廣東省真光中學(xué)、深圳二高2023屆高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

“真光中學(xué)-深圳二高”·2023屆高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題人：鐘三明審題人：郭銘恩本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分．考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知實(shí)數(shù)集R，集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.【詳解】集合，則或，而，所以.故選：C2.已知（i是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為，則的虛部為（）A.3 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求得，進(jìn)而確定的虛部.【詳解】，所以，的虛部為.故選：B3.如圖，已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可求的表示形式.【詳解】因?yàn)?，故?/p>

故，故選：A.4.某車間生產(chǎn)一種圓臺(tái)型紙杯，其杯底直徑為，杯口直徑為，高為?，將該紙杯裝滿水（水面與杯口齊平），現(xiàn)將一直徑為的小鐵球緩慢放入杯中，待小鐵球完全沉入水中并靜止后，從杯口溢出水的體積為紙杯容積的，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圓臺(tái)及球的體積公式結(jié)合條件即得.【詳解】由題可得圓臺(tái)型紙杯的體積為，小鐵球的體積為，由題可得，即.故選：B.5.已知函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，距離軸最近的一條對(duì)稱軸為，若，且，恒有，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象特征可求解解析式，根據(jù)，且，恒有可判斷在單調(diào)，進(jìn)而可根據(jù)正弦的性質(zhì)求解.【詳解】在上，則，由于，故，是離軸最近的對(duì)稱軸，則,所以,故，，且，恒有，故知在單調(diào)，令或，故離原點(diǎn)最近的為，故選：D6.用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒(méi)有重復(fù)數(shù)字），在任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先算出任意相鄰兩個(gè)數(shù)字奇偶性不同的6位數(shù)的個(gè)數(shù)，再討論個(gè)位是偶數(shù)并分2在或不在個(gè)位計(jì)數(shù)，以及個(gè)位是奇數(shù)并分1在或不在個(gè)位計(jì)數(shù)，最后求目標(biāo)概率.【詳解】將3個(gè)偶數(shù)排成一排有種，再將3個(gè)奇數(shù)分兩種情況插空有種，所以任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)有種，任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰，分兩種情況討論：當(dāng)個(gè)位是偶數(shù)：2在個(gè)位，則1在十位，此時(shí)有種；2不在個(gè)位：將4或6放在個(gè)位，百位或萬(wàn)位上放2，在2的兩側(cè)選一個(gè)位置放1，最后剩余的2個(gè)位置放其它兩個(gè)奇數(shù)，此時(shí)有種；所以個(gè)位是偶數(shù)共有20種；同理，個(gè)位是奇數(shù)也有20種，則任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰數(shù)有40種，所以任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)任意相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰做計(jì)數(shù)時(shí)，注意討論特殊位置上放置偶數(shù)或奇數(shù)，進(jìn)而分1、2是否在該位置的情況計(jì)數(shù).7.實(shí)數(shù)，，分別滿足，，，則，，大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，，，然后與作差結(jié)合基本不等式比較大小，構(gòu)造函數(shù)，可判斷其在上單調(diào)遞減，則，化簡(jiǎn)可得，則，則可比較出與的大小即可【詳解】由題意得，，，則，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，考查基本不等式的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)判斷出其單調(diào)性，可得，再轉(zhuǎn)化為，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于難題8.在中，，點(diǎn)分別在邊上移動(dòng)，且，沿將折起來(lái)得到棱錐，則該棱錐的體積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可得的具體形狀，由折疊，可得當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到底面的距離最大，設(shè)，將四棱錐中底面積和高，都用表示出來(lái)，整理出體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，可得答案.【詳解】由得，由余弦定理得，則是直角三角形，為直角，對(duì)的任何位置，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到底面的距離最大，此時(shí)即為與底面所成的角，設(shè)，在中，，點(diǎn)到底面的距離，則，，令，解得，可得下表：極大值故當(dāng)時(shí)，該棱錐的體積最大，為.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知數(shù)據(jù)，…，的眾數(shù)?平均數(shù)?方差?第80百分位數(shù)分別是，，，，數(shù)據(jù)，，，…，的眾數(shù)?平均數(shù)?方差?