江西省吉安市永豐縣十一校聯(lián)考2025屆九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷(含解析)

吉安市2024-2025學(xué)年（上）九年級(jí)數(shù)學(xué)一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1.一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是（）A.1 B. C.4 D.答案：D解：一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是；故選D．2.下列四邊形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形而不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形答案：A解：平行四邊形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，而不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故A符合題意；矩形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故B不符合題意；菱形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故C不符合題意；正方形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故D不符合題意．故選：A．3.如若關(guān)于x的方程有一個(gè)根為，則a的值是（）A.9 B.5 C.3 D.答案：B解：由題意得，解得：；故選：B．4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，添加下列一個(gè)條件，能使矩形ABCD成為正方形的是（）A.BD=AB B.DC=AD C.∠ABC=90° D.OD=OC答案：B解∵四邊形ABCD為矩形，∴要使其為正方形，只需要使矩形ABCD為菱形即可，∴可添加DC=AD．故選：B．5.要組織一場(chǎng)籃球聯(lián)賽，每?jī)申?duì)之間只賽一場(chǎng)，計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽，如果邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意，列出方程為（）A. B.C. D.答案：C解：設(shè)邀請(qǐng)x個(gè)球隊(duì)參加比賽，根據(jù)題意可得：，故選C．6.小明用四個(gè)全等的含角的直角三角板拼成如圖所示的三個(gè)圖案，其中是菱形的有（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：D解：四個(gè)全等的含角的直角三角板拼成如圖所示的三個(gè)圖案中，第一個(gè)與第三個(gè)四邊形的四條邊都相等，∴第一個(gè)與第三個(gè)圖形是菱形，如圖，由四個(gè)全等的含角的直角三角板拼成的四邊形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴,，∴,∴，∴四邊形是菱形；故選D二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7.若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍是______．答案：解：由題意，得：，∴；故答案為：．8.已知方程的一個(gè)解為，另一個(gè)解為_(kāi)_____．答案：解：∴或解得，，即另一個(gè)解為，故答案為：9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形，點(diǎn)坐標(biāo)是，則的長(zhǎng)是______．答案：解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)是，∴，∵四邊形是矩形，∴．故答案為：．10.若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．答案：2024解；∵m是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：．11.如圖，在四邊形中，對(duì)角線，且，，，，，分別是四邊的中點(diǎn)，則四邊形的面積為_(kāi)_________．答案：12解：∵點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，EF=，∵AC=8，∴EF=4，同理，HE∥BD，HE=，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EH∥BD，AC⊥BD，∴EH⊥AC，∵EF∥AC，∴EF⊥HE，∴四邊形EFGH是矩形，∴矩形EFGH的面積=HE×EF=12．故答案：12．12.如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F為DP的中點(diǎn)；當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則AP的長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案：3或或解：∵四邊形是矩形，∴∵為的中點(diǎn)，∴設(shè)則①當(dāng)時(shí)，如圖1，在中，，∴∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，但不合題意，舍去，∴即②當(dāng)時(shí)，連接如圖2，在中，，∴，∵為中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是△的中位線，∴，∵,∴,解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，但不合題意，舍去，∴即；③當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)垂足為點(diǎn)如圖3，∴四邊形是矩形，//，∴∵//，∴△∴∴∴，綜上，的值為3或或．故答案為3或或．三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13.（1）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）已知：如圖，菱形中，點(diǎn)，分別在，邊上，，連接，．求證：．答案：（1），；（2）見(jiàn)解析（1）解：∴，則或，解得，；（2）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴．14.取何值時(shí)，多項(xiàng)式的值與的值互為相反數(shù)？答案：或1解：根據(jù)題意，得：整理得：則或解得：當(dāng)x取或1時(shí)，代數(shù)式:的值與的值互為相反數(shù)15.如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE∥OD，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，CE與DE相交于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形OCED是矩形．（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求矩形OCED的面積．答案：（1）詳見(jiàn)解析；（2）4．解：（1）證明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形．又∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，∴四邊形OCED是矩形．（2）解：∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4．又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC＝4，∴OC＝AC＝2，∴∴矩形OCED的面積是2×2＝4．16.如圖，在菱形中，，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)按要求在圖中僅用無(wú)刻度的直尺畫(huà)圖．