2024-2025學(xué)年廣東省部分名校高二上學(xué)期12月聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第二節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，直線的斜率，則傾斜角；對(duì)于B，直線的傾斜角；對(duì)于C，直線的斜率，則傾斜角；對(duì)于D，直線的傾斜角，所以直線的傾斜角最大.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，所以漸近線方程為.故選：B.3.已知向量，，若，則（）A B.2 C. D.1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：A.4.若圓的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，由題意得，解得.故選：C.5.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線交C于A，B兩點(diǎn).若為直角三角形，則C的焦距為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可求得，則.根據(jù)橢圓對(duì)稱性，可知為等腰直角三角形，所以，則，解得，所以橢圓C的焦距為.故選：A.6.已知圓與圓的公共弦與直線垂直，且垂足為，則圓N的半徑為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)閳A與圓，所以它們的公共弦方程為.因?yàn)楣蚕遗c直線垂直，所以，解得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，圓可化為，故圓N的半徑為.故選：B.7.已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為和3，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，則C的離心率.故選：D.8.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，即，則直線的一個(gè)方向向量為.又經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的方程為，即，所以的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：B.二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則是橢圓 B.若是圓，則C.若，則是雙曲線 D.若，則是兩條平行于軸的直線【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若且，則是橢圓；對(duì)于B選項(xiàng)，則是圓，則；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則是雙曲線；對(duì)于D選項(xiàng)，若，方程為，則是兩條平行于軸的直線.故選：CD.10.在四棱錐中,,,，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四邊形為正方形B.四邊形的面積為C.在上的投影向量的坐標(biāo)為D.點(diǎn)P到平面的距離為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，則，所以，與不垂直，所以四邊形為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，所以四邊形的面積為，故B正確；對(duì)于C，，則在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，則有，令x=1，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知,,是曲線上的任意一點(diǎn),若的值與x，y無(wú)關(guān)，則（）A.m的取值范圍為 B.m的取值范圍為C.n的取值范圍為 D.n的取值范圍為【答案】BC【解析】由曲線，得，則，所以曲線表示圓心為，半徑的半圓（x軸及以上部分）.設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，為點(diǎn)到直線的距離.已知，即表示點(diǎn)到直線和的距離和的倍.由圖可知，該曲線兩平行直線，之間時(shí)，點(diǎn)到直線和的距離和為兩平行線之間的距離.當(dāng)與曲線相切時(shí)，，解得，則m的取值范圍為；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，則的取值范圍為.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則m的值為_(kāi)______.【答案】或【解析】令，則，令，則，則，即，解得或.故答案為：或.13.在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F滿足，若P，A，C，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則______.【答案】【解析】連接BD，由題可知.又，所以，且P，A，C，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：14.已知P是橢圓位于第一象限上的一點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，,點(diǎn)Q在的平分線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，則C的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，，延長(zhǎng)OQ交于點(diǎn)A.由題意知，O為的中點(diǎn)，故A為的中點(diǎn).由，，得是等腰直角三角形，則化簡(jiǎn)得即代入得，即.因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)，，代入方程，可得解得，，，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）直線l的方程為，即.圓心到l的距離，所以.16.如圖，在正方體中，分別為和的中點(diǎn).（1）證明：直線平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以，又平面，所以直線平面；（2）A0,0,0故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，即平面與平面夾角的余弦值.17.一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點(diǎn)M.（1）求光線從點(diǎn)P到點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程；（2）求反射光線所在直線的方程.解：（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即.又圓心，所以，則光線從點(diǎn)P到點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程為.（2）由題可知反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，易知反射光線的斜率存在，故設(shè)反射光線為，即.又圓心，所以，解得或.故反射光線所在直線的方程為或.18.已知等軸雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，且實(shí)軸長(zhǎng)為.直線與C交于A，B兩點(diǎn).（1）求C的方程；（2）若點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求k的值；（3）若，且A，B兩點(diǎn)都位于y軸的右側(cè)，求k的取值范圍.解：（1）由題可設(shè)，因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為，所以，即.故C的方程為.（2）設(shè)，則兩式相減得，整理得.因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，，所以直線AB的斜率.（3）由可得.因?yàn)橹本€與C的右支交于不同的兩點(diǎn)，所以，故，即k取值范圍為.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意一點(diǎn)，總存在一個(gè)點(diǎn)滿足關(guān)系式：，則稱為平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換.（1）在同一直角坐標(biāo)系中，求平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換，使得圓變換為橢圓.（2）在同一直角坐標(biāo)系中,橢圓經(jīng)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換得到曲線C.