第80百分位數(shù)分別是，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由眾數(shù)的計(jì)算方法可判斷A;根據(jù)平均數(shù)的概念可判斷B；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷C；根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算可判斷D.【詳解】由題意可知，兩組數(shù)據(jù)滿足，則它們的眾數(shù)也滿足該關(guān)系，則有，故A錯(cuò)誤；由平均數(shù)計(jì)算公式得：，即，故B正確；由方差的性質(zhì)可得，故C正確；對(duì)于數(shù)據(jù)，…，，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為k,則，故對(duì)于數(shù)據(jù)，…，，假設(shè)其第80百分位數(shù)為，當(dāng)是整數(shù)時(shí)，，當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，設(shè)其整數(shù)部分為k,則，故，故D正確，故選：BCD10.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G為C1D1的中點(diǎn)，K為A1D1中點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在棱C1C上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線BD1⊥平面A1C1DB.異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是C.PQ+QG的最小值為D.過(guò)點(diǎn)GKM的平面截正方體所得多邊形的面積為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用正方體的性質(zhì)及線面垂直的判定定理即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，由題可得與所成角即為異面直線與所成角；對(duì)于C選項(xiàng)，利用展開(kāi)圖即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，作出截面為正六邊形，求其面積即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，則，由題可知，平面，且平面，則，又，面，平面，平面，則，同理可得，，面，直線平面，則選項(xiàng)A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由題可知，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以與所成角即為異面直線與所成角，易知是等邊三角形，又點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以直線與所成角的取值范圍是，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖展開(kāi)平面，使平面共面，過(guò)作，交與點(diǎn)，交與點(diǎn)，則此時(shí)最小，由題可知，，，則，即的最小值為，則C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，作中點(diǎn)，連接，如圖，易知多邊形為過(guò)點(diǎn)GKM的平面截正方體所得多邊形，易求，即多邊形為正六邊形，連結(jié)交于點(diǎn)，故.故選：ACD.11.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上的兩點(diǎn)，的中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的投影為N，則（）A.曲線C的準(zhǔn)線方程為 B.若，則的面積為C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出準(zhǔn)線方程判斷A；求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)計(jì)算判斷B；設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示及均值不等式求解判斷C；利用拋物線定義結(jié)合余弦定理、均值不等式推理判斷D作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，設(shè)，有，，，曲線C的準(zhǔn)線方程為，A不正確；，而，則，即有，的面積，B正確；由得：，顯然，即有，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，有，則，在中，，由余弦定理得：，即有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，D不正確.故選：BC12.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列一定成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由是偶函數(shù)，得出是奇函數(shù)，結(jié)合等式，，可得函數(shù)的周期為4且函數(shù)的對(duì)稱中心為，賦值運(yùn)算即可判斷各選項(xiàng).【詳解】解：若為偶函數(shù)，則，故，則為奇函數(shù)故，由可得，又可得，兩式相減得，所以函數(shù)的周期為4；由可得又可得，兩式相加得所以函數(shù)的對(duì)稱中心為；則，，故A選項(xiàng)正確；又，則，由函數(shù)的周期為4可得，，故B，D選項(xiàng)正確；可得，所以，故C選項(xiàng)不正確；故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)________．【答案】-30.【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和求得的值，之后將式子轉(zhuǎn)化，即，結(jié)合與的展開(kāi)式中，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系，分別去分析可能有哪些項(xiàng)乘積所得的，從而確定出各項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系，最后求得結(jié)果.