（1）在圖1中，畫(huà)出線段的中點(diǎn)M；（2）在圖2中，過(guò)點(diǎn)C畫(huà)出邊上的高．答案：（1）圖1中AC與BD交點(diǎn)即是M．（2）圖2中CN就是AD邊上的高．解：如圖1作法：連接BD交AC于M，則點(diǎn)M就是求作的點(diǎn)．理由如下：∵菱形ABCD∴AC與BD互相平分（菱形是特殊的平行四邊形，平行四邊形對(duì)角線互相平分）∴M是AC的中點(diǎn)．（２）如圖2作法：連接EM并延長(zhǎng)交AD于N，連接CN，則CN就是求作的高．理由如下：∵菱形ABCD∴AD∥BC∴∠NAC=∠ACE∠ANM=∠MEC又∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)∴AM=CM∴△AMN≌△CME（ASA）∴EM=MN∴四邊形ECNA是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平形四邊形）又∵∴四邊形ECNA是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）∴于N∴CN是AD邊上的高．17.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程兩實(shí)數(shù)根分別為，，且滿足，求實(shí)數(shù)的值．答案：（1）（2）【小問(wèn)1詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得：，即的取值范圍是；【小問(wèn)2詳解】，，，，，即，解得或．；．故的值為2．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18.如圖．利用一面墻（墻的長(zhǎng)度不限），用的籬笆圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地．設(shè)矩形與墻垂直的一邊，矩形的面積為（1）若面積，求的長(zhǎng)；（2）能?chē)傻木匦螁?？說(shuō)明理由．答案：（1）或（2）不能，理由見(jiàn)解析【小問(wèn)1詳解】解：矩形與墻垂直的一邊，矩形的面積為，則長(zhǎng)為，則，當(dāng)時(shí)，，解得或，故的長(zhǎng)為或．【小問(wèn)2詳解】解：不能?chē)傻木匦危碛扇缦拢涸O(shè)矩形場(chǎng)地的寬為，則長(zhǎng)為，依題意列方程：，即，∵，∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解，故矩形場(chǎng)地的面積不能達(dá)到．19.定義：如果關(guān)于x的方程（，、、是常數(shù)）與（，、、是常數(shù)），其中方程中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別滿足，，，則稱(chēng)這兩個(gè)方程互為“對(duì)稱(chēng)方程”．例如：方程的“對(duì)稱(chēng)方程”是，請(qǐng)根據(jù)上述內(nèi)容，解決以下問(wèn)題：（1）直接寫(xiě)出方程的“對(duì)稱(chēng)方程”；（2）若關(guān)于x的方程與互為“對(duì)稱(chēng)方程”，求m、n的值及的解．答案：（1）（2），，，【小問(wèn)1詳解】解：由題意得：方程的“對(duì)稱(chēng)方程”是；【小問(wèn)2詳解】由，移項(xiàng)可得：，∵關(guān)于x的方程與互為“對(duì)稱(chēng)方程”，∴，，解得：，，∴化為，∴，∴，．20.【操作感知】如圖1，在矩形紙片的邊上取一點(diǎn)P，沿折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接，則的大小為_(kāi)_____度．【遷移探究】如圖2，將矩形紙片換成正方形紙片，將正方形紙片按照【操作感知】進(jìn)行折疊，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，連接．（1）證明：；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)為中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．答案：【操作感知】：30；（1）見(jiàn)解析；（2）解：【操作感知】：由折疊知，，∵，∴，∴，∴，故答案為：30；【遷移探究】（1）證明：∵正方形紙片按照【操作感知】進(jìn)行折疊，∴，在和中，，∴，即；（2）解：設(shè)的長(zhǎng)為，∵正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為中點(diǎn)，∴，，，在中，，即，解得故答案為：．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21.【課本再現(xiàn)】如圖，畫(huà)，并畫(huà)出斜邊上的中線，量一量，看與有什么關(guān)系，相信你與你的同伴一定會(huì)發(fā)現(xiàn)：恰好是的一半、下面讓我們用演繹推理證明這一猜想．已知：如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)，．（1）【定理證明】請(qǐng)根據(jù)以上提示，結(jié)合圖1，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．（2）【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，在四邊形中，，，，是的中點(diǎn)，連接，．求的度數(shù)．答案：（1）見(jiàn)解析（2）【小問(wèn)1詳解】解：補(bǔ)全后的證明過(guò)程如下：證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，是斜邊上的中線，，又，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，．【小問(wèn)2詳解】解：如圖，連接，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，．22.“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比較代數(shù)式：x2﹣1與2x﹣3的大小．答案：（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，故答案為：-2，1；（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，則x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，則x+y＝2﹣1＝1；（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∵（x﹣1）2≥0，∴（x﹣1）2+1＞0，∴x2﹣1＞2x﹣3．六、（本大題共12分）23.在ΔABC中，，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與重合），以為邊在右側(cè)作正方形，連接（1）探究猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①與的位置關(guān)系為；②之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）深入思考：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，正方形對(duì)角線交于點(diǎn)．若已知，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．答案：（1）①垂直；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，證明見(jiàn)解析；（3）解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ABC=∠ACF，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ACB+∠ACF═45°+45°=90°，即BC⊥CF；故答案為：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．理由如下：∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中，，∴△DAB≌△FAC（SAS