2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二課統(tǒng)計(jì)與概率考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升新人教B版必修2

PAGE1-其次課統(tǒng)計(jì)與概率考點(diǎn)突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一直觀想象角度1抽樣方法【典例1】1.一個(gè)布袋中有10個(gè)同樣質(zhì)地的小球,從中不放回地依次抽取3個(gè)小球,則某一特定小球被抽到的可能性是________,第三次抽取時(shí),剩余每個(gè)小球被抽到的可能性是________.

2.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視狀況分別如圖1和圖2所示.為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成緣由,用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的中學(xué)生近視人數(shù)分別為________.

【解析】1.因?yàn)楹啙嶋S機(jī)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均為nN,所以第一個(gè)空填310.因?yàn)楸绢}中的抽樣是不放回抽樣,所以第一次抽取時(shí),每個(gè)小球被抽到的可能性為110,其次次抽取時(shí),剩余9個(gè)小球,每個(gè)小球被抽到的可能性為19,第三次抽取時(shí),剩余8個(gè)小球2.該地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)為3500+2000+4500=10000,則樣本容量為10000×2%=200,其中抽取中學(xué)生近視人數(shù)為2000×2%×50%=20.答案:1.3102.200,20【類題·通】1.簡潔隨機(jī)抽樣,每次抽取時(shí),總體中各個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相同,在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會也都相等.2.分層抽樣的特點(diǎn)是“等比例”抽樣,計(jì)算時(shí)不要忽視每層抽取的個(gè)體的比例是相同的.【加練·固】某企業(yè)三月中旬生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品共3000件,依據(jù)分層抽樣的結(jié)果,企業(yè)統(tǒng)計(jì)員制作了如下的表格:產(chǎn)品類別ABC產(chǎn)品數(shù)量(件)1300樣本數(shù)量(件)130由于不當(dāng)心,表格中A,C產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)已被污染看不清晰,統(tǒng)計(jì)員記得A產(chǎn)品的樣本數(shù)量比C產(chǎn)品的樣本數(shù)量多10,依據(jù)以上信息,可得C產(chǎn)品的數(shù)量是________件.【解析】設(shè)C產(chǎn)品的樣本數(shù)量為n,則A產(chǎn)品的樣本數(shù)量為n+10,由題意知n+(n故C產(chǎn)品的數(shù)量為80÷1301答案:800角度2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

【典例2】1.為了了解某校高三學(xué)生的視力狀況,隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力狀況,得到頻率分布直方圖如圖,由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但知道后5組頻數(shù)和為62,視力在4.6到4.8之間的學(xué)生數(shù)為a,最大頻率為0.32,則a的值為 ()A.64B.54C.48D.272.甲、乙兩個(gè)班級各隨機(jī)選出15名同學(xué)進(jìn)行測驗(yàn),成果的莖葉圖如圖所示(單位:分),則甲班、乙班的最高成果分別是________,從圖中看,________班的平均成果較高.

【解析】1.選B.[4.7,4.8)之間頻率為0.32,[4.6,4.7)之間頻率為1-0.62-0.05-0.11=1-0.78=0.22,所以a=(0.22+0.32)×100=54.2.由莖葉圖知甲班的最高成果為96分,乙班的最高成果為92分,再依據(jù)莖葉圖的分布特點(diǎn)知,乙班的成果分布集中在下面,故乙班的平均成果較高.答案:96,92乙【類題·通】1.頻率為直方圖中相應(yīng)小長方形的面積,即頻率=縱坐標(biāo)×橫坐標(biāo)差的肯定值.2.當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位數(shù)時(shí),十位上的數(shù)字為“莖”,個(gè)位上的數(shù)字為“葉”;假如是三位數(shù),通常把百位和十位部分作為“莖”,個(gè)位上的數(shù)字為“葉”;假如是小數(shù),通常把整數(shù)部分作為“莖”,小數(shù)部分作為“葉”.解題時(shí)要依據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)合理地選擇莖和葉,應(yīng)用莖葉圖對兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較時(shí),要從數(shù)據(jù)分布的對稱性、穩(wěn)定性等幾方面來比較.【加練·固】1.某中學(xué)舉辦電腦學(xué)問競賽,滿分為100分,80分以上為優(yōu)秀(含80分),現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分成5組,繪制成頻率分布直方圖如圖所示.已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30,0.15,0.10,0.05,而其次小組的頻數(shù)是40,則參賽的人數(shù)是________,成果優(yōu)秀的頻率是________.

