高中數(shù)學講義（人教B版2019必修三）第11講735已知三角函數(shù)值求角

專題已知三角函數(shù)值求角TOC\o"13"\h\u題型1已知角求角 2◆類型1已知正弦值求角 2◆類型2已知余弦值求角 4◆類型3已知正切值求角 6題型2利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式 8知識點一.利用三角函數(shù)線求角在單位圓中，MP是正弦線，OM是余弦線，AT是正切線，作出三角函數(shù)線，即可求得角的大小.知識點二.利用三角函數(shù)圖象求角或角的范圍用三角函數(shù)圖象解sinx>a（或cosx>a）的方法作出直線y=a，y=sinx（或y=cosx）的圖像；（2）確定sinx=a（或cosx=a）的x的值；（3）選取一個合適的周期寫出sinx>a（或cosx>a）的解集，要盡量使解集為一個連續(xù)區(qū)間。知識點三.已知三角函數(shù)值求角的符號表示1.已知正弦值求角對于正弦函數(shù)y=sinx，如果已知函數(shù)值y(y∈[1，1])，那么在[?π2,π2]2.已知余弦值求角對于余弦函數(shù)y=cosx，如果已知函數(shù)值y(y∈[1，1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它對應，記為x=arccosy（其中1≤y≤1，0≤x≤π）.3.已知正切值求角一般地，如果y=tanx（y∈R）且x∈(?π區(qū)間(?π2,π2知識點四.已知三角函數(shù)值求角的相關(guān)規(guī)律對于已知正弦值求角的規(guī)律sinx=a(|a|≤1)x∈[?x∈[0,2π]x=arcsiny0≤a≤11≤a＜0x1=arcsinax2=πarcsinax1=πarcsinax2=2π+arcsina2.利用余弦值求角、解不等式規(guī)律將ωx＋φ看作整體，先求出[0，2π]或[π,π]的角，再通過周期推廣到整個定義域內(nèi)，最后解出x的值或范圍.3.已知正切值求角的規(guī)律可先求出(?π集為{x|x=kπ＋arctana，k∈Z}題型1已知角求角◆類型1已知正弦值求角【例題11】（2023秋·天津河西·高一?？计谀M足方程sinx=?12的x的取值為（

）A．｛xx=7π6+2kC．｛xx=7π6+2k【答案】A【分析】先求出方程sinx=?1【詳解】由題意得，在一個周期[0,2π)內(nèi)，滿足sinx=?12的x為根據(jù)正弦函數(shù)的周期性可得，滿足sinx｛xx=故選：A．【變式11】1．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）“α=2kπ+A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分、必要條件結(jié)合任意角的正弦函數(shù)分析判斷.【詳解】若α=2kπ+若sinα=12，則α=2綜上所述：“α=2kπ+故選：A.【變式11】2．（2022秋·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學?？计谀゛=π6A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】由α=π6，得π由sinπ?α=12，得故選：A【變式11】3．（2021春·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┡c集合A=A．x|x=2C．x|x=【答案】C【分析】求出集合A中角x的終邊，即可求解.【詳解】當sinx=2即A==x所以集合A=x|sin故選：C◆類型2已知余弦值求角【例題12】（2022春·廣西桂林·高一?？计谀┮阎猚osα=?32，且【答案】5π【分析】由余弦函數(shù)的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為cosα=?3由余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得α=故答案為：5π【變式12】1．（多選）（2021春·遼寧大連·高一大連市第三十六中學?？计谥校┤鬰os3x+A．π6 B．π2 C．2π【答案】BC【分析】解出x的范圍，即可求解.【詳解】解：cos3x+解得：x=2kπ或x=2kπ故選：BC【變式12】2．（2023·高一課時練習）已知x=π3是方程2cosx+【答案】π3或【分析】由題可得cosπ3+【詳解】由題意可得2cosπ3+∵0<α∴π所以π3+α解得α=π3故答案為：π3或π【變式12】3．