四川省攀枝花市第七高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次診斷考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

攀枝花市七中第六次診斷考試數(shù)學(xué)試卷（理科）審題人：高三數(shù)學(xué)組一、單選題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式及對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合，然后利用交集的運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知，，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，.故選：A3.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的三視圖還原幾何體，再按圓錐及圓柱表面積公式計(jì)算求解.【詳解】由給定的三視圖知，這個(gè)幾何體是底面直徑為2，高為2的圓柱，上接一個(gè)底面直徑為2，高為的圓錐構(gòu)成的組合體，如圖，則有圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積，圓柱的側(cè)面積，圓柱下底面圓面積，這個(gè)幾何體的表面是圓錐的側(cè)面、圓柱的側(cè)面、圓柱的下底面組成，所以這個(gè)幾何體的表面積為.故選：A4.使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】解不等式，可得，因?yàn)?，，，因此，使成立的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的結(jié)果是（）A. B.1011 C.1012 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算數(shù)列求和即可.【詳解】該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，因?yàn)?，所以輸出的結(jié)果為1012．故選：C．6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公差不為，若，，構(gòu)成等比數(shù)列，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)計(jì)算出，根據(jù)等比數(shù)列中項(xiàng)得，再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以，得，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，因?yàn)?，解得，，，所?故選：D.7.已知恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值，再借助不等式恒成立求解即得.詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，依題意，，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角的變換及誘導(dǎo)公式，二倍角的正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故，，故選：C9.如圖所示，在三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)平面和得到平面，由此可證，均為直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可證為三棱錐外接球的直徑，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫?，所以，，又因?yàn)?，，所以平面，所以，記的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，均為直角三角形，所以點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，即為三棱錐外接球的直徑又，所以，又因?yàn)?，，，所以，故三棱錐外接球的表面積為．故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)線面垂直導(dǎo)致線線垂直，得到，均為直角三角形，進(jìn)而得到外接球的球心和直徑．10.已知點(diǎn)是的外接圓圓心，，且，則（）A. B.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，兩邊同時(shí)平方可得，同理求出，由可得，再由正弦定理求出外接圓的半徑，轉(zhuǎn)化條件為即可得解.【詳解】由題意可得：，且，兩邊同時(shí)平方可得，設(shè)可得，則，所以，由可得：，兩邊同時(shí)平方可得，則，所以，因?yàn)?，故為銳角，故，所以，得，在由正弦定理可得：，解得：，.故選：D.11.已知奇函數(shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，周期性和單調(diào)性判斷即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，，而，所以上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，時(shí)因?yàn)樗?，由，即關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以為的周期，所以，因?yàn)樗运怨蔬x：C.12.已知，，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，記，則，令，則，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，又時(shí)，，所以，故，所以，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，即.記，則，即，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以，即，單調(diào)遞增，又，所以，即.綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】本題難點(diǎn)在于函數(shù)的構(gòu)造，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較大小的問(wèn)題，主要通過(guò)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征同構(gòu)函數(shù)，或構(gòu)造差函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性即可求解.二、填空題13.已知直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，則__________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)橹本€是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，所以，解得，所以，故答案為：414.設(shè)，是兩個(gè)單位向量，向量，且，則_______.【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】因?yàn)?，，是兩個(gè)單位向量，所以，解得.故答案為：.15.若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】由二次函數(shù)、分式型函數(shù)的性質(zhì)分別求分段函數(shù)兩段上的性質(zhì)，并確定且，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由在上遞減，在上遞增，若，則最小值為，不滿足題設(shè)，所以，在上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值，則，可得.綜上，.故答案：16.如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形中，，沿將翻折，得到三棱錐，則當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，異面直線與所成的角的余弦值等于______.【答案】##0.25【解析】【分析】利用椎體的體積公式確定當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大，體積最大；再利用異面直線所成角的定義求解.【詳解】,為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，將沿著翻折形成三棱錐,如圖，點(diǎn)在底面上的投影在的平分線上，則三棱錐的高為過(guò)點(diǎn)的高，所以當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的高最大，體積最大，此時(shí)為平面平面平面所成的角，所以,且平面,所以平面，分別取中點(diǎn)為,連接,因?yàn)樗詾楫惷嬷本€與所成的角或其補(bǔ)角，在中，,在直角三角形中，,所以,由余弦定理可得，,所以異面直線與所成的角的余弦值為，故答案為:.三、解答題17.已知銳角內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若.（1）求；（2）若，求的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊后得到條件，再由余弦定理可求出，即可求解；（2）根據(jù)正弦定理，把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再根據(jù)角的范圍即可求解.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，，則，又,所以【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所?則，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以,解得，令，所以，所以.18.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系作差即可求解，（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求和.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以．當(dāng)時(shí)，也符合，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知．，，則，所以．19.如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.（1）證明：BDCC1；（2）棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，【解析】【分析】（1）連接,根據(jù)題意證得和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得；（2）取中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)，求得平面和的一個(gè)法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，列出方程，求得，即可求解.小問(wèn)1詳解】證明:如圖所示，連接,因?yàn)闉槔馀_(tái)，所以四點(diǎn)共面，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)榍移矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】解：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，且，所以是正三角形，所以，即，由于平面，以為原點(diǎn)，分別以為軸、軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，可得設(shè)平面的法向量，則，取，可得，所以.又由平面的法向量為，所以，解得由于二面角為銳角，則點(diǎn)在線段上，所以，即故上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的余弦值為.20.已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，且，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，且與橢圓交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，試求四邊形面積的最大值．【答案】（1）橢圓方程為，離心率為（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的定義以及焦距，求得和的值，則，即可求得橢圓的方程和離心率.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由橢圓方程及弦長(zhǎng)公式分別求得，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得四邊形面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意，又因?yàn)?，所以，橢圓方程為，離心率為．【小問(wèn)2詳解】①當(dāng)直線斜率不存在或者為時(shí)，易得，從而四邊形的面積為4．②當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，直線，聯(lián)立，易知，由韋達(dá)定理得，，，同理，所以，從而四邊形面積的最大值為．21.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的極大值為4，求實(shí)數(shù)的值；（3）在（2）的條件下，方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，證明.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分類討論求其單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）中結(jié)論可得，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導(dǎo)即可證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則，故在上單調(diào)遞增；若，則，故在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈臉O大值為4，所以由（1）得，所以，解得【小問(wèn)3詳解】證明：由（2）得此時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在時(shí)有極大值，極大值為4；即若證明，即證，即；令，則證明令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以故.22.平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，記和交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）曲線的普通方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）消去參數(shù)得到普通方程，利用公式將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；（2）寫出符合要求的直線參數(shù)方程，利用t的幾何意義求解.【小問(wèn)1詳解】已知曲線（為參數(shù)），則，由消參得，則曲線的普通方程為．由曲線的極坐標(biāo)方程為，變形得，即，且滿足，由互化公式，得，即.故曲線的直角坐標(biāo)方程為．【小問(wèn)2詳解】由于在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為（t為參數(shù)），代入曲線，化簡(jiǎn)得，，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，，由于，故，所