2.某校實(shí)行演講競賽,9位評委給選手A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示,統(tǒng)計(jì)員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,算得平均分為91,復(fù)核員在復(fù)核時(shí),發(fā)覺有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清,若統(tǒng)計(jì)員計(jì)算無誤,則數(shù)字x應(yīng)當(dāng)是 ()A.5B.4C.3D.2【解析】1.設(shè)參賽的人數(shù)為n,其次小組的頻率為1-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.4,依題意40n所以n=100,成果優(yōu)秀的頻率是0.10+0.05=0.15.答案:1000.152.選D.去掉最低分87,去掉最高分94(假設(shè)x≤4),則7×91=80×2+9+8+90×5+2+3+2+1+x,所以x=2,符合題意.同理可驗(yàn)證x>4不合題意.素養(yǎng)二邏輯推理角度頻率與概率【典例3】對一批U盤進(jìn)行抽檢,結(jié)果如下表:抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率b(1)計(jì)算表中次品的頻率.(2)從這批U盤中隨意抽取一個(gè)是次品的概率約是多少?(3)為保證買到次品的顧客能夠剛好更換,要銷售2000個(gè)U盤,至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤?【解析】(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06,0.04,0.025,0.017,0.02,0.018.(2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0.02旁邊搖擺,所以從這批U盤中隨意抽取一個(gè)是次品的概率約是0.02.(3)設(shè)須要進(jìn)貨x個(gè)U盤,為保證其中有2000個(gè)正品U盤,則x(1-0.02)≥2000,因?yàn)閤是正整數(shù),所以x≥2041,即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤.【類題·通】頻率的隨機(jī)性和概率的確定性是二者的本質(zhì)區(qū)分.【加練·固】某人在如圖所示的直角邊長為4m的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.依據(jù)歷年的種植閱歷,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X(單位:株)X1234Y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1m.(1)完成下表,并求所種作物的平均年收獲量,Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量至少為48kg的概率.【解析】(1)所種作物的總株數(shù)為1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株,“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株,“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株,“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株,列表如下:Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為51×2+48×4+45×6+42×315==69015(2)由(1),知P(Y=51)=215,P(Y=48)=415.故在所種作物中隨機(jī)選取一株,它的年收獲量至少為48kg的概率為P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=215+4素養(yǎng)三數(shù)學(xué)運(yùn)算角度1計(jì)算互斥事務(wù)和的概率【典例4】由閱歷得知,某市某大型超市付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下表:排隊(duì)人數(shù)012345人及以上概率0.100.160.300.300.100.04求:(1)至多2人排隊(duì)的概率.(2)至少2人排隊(duì)的概率.【解析】(1)記“沒有人排隊(duì)”為事務(wù)A,“1人排隊(duì)”為事務(wù)B,“2人排隊(duì)”為事務(wù)C,則A,B,C彼此互斥.P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.10+0.16+0.30=0.56.(2)記“至少2人排隊(duì)”為事務(wù)D,“少于2人排隊(duì)”為事務(wù)A∪B,那么事務(wù)D與事務(wù)A∪B是對立事務(wù),則P(D)=P(A?【類題·通】本題可將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事務(wù)的和,但有時(shí)比較麻煩,若轉(zhuǎn)化為其對立事務(wù)求解,體現(xiàn)了“正難則反”的思想.留意“至少2人排隊(duì)”可分為4個(gè)彼此互斥的基本領(lǐng)件,它的對立事務(wù)為“最多1人排隊(duì)”只包含2個(gè)基本領(lǐng)件.【加練·固】甲、乙、丙、丁四人同時(shí)參與一等級考試,已知恰有1人過關(guān)(事務(wù)A)的概率為0.198,恰有2人過關(guān)(事務(wù)B)的概率為0.38,恰有3人過關(guān)(事務(wù)C)的概率為0.302,4人都過關(guān)(事務(wù)D)的概率為0.084.求:(1)至少有2人過關(guān)的概率P1.(2)至多有3人過關(guān)的概率P2.【解析】由條件知,事務(wù)A,B,C,D彼此互斥.(1)P1=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.766.(2)P2=P(D)=1-P(D)=1-0.084=0.916.角度2古典概型【典例5】口袋里裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球,這4個(gè)球除顏色外完全相同,四個(gè)人按依次依次從中摸出1個(gè)球(不放回),試求“其次個(gè)人摸到白球”的概率.【解析】把四個(gè)人依次編號為甲、乙、丙、丁,把2個(gè)白球編上序號1,2,把2個(gè)黑球也編上序號1,2,于是四個(gè)人按依次依次從袋內(nèi)摸出1個(gè)球的全部可能結(jié)果,可用樹形圖直觀地表示出來,如圖所示.從上面的樹形圖可以看出,試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為24.其次人摸到白球的結(jié)果有12種,記其次個(gè)人摸到白球?yàn)槭聞?wù)A,則P(A)=1224=1【類題·通】事務(wù)個(gè)數(shù)沒有很明顯的規(guī)律,而且涉及的基本領(lǐng)件又不是太多時(shí),我們可借助樹形圖直觀地將其表示出來,有利于條理地思索和表達(dá).【加練·固】從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)不同的數(shù)字,求下列事務(wù)的概率:(1)A={三個(gè)數(shù)字中不含1和5}.(2)B={三個(gè)數(shù)字中含1或5}.【解析】這個(gè)試驗(yàn)的全部可能結(jié)果為:(1,2,3),(1,