（2023·高一課時練習）若cosx【答案】x|x【分析】直接解三角方程即可得到答案.【詳解】因為cosx?π3=12，所以x解得：x=2kπk∈Z或所以滿足條件的角x的集合是x|x=2故答案為：x|x=2【變式12】4．（2022春·上海浦東新·高一上海市川沙中學?？茧A段練習）方程2sinx?π【答案】5【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因為2sinx?π∴x?π4=2即x=2kπ+5π∵x∈0,故答案為：5π◆類型3已知正切值求角【例題13】（2020春·上海寶山·高一上海交大附中校考階段練習）三角方程tan2x=3在(0,【答案】π【分析】解三角不等式，結(jié)合x的范圍求出答案.【詳解】tan2x=3因為x∈(0,π3)，所以只有當故答案為：π【變式13】1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學?？奸_學考試）“tanθ?πA．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先根據(jù)tanθ?π【詳解】由tanθ?π4?1=0故“tanθ?π故選：A【變式13】2．（2021春·上海徐匯·高一上海中學?？计谥校┮阎莤∈0,π，且滿足：3【答案】π4或【分析】根據(jù)正切函數(shù)值求解．【詳解】由已知得，3tan2x?π3=1，tan又因為x∈0,π，所以x故答案為：π4或3【變式13】3．（2021春·上海普陀·高一曹楊二中?？茧A段練習）方程cos(x+π【答案】5【分析】由cos(x+π4)=?12【詳解】解：由cos(x則x+π即x=2kπ又∵x∈∴x=5π故答案為：5π【變式13】4．（2023·高一課時練習）已知集合A={x|cos(π2【答案】{【分析】根據(jù)余弦函數(shù)及正切函數(shù)的函數(shù)值，求出所對應的x的值，即集合A，B，再求A【詳解】∵cos(πx=∵tanx那么A∩B=故答案為：{題型2利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式【方法總結(jié)】利用單位圓中的三角函數(shù)線解不等式的方法（1）首先作出單位圓，然后根據(jù)各問題的約束條件，利用三角函數(shù)線畫出角x滿足條件的終邊的位置.（2）角的終邊與單位圓交點的橫坐標是該角的余弦值，與單位圓交點的縱坐標是該角的正弦值.（3）寫角的范圍時，抓住邊界值，然后再注意角的范圍的寫法要求.提醒：在一定范圍內(nèi)先找出符合條件的角，再用終邊相同的角的表達式寫出符合條件的所有角的集合.【例題2】（2019春·全國·高一專題練習）利用三角函數(shù)線，sinx【答案】{【分析】如圖，當角的終邊位于圖中陰影部分時，正弦線的大小不超過12，根據(jù)sinx=【詳解】如圖，作出滿足sinx=12的角的正弦線M1當角的終邊位于圖中陰影部分時，正弦線的大小不超過12因此，滿足sinx≤1故答案為：{x【變式21】1．（2020·高一課時練習）利用三角函數(shù)線,確定滿足不等式?12≤cos【答案】2kπ?2π3≤θ【解析】分別過點(32,0)和(?12,0)作x軸垂線交單位圓于【詳解】解:作出以坐標原點為圓心的單位圓,分別作直線x=?12,x=32,直線x=?12與單位圓交于點P1,P2與x軸交于點M,直線x=32與單位圓交于點P3,P4,與x軸交于點M2,連接OP1,OP2,OP3,OP4.在?π,π范圍內(nèi),cos2π3=cos?2π3=?【點睛】本題考查用三角函數(shù)線解三角不等式，可以根據(jù)圖形寫出一個周期內(nèi)的解集，然后再加上周期．【變式21】2．（2021·江蘇·高一專題練習）利用三角函數(shù)線，寫出滿足下列條件的角α的集合：(1)sinα≥22(2)cosα≤12【答案】(1){α(2){α【分析】根據(jù)正余弦的函數(shù)值，在單位圓中畫出對應角的范圍即可知α的集合.(1)由下圖知：當sinα≥22時，角α滿足的集合為{(2)由下圖知：當cosα≤12時，角α滿足的集合為{【變式21】3．（2022·高一課時練習）用單位圓中的三角函數(shù)線說明:對于任意角α,不等式|sinα【答案】見解析【解析】如圖所示，OM為角α的余弦線，MP為角α的正弦線，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，再考慮特殊情況得到證明.【詳解】如圖所示：OM為角α的余弦線，MP為角α的正弦線.