函數(shù)試題題庫(kù)

函數(shù)試題

一、安徽試題

(20).(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)=—(x>。且r*1)

x\nx

(I)求函數(shù)/㈤的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知對(duì)任意x￡(O,l)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解(1)八")=一筆1,若八幻=o,貝I1X=1列表如下

x-In-xe

XJ(1,400)

(0,-e)e(e-J)

/1(x)+0一一

極大值

/(X)單調(diào)增單調(diào)減單調(diào)減

/(-e)

⑵在兩邊取對(duì)數(shù)，得3n2>alnx,由于

x

0Vx<1.所以

-a->--1-

In2x\nx

(1)

由⑴的結(jié)果可知，當(dāng)XG(0,l)時(shí)，

f(x)<f(-)=-e,

e

為使(1)式對(duì)所有XE(0,l)成立，當(dāng)且僅當(dāng)

>—e,即a>-eln2

In2

(11).若函數(shù)f(x),g⑶分別是R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿

足/W-g(x)=歹，則有()

A.〃2)<"3)<g(0)B.g(0)</(3)</(2)

C.”2)vg(0)</(3)D.^(0)</(2)</(3)

解：用-X代換X得：即/(x)+g(x)=-e~x,

解得：/“)=《產(chǎn),gQ)=—三，而/⑺單調(diào)遞增且大于等

于0,雙O)=T,選D。

(7).a<0是方程加+2丹1=0至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C,充分必要條件D,既不充分也不必

要條件

解:當(dāng)4=2?-4〃>0,得a<l時(shí)方程有根。a<0時(shí),x[x2=-<o,

方程有負(fù)根，又a=l時(shí)，方程根為戶一1,所以選B

(6).函數(shù)/(?=(%-1)2+心V0)的反函數(shù)為

A./■,(x)=l-^/^：T(x>l)

B./~,(x)=i+>/x^r(x>i)

C./_,(x)=l->/r:T(x>2)

D./-'(%)=l+>/x^T(x>2)

解：由原函數(shù)定義域是反函數(shù)的值域，尸⑴wo,排除B,D

兩個(gè)；又原函數(shù)X不能取1,

了⑶不能取1,故反函數(shù)定義域不包括1,選c.(直

接求解也容易)

(8).函數(shù)y=sin(2x+至圖像的對(duì)稱軸方程可能是()

A.x=--B.x=--C.x=-

6126

D.x=-

12

解：y=sin(2x+馬的對(duì)稱軸方程為2x+工=無(wú)乃+三,即

332212

k=O,x=—

12

(9).設(shè)函數(shù)/(X)=2X+L-1(XVO),則f(x)()

x

A.有最大值B.有最小值C.是增函數(shù)

D.是減函數(shù)

解：Vx<0A-2r>0,-->C,/(x)=2x+--l=-[(-2x)+(--)]-l,由基

XXX

本不等式

〃幻=-卜2幻+(-5，-"-2乒5-]=-2痣7有最大值,選

(13).函數(shù)”為=正生i的定義域?yàn)?

10g2(.v-l)

解：由題知：k)g2(x-l)*O,x-l>0,1x-2|-l>0;解得：X

23.

(20).(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(xxgv-M+m+Dx+i，其中〃為實(shí)數(shù)。

(I)已知函數(shù)73在x=l處取得極值，求°的值；

(II)已知不等式/(X)>f7-4+1對(duì)任意〃￡(0,+8)都成立，

求實(shí)數(shù)X的取值范圍。

解：⑴f\x)=ax2-3x+(a+\),由于函數(shù)/(幻在x=l時(shí)取得極

值，所以/(1)=0

即a-3+a+l=0,.*.a=1

(2)方法一

由題設(shè)知：0￥2一3工+(4+1)>/一工一4+1對(duì)任意aG(0,+00)

