與方程的關(guān)系，感受解析幾何的思想方法．(難點(diǎn))1．方程與曲線的定義一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，假如某曲線C(看作滿意某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，那么，這條曲線叫作方程的曲線，這個(gè)方程叫作曲線的方程．只有同時(shí)具備了上述兩特性質(zhì)，才能稱為“方程的曲線”和“曲線的方程”．思索：曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解，能否說f(x，y)＝0是曲線C的方程？試舉例說明．[提示]不能．還要驗(yàn)證以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上．例如曲線C為“以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的上半部分”與“方程x2＋y2＝4”，曲線上的點(diǎn)都滿意方程，但曲線的方程不是x2＋y2＝4.2．方程與曲線的關(guān)系3．求曲線的方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上隨意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P＝{M|p(M)}；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；(4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式；(5)說明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上．思索：求曲線的方程的某些步驟是否可以省略？[提示]可以省略．假如化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，可以省略步驟說明，如有特別狀況，可以適當(dāng)說明．另外，也可以依據(jù)狀況省略步驟“寫集合”，干脆列出曲線方程．1.推斷正誤(1)過點(diǎn)P(x0，y0)斜率為k的直線的方程是eq\f(y－y0,x－y0)＝k ()(2)若點(diǎn)P(x0，y0)在曲線C上，則有f(x0，y0)＝0 ()(3)方程y＝x與y＝eq\f(x2,x)表示同一條曲線 ()[答案](1)×(2)√(3)×2．下列點(diǎn)中，在曲線x＋eq\r(25－y2)＝0上的是()A．(4，3) B．(3，－4)C．(－4，3) D．(5，0)C[經(jīng)檢驗(yàn)，只有(－4，3)滿意方程x＋eq\r(25－y2)＝0.]3．方程x2＋xy＝x表示的圖形是()A．一個(gè)點(diǎn) B．一個(gè)點(diǎn)和一條直線C．一條直線 D．兩條直線D[由x2＋xy＝x變形得x(x＋y－1)＝0，∴x＝0或x＋y－1＝0，故選D.]4．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到原點(diǎn)距離為3的點(diǎn)M的軌跡方程為________．x2＋y2＝9[設(shè)M(x，y)，則eq\r(x2＋y2)＝3，∴x2＋y2＝9.]曲線與方程的關(guān)系推斷【例1】(1)推斷點(diǎn)A(－4，3)，B(－3eq\r(2)，－4)，C(eq\r(5)，2eq\r(5))是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上；(2)方程x2(x2－1)＝y(tǒng)2(y2－1)所表示的曲線是C，若點(diǎn)M(m，eq\r(2))與點(diǎn)Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲線C上，求m，n的值．[解](1)把點(diǎn)A(－4，3)的坐標(biāo)代入方程x2＋y2＝25中，滿意方程，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)滿意x≤0，則點(diǎn)A在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．把點(diǎn)B(－3eq\r(2)，－4)的坐標(biāo)代入x2＋y2＝25，因?yàn)?－3eq\r(2))2＋(－4)2＝34≠25，所以點(diǎn)B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．把點(diǎn)C(eq\r(5)，2eq\r(5))的坐標(biāo)代入x2＋y2＝25，得(eq\r(5))2＋(2eq\r(5))2＝25，滿意方程，但因?yàn)闄M坐標(biāo)eq\r(5)不滿意x≤0的條件，所以點(diǎn)C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲線上．(2)因?yàn)辄c(diǎn)M(m，eq\r(2))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，n))在曲線C上，所以它們的坐標(biāo)都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝n2(n2－1)，解得m＝±eq\r(2)，n＝±eq\f(1,2)或±eq\f(\r(3),2).1．推斷點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系要從曲線與方程的定義入手．(1)要推斷點(diǎn)是否在方程表示的曲線上，只需檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿意方程即可；(2)若所給點(diǎn)在已知曲線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合已知曲線的方程，由此可求點(diǎn)或方程中的參數(shù)．2．推斷方程是否是曲線的方程，要從兩個(gè)方面著手，一是檢驗(yàn)點(diǎn)的坐標(biāo)是否都適合方程，二是檢驗(yàn)以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上．1．下列圖形的方程與圖中曲線的方程對(duì)應(yīng)正確的是()D[方程x2＋y2＝1表示的曲線是圖(1)；方程x2－y2＝0表示的曲線是圖(2)；方程lgx＋lgy＝1表示的曲線是圖(3)；故選D.]由方程確定曲線【例2】下列方程分別表示什么曲線：(1)(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0；(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；[解](1)由方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋y－1＝0))或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.故方程表示一條射線x＋y－1＝0(x≥1)和一條直線x＝1.(2)對(duì)方程左邊配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0.∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（x－1）2＝0，,（y＋1）2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))從而方程表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(1，－1)．曲線的方程是曲線的代數(shù)體現(xiàn)，推斷方程表示什么曲線，可依據(jù)方程的特點(diǎn)利用配方、因式分解等方法對(duì)已知方程變形，轉(zhuǎn)化為我們熟知的曲線方程，在變形時(shí)，應(yīng)保證變形過程的等價(jià)性．2．方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的圖形是()A．前后兩者都是一條直線和一個(gè)圓B．前后兩者都是兩點(diǎn)C．前者是一條直線和一個(gè)圓，后者是兩點(diǎn)D．