在△OMP中，|OM|+|當O，M，P三點共線時，|sin所以對于任意角α，|sinα【點睛】本題考查了三角函數(shù)的正弦線和余弦線，意在考查學生的推斷能力.【變式21】4．（2022·高一課時練習）利用三角函數(shù)線，寫出滿足|cosα|＞|sinα|的角α的集合．【答案】α【詳解】如圖，作出單位圓．所以角α滿足的集合為.【變式21】5．（2019·高一課時練習）利用單位圓和三角函數(shù)線．（1）證明：sinα<α（2）已知0≤x≤2π【答案】（1）證明見解析（2）π【分析】（1）在單位圓中作出角的正弦線,正切線,由三角形的面積大小關(guān)系可得；（2）利用三角函數(shù)線分別解出兩不等式,求交集即可．【詳解】(1)如圖所示，在單位圓中作出角α的正弦線MP，正切線AT由SΔOAP<SMP<AP<(2)由圖可知，，當0≤x≤2π時，sin當角x在第一象限，MP>0,OM>0當x=π2時，MP當角x在第二象限，MP>0，OM<0，當x=π時，當角x在第三象限，MP<0,OM<0當x=3π當角x在第四象限，MP<0,當x=2π時，綜上可得x∈當0≤x≤2π時，sin當角x在第一象限，0<MP當角x在第二象限，MP>0,AT<0當角x在第三象限，MP<0,當角x在第四象限，MP<0,AT<0，MP綜上可得x∈所以不等式組sinx>cosx【點睛】本題主要考查三角函數(shù)線的應用,考查學生數(shù)形結(jié)合的能力．【變式21】6．（2019·高一課時練習）利用單位圓和三角函數(shù)線證明：若α為銳角，則（1）sinα（2）sin2【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.【分析】如圖，記角α的兩邊與單位圓的交點分別為點A，P，點A在x軸正半軸上，過點P作PM⊥x軸于點M，則sinα（1）由三角形的兩邊之和大于第三邊即可得答案；（2）由勾股定理即可得答案．【詳解】證明：如圖，記角α的兩邊與單位圓的交點分別為點A，P，點A在x軸正半軸上，過點P作PM⊥x軸于點M，則sinα（1）在RtΔOMP中，MP+OM（2）在RtΔOMP中，MP2【點睛】本題考查利用三角函數(shù)線和三角形的邊長關(guān)系證明三角不等式與等式問題，屬于一般題．【變式21】7．（2021秋·江蘇·高一專題練習）閱讀與探究人教A版《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學4(必修)》在第一章的小結(jié)中寫道：將角放在直角坐標系中討論不但使角的表示有了統(tǒng)一的方法，而且使我們能夠借助直角坐標系中的單位圓，建立角的變化與單位圓上點的變化之間的對應關(guān)系，從而用單位圓上點的縱坐標、橫坐標來表示圓心角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)(主要是對稱性)之間存在著非常緊密的聯(lián)系.例如，和單位圓相關(guān)的“勾股定理”與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有內(nèi)在的一致性；單位圓周長為2π與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為2π是一致的；圓的各種對稱性與三角函數(shù)的奇偶性、誘導公式等也是一致的等等下而我們再從圖形角度認識一下三角函數(shù).如圖，角a的終邊與單位圓交于點P.過點P作x軸的重線，重足為M.根據(jù)三角函數(shù)定義.我們有：|如圖.過點A(1，0)作單位圓的切線.這條切線必然平行于y軸(為什么?)，設(shè)它與a的終邊(當a為第一、四象限角時)或其反向延長線(當a為第二、三象限角時)相交于點T.根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識，借助有向線段OA，AT.我們有tanα依據(jù)上述材料，利用正切線可以討論研究得出正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì)．比如：由圖可知，角α的終邊落在四個象限時均存在正切線；角α的終邊落在x軸上時，其正切線縮為一個點，值為0；角α的終邊落在y軸上時，其正切線不存在；所以正切函數(shù)y=tan(1)請利用單位圓中的正切線研究得出正切函數(shù)y=tan(2)根據(jù)閱讀材料中圖，若角α為銳角，求證：sinα【答案】(1)在區(qū)間?π(2)證明見解析【分析】（1）在單位圓中畫出角x∈?π2，π2的正切線，