（i）求曲線C的方程；（ii）已知曲線C與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線AP交直線于點(diǎn)M，直線BP交直線于點(diǎn)N，證明以MN為直徑的圓G與x軸交于定點(diǎn)H，并求出點(diǎn)H的坐標(biāo).解：（1）將伸縮變換代入，得到，則.將上式與比較，得，，，所以，故所求的伸縮變換為（2）（i）由可得代入橢圓可得，則，所以曲線C的方程為.（ii）不妨令點(diǎn)，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，則，直線AP的方程為，所以直線AP與直線的交點(diǎn)為.直線BP的方程為，所以直線BP與直線的交點(diǎn)為.設(shè)點(diǎn)，則，.因?yàn)橐訫N為直徑的圓G與x軸交于定點(diǎn)H，所以，解得，所以定點(diǎn)H的坐標(biāo)為或.廣東省部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)合檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第二節(jié).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中，傾斜角最大的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，直線的斜率，則傾斜角；對(duì)于B，直線的傾斜角；對(duì)于C，直線的斜率，則傾斜角；對(duì)于D，直線的傾斜角，所以直線的傾斜角最大.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，，所以漸近線方程為.故選：B.3.已知向量，，若，則（）A B.2 C. D.1【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：A.4.若圓的圓心到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，由題意得，解得.故選：C.5.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線交C于A，B兩點(diǎn).若為直角三角形，則C的焦距為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可求得，則.根據(jù)橢圓對(duì)稱性，可知為等腰直角三角形，所以，則，解得，所以橢圓C的焦距為.故選：A.6.已知圓與圓的公共弦與直線垂直，且垂足為，則圓N的半徑為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】因?yàn)閳A與圓，所以它們的公共弦方程為.因?yàn)楣蚕遗c直線垂直，所以，解得.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，圓可化為，故圓N的半徑為.故選：B.7.已知A，B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為和3，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，，所以，則C的離心率.故選：D.8.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線l的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l的方程為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的方程為，即，則直線的一個(gè)方向向量為.又經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面的方程為，即，所以的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：B.二、選擇題；本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則是橢圓 B.若是圓，則C.若，則是雙曲線 D.若，則是兩條平行于軸的直線【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若且，則是橢圓；對(duì)于B選項(xiàng)，則是圓，則；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則是雙曲線；對(duì)于D選項(xiàng)，若，方程為，則是兩條平行于軸的直線.故選：CD.10.在四棱錐中,,,，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.四邊形為正方形B.四邊形的面積為C.在上的投影向量的坐標(biāo)為D.點(diǎn)P到平面的距離為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，則，所以，與不垂直，所以四邊形為平行四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，所以四邊形的面積為，故B正確；對(duì)于C，，則在上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面的法向量為，則有，令x=1，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：BCD.11.已知,,是曲線上的任意一點(diǎn),若的值與x，y無(wú)關(guān)，則（）A.m的取值范圍為 B.m的取值范圍為C.n的取值范圍為 D.n的取值范圍為【答案】BC【解析】由曲線，得，則，所以曲線表示圓心為，半徑的半圓（x軸及以上部分）.設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，為點(diǎn)到直線的距離.已知，即表示點(diǎn)到直線和的距離和的倍.由圖可知，該曲線兩平行直線，之間時(shí)，點(diǎn)到直線和的距離和為兩平行線之間的距離.當(dāng)與曲線相切時(shí)，，解得，則m的取值范圍為；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，則的取值范圍為.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則m的值為_(kāi)______.【答案】或【解析】令，則，令，則，則，即，解得或.故答案為：或.13.在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E滿足，點(diǎn)F滿足，若P，A，C，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則______.【答案】【解析】連接BD，由題可知.又，所以，且P，A，C，F(xiàn)四點(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：14.已知P是橢圓位于第一象限上的一點(diǎn)，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，,點(diǎn)Q在的平分線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，則C的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，，延長(zhǎng)OQ交于點(diǎn)A.由題意知，O為的中點(diǎn)，故A為的中點(diǎn).由，，得是等腰直角三角形，則化簡(jiǎn)得即代入得，即.因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若傾斜角為的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且l與圓M相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.解：（1）設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)，，代入方程，可得解得，，，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）直線l的方程為，即.圓心到l的距離，所以.16.如圖，在正方體中，分別為和的中點(diǎn).（1）證明：直線平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，所以，又平面，所以直線平面；（2）A0,0,0故，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以，即平面與平面夾角的余弦值.17.一束光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線反射后，與圓相切于點(diǎn)M.（1）求光線從點(diǎn)P到點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程；（2）求反射光線所在直線的方程.解：（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即.又圓心，所以，則光線從點(diǎn)P到點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路程為.（2）由題可知反射光線經(jīng)