前者是兩點(diǎn)，后者是一條直線和一個(gè)圓C[x(x2＋y2－1)＝0?x＝0或x2＋y2＝1，表示直線x＝0和圓x2＋y2＝1.x2＋(x2＋y2－1)2＝0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,x2＋y2－1＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝±1))表示點(diǎn)(0，1)，(0，－1)．]求曲線的方程[探究問題]1．“軌跡方程”與“軌跡”有什么異同？[提示](1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程實(shí)質(zhì)上是建立軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)所適合的方程f(x，y)＝0.有時(shí)要在方程后依據(jù)須要指明變量的取值范圍．(2)軌跡是點(diǎn)的集合，是曲線，是幾何圖形．故求點(diǎn)的軌跡時(shí)，除了寫出方程外，還必需指出這個(gè)方程所代表的曲線的形態(tài)、位置、范圍、大小等．2．求曲線的方程，其實(shí)質(zhì)就是依據(jù)題設(shè)條件，把幾何關(guān)系通過“坐標(biāo)”轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系，得到對(duì)應(yīng)的方程．求解時(shí)須要留意什么？[提示](1)求曲線方程的一般步驟是：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)．(2)求曲線方程時(shí)留意不要把范圍擴(kuò)大或縮小，也就是要檢驗(yàn)軌跡的純粹性和完備性．即由曲線求方程時(shí)，要留意精確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避開因考慮不全面致誤．(3)由于視察的角度不同，因此探求關(guān)系的方法也不同，解題時(shí)要擅長(zhǎng)從多角度思索問題．【例3】(1)已知點(diǎn)M(－2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝16 D．x2＋y2＝16(x≠±4)(2)動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程．[思路探究](1)干脆利用直角三角形的性質(zhì)建立等量關(guān)系；(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)與點(diǎn)M(x0，y0)及點(diǎn)B(3，0)的坐標(biāo)間滿意：x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0,2)，代入曲線x2＋y2＝1中，化簡(jiǎn)即可．(1)A[由直角三角形斜邊上中線等于斜邊長(zhǎng)的一半知|PO|＝2，即x2＋y2＝4，但M，N，P不能共線，故P點(diǎn)軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)．](2)解：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因?yàn)镻為MB的中點(diǎn)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y.))又因?yàn)镸在曲線x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以P點(diǎn)的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.1.(變條件)把本例(2)中的條件“M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P”改為“eq\o(MP,\s\up8(→))＝2eq\o(PB,\s\up8(→))”，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．[解]設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)與點(diǎn)M(x0，y0)．由eq\o(MP,\s\up8(→))＝2eq\o(PB,\s\up8(→))可知(x－x0，y－y0)＝2(3－x，－y)，即x0＝3x－6，y0＝3y.又因?yàn)辄c(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上，所以(3x－6)2＋9y2＝1.2.(變條件)把本例(2)中的條件“M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P”改為“一動(dòng)點(diǎn)P和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為M”，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．[解]設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)．因?yàn)镸為PB的中點(diǎn)．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x＋3,2)，,y0＝\f(y,2).))又因?yàn)镸在曲線x2＋y2＝1上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)))eq\s\up16(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up16(2)＝1，化簡(jiǎn)得(x＋3)2＋y2＝4，所以P點(diǎn)的軌跡方程為(x＋3)2＋y2＝4.(1)干脆法求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法：求曲線的方程遵循求曲線方程的五個(gè)步驟，在實(shí)際求解時(shí)可簡(jiǎn)化為三大步驟：建系、設(shè)點(diǎn)；依據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿意的幾何條件列方程；對(duì)所求的方程化簡(jiǎn)、說明．(2)代入法求解軌跡方程的步驟：①設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，相關(guān)動(dòng)點(diǎn)M(x0，y0)．②利用條件求出兩動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝f（x，y），,y0＝g（x，y）.))③代入相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．④化簡(jiǎn)、整理，得所求軌跡方程．提示：對(duì)于此類問題，在解題過程中，最簡(jiǎn)單出錯(cuò)的環(huán)節(jié)是求軌跡方程中自變量的取值范圍．1．假如曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿意方程F(x，y)＝0，則下列說法正確的是()A．曲線C的方程是F(x，y)＝0B．方程F(x，y)＝0的曲線是CC．坐標(biāo)不滿意方程F(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上D．坐標(biāo)滿意方程F(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上C[原說法寫成命題形式即“若點(diǎn)M(x，y)是曲線C上的點(diǎn)，則M點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程F(x，y)＝0”，其逆否命題是“若M點(diǎn)的坐標(biāo)不適合方程F(x，y)＝0，則M點(diǎn)不在曲線C上”，此說法即C.]2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲線形態(tài)是()ABCDC[∵xy＜0，∴x＞0，y＜0或x＜0，y＞0.]3．點(diǎn)A(1，－2)在曲線x2－2xy＋ay＋5＝0上，則a＝________．5[由題意可知點(diǎn)(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一組解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a4．已知定點(diǎn)A(0，1)，直線l1：y＝－1，記過點(diǎn)A且與直線l1相切的圓的