詳解：由展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，可得，解得，，根據(jù)二項(xiàng)式定理可以求得的展開(kāi)式中，三次項(xiàng)、二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是10、10、5、1，的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)及一次項(xiàng)、二次項(xiàng)、三次項(xiàng)的系數(shù)分別是-1、10、-40、80，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題，在求解的過(guò)程中，需要明確展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系，除此之外，也可以將式子轉(zhuǎn)化為另一種形式，即，之后再分析對(duì)應(yīng)的項(xiàng)所出現(xiàn)的位置，從而求得結(jié)果.14.直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，根據(jù)直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m的取值范圍.【詳解】由，得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線為與曲線恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，符合題意當(dāng)時(shí)，直線方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，若，則曲線為以為圓心，1為半徑的圓軸正半軸的部分，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則即，解得，若曲線為雙曲線軸負(fù)半軸的部分，因?yàn)橹本€與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，雙曲線的漸近線為則綜上：的取值范圍是.故答案為：15.已知，是曲線的兩條傾斜角互補(bǔ)的切線，且，分別交y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)a的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】由函數(shù)解析式，求導(dǎo)，寫(xiě)出切線方程，并求與縱軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)切線，的切點(diǎn)坐標(biāo)為，，由函數(shù)，求導(dǎo)可得，由題意可知，，即，可得，，令，，故，同理可得，則，由于，則等號(hào)不能取，即，解得，即的最小值為.故答案為：.16.雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交該雙曲線于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，已知軸時(shí)，，則雙曲線的離心率__________；若點(diǎn)在雙曲線右支上，則的取值范圍是__________.【答案】①②.【解析】【分析】當(dāng)直線軸時(shí)，表達(dá)出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用斜率之比求出，求出離心率；（2）設(shè)出直線，聯(lián)立方程，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出，由漸近線方程求出，進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)軸時(shí)，，所以，從而，所以；由題意知，.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得：又故所以可知，當(dāng)點(diǎn)在右支運(yùn)動(dòng)時(shí)，由漸近線方程為可知：，故.故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為（），數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，然后由已知條件列方程組可求出和，從而可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，然后分奇偶項(xiàng)求解即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，，，所以，解得，所以，【小?wèn)2詳解】由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以令，則，，所以，所以，所以，所以.18.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）記的面積為S，且的外接圓面積為，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，結(jié)合范圍，可得，即可得解的值．（2）由已知利用圓的面積公式可求三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得，由余弦定理可得，進(jìn)而利用三角形的面積公式，基本不等式即可求解．【小問(wèn)1詳解】,由正弦定理可得，故，因?yàn)?，故，故，由，得，因?yàn)?，故，解得．【小?wèn)2詳解】因?yàn)榈耐饨訄A面積為，故的外接圓半徑為，由正弦定理可得，由余弦定理，可得，可得，①所以，所以，將①式代入，可得，因?yàn)?，所以由①式可得，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故，則的取值范圍為．19.如圖，四棱錐P－ABCD的體積為，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是面積為的等邊三角形，四邊形ABCD是等腰梯形，BC＝1，E為棱PA上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求PC；（2）若直線EC與平面ABCD的夾角為60°，求二面角B－CE－D的正弦值；【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）取AD中點(diǎn)為O，連接PO，OC.由題可得，用幾何知識(shí)算出PO，OC后，結(jié)合勾股定理可算出答案.（2）首先利用現(xiàn)有條件算出相關(guān)數(shù)據(jù)，建立坐標(biāo)系.之后結(jié)合題目條件，算出E點(diǎn)的坐標(biāo)，后用空間向量知識(shí)求得二面角余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖，取AD中點(diǎn)為O，BC中點(diǎn)為F.連接OP，OC，OF.因△PAD是面積為的等邊三角形，則.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=，則平面ABCD.得，四邊形ABCD是等腰梯形，則為其高，又四棱錐的體積為，則，得.又可得，故.又則故答案為：【小問(wèn)2詳解】由（1）知.故建立以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.從而可得：，，，，.設(shè)，其中.則設(shè)，有，得，故.平面ABCD的法向量為，又直線EC與平面ABCD的夾角為60°，則，得.知.故求二面角B－CE－D正弦值就是求二面角B－CP－D的正弦值.，設(shè)平面BCP與平面CPD的法向量為.則，取,.則二面角B－CE－D的正弦值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的長(zhǎng)度計(jì)算與利用空間向量計(jì)算二面角.對(duì)于長(zhǎng)度問(wèn)題，要善于發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，多用勾股定理解決問(wèn)題，部分較復(fù)雜題目也可以建立坐標(biāo)系解決·.利用空間向量解決問(wèn)題時(shí)，建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵，且解答題要注意書(shū)寫(xiě)建立依據(jù)與步驟.對(duì)于空間幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，常利用向量，而向量也在解決空間幾何問(wèn)題中占據(jù)重要地位，但要特別注意所涉向量夾角.20.“業(yè)務(wù)技能測(cè)試”是量化考核員工績(jī)效等級(jí)的一項(xiàng)重要參考依據(jù)．某公司為量化考核員工績(jī)效等級(jí)設(shè)計(jì)了兩套測(cè)試方案，現(xiàn)各抽取100名員工參加兩套測(cè)試方案的預(yù)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)成績(jī)（滿分100分），得到如下頻率分布表．成績(jī)頻率方案0.020.110.220.300.240.080.03方案0.160.180.340.100.100.080.04（1）從預(yù)測(cè)試成績(jī)?cè)诘膯T工中隨機(jī)抽取3人，求恰有1人參加測(cè)試方案的概率；（2）由于方案的預(yù)測(cè)試成績(jī)更接近正態(tài)分布，該公司選擇方案進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試．測(cè)試后，公司統(tǒng)計(jì)了若干部門測(cè)試的平均成績(jī)與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率，如下表所示：324154687480920.280340.440.580.660.740.94根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步判斷，選用作為回歸方程．令，經(jīng)計(jì)算得，．（ⅰ）若某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0，則其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率的預(yù)報(bào)值為多少？（ⅱ）根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差，求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率為多少？參考公式與數(shù)據(jù)：（1）．（2）線性回歸方程中，．（3）若隨機(jī)變量，則，，．【答案】（1）（2）（?。?.498；（ⅱ）0.1587【解析】【分析】（1）由古典概型概率計(jì)算公式求解即可；（2）（?。﹥蛇吶?duì)數(shù)得，即，利用所給一元線性回歸方程公式求得的值，再將代入即可求解；（ⅱ）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【小問(wèn)1詳解】由圖表可得方案測(cè)試成績(jī)?cè)诘膯T工的有人，方案測(cè)試成績(jī)?cè)诘膯T工的有人，所以從預(yù)測(cè)試成績(jī)?cè)诘膯T工中隨機(jī)抽取3人，求恰有1人參加測(cè)試方案的概率.【小問(wèn)2詳解】（?。┯深}意兩邊取對(duì)數(shù)得，即，根據(jù)所給公式可得，又因?yàn)?，，所以，即，故，?dāng)時(shí)，，即若某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0，則其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率的預(yù)報(bào)值為.（ⅱ）由（?。┘皡⒖紨?shù)據(jù)可得，，由即可得，解得，又，，由正態(tài)分布的性質(zhì)得，即績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率為0.1587.21.已知橢圓C：，經(jīng)過(guò)圓O：上一動(dòng)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線．切點(diǎn)分別記為A，B，直線PA，PB分別與圓O相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn)．（1）求證：M，O，N三點(diǎn)共線；（2）求△OAB面積的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的對(duì)稱性，設(shè)在第一象限，討論、斜率不存在或?yàn)?、斜率存在且不為0兩種情況，再設(shè)切線方程并聯(lián)立橢圓，由及韋達(dá)定理，求證即可證結(jié)論.（2）同（1）設(shè)在第一象限，，，討論、斜率不存在或?yàn)?、斜率存在且不為0兩種情況，分別求△OAB面積情況，注意斜率存在且不為0時(shí)，根據(jù)P在、上求直線的方程，再聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式得到關(guān)于所設(shè)參數(shù)的表達(dá)式，最后應(yīng)用基本不等式求范圍確定面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，若斜率不存在，則直線為，所以，則另一條切線為(即斜率為0)，此時(shí)；若、斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為，聯(lián)立橢圓方程有，整理得，所以，整理得，且，所以，又，故，即；綜上，有，又M，N兩點(diǎn)圓O上，即，由圓的性質(zhì)知：是圓O的直徑，所以