都成立

即a(x2+2)-丁-2x>0對(duì)任意a￡(0,+oo)都成立

設(shè)g(a)=a(x2-t-2)-x2-2x(aeR),則對(duì)任意xwR,g(。)為

單調(diào)遞增函數(shù)3eR)

所以對(duì)任意aw(0,go),g⑷>0恒成立的充分必要條件

是g(O)NO

即-X2-2X>0,：.-2<X<0,于是x的取值范圍是

{x|-2<x<0}

方法二

由題設(shè)知：加-3%+(〃+1)>/-工-4+1對(duì)任意aG(0,-Foo)都

成立

即a(x2+2)-一2x>0對(duì)任意a￡(0,+oo)都成立

于是心守對(duì)任意即(0,例)都成立，即之生"0

X2+2X2+2

：.-2<x<0,于是x的取值范圍是{x|-2WxW0}

二、北京試題

2.若4=2。$,b=logn3,c=log2sin^,貝！J()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>b

D.b>c>a

【標(biāo)準(zhǔn)答案】：A

3.“函數(shù)f(x)("R)存在反函數(shù)”是“函數(shù)/⑶在R上為增函數(shù)

的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【標(biāo)準(zhǔn)答案】：B

12.如圖，函數(shù)/⑶的圖象是折線段ABC,其中ABC的坐

標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則/(/(0))=

+?⑴二.(；

Ar->0Ar

【標(biāo)準(zhǔn)答案】：2-2

13.已知函數(shù)/(1)=%2一COSX,對(duì)于上的任意X］，X2,有如

下條件：

①%>工2；②考；③國(guó)>占,

其中能使/&)〉/(%)恒成立的條件序號(hào)是.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】：②

18.(本小題共13分)已知函數(shù)/(、)=盧彳，求導(dǎo)函數(shù)八x),

(X-1)

并確定了。)的單調(diào)區(qū)間.

5.函數(shù)/(x)=(x-l)2+l(x<l)的反函數(shù)為()

A./-'(x)=i+>/7^T(x>i)B./-,(x)=i-VT：T(x>i)

C.f-Xx）=\+4x^（x>i）D./■'（%）=i-V^T（x>i）

【答案】B

9.若角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸(1,-2),則或a的值為.

【答案】|

3

10.不等式三>1的解集是

x+2----------------

【答案】{x|x<-2}

已知函數(shù)/a)=/+/+3區(qū)+出力0),且以幻=)(幻-2是奇函數(shù).

(I)求a,c的值；

(II)求函數(shù)八幻的單調(diào)區(qū)間.

17.(共13分)

解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)ga)=/a)-2為奇函數(shù)，

所以，對(duì)任意的g(-x)=-g3,/(-x)-2=-/(%)+2.

又一(x)=丁+"2+36x+c所以-x3+ax2-3bx+c-2=-xi-ax2-3bx-c+2?

所以f二“。解得。=0,c=2.

c-2=-c+2.

(II)由(I)得/(幻=1+3法+2.所以r(x)=3/+3bSwO).

當(dāng)b<o時(shí),由r(%)=o得x=±j工?x變化時(shí)，r(?的變化情況如

下表：

X(-8,-4^)(-4-b^4~b)\f-b(V^,+8)

+0—0+

所以，當(dāng)b〈o時(shí)，函數(shù)/㈤在(-8,-Q)上單調(diào)遞增，在(-"Q)

上單調(diào)遞減，

在(口+00)上單調(diào)遞增.

當(dāng)b>0時(shí),r(x)>0,所以函數(shù)/a)在(F,+00)上單調(diào)遞增.

三、福建試題

⑷函數(shù)/(x)=d+sinx+1(尢￡R),若/(a)=2,則f(-a)的值為

A.3B.0c.-lD.-2

解：/?-1=x3+sinx為奇函數(shù)，又/⑷=2/./⑷-1=1

故f(-a)-1=-1即f(-a)=0.

(9)函數(shù)/(X)=COSX(XER)的圖象按向量(犯0)平移后，得到函

數(shù)y=-f(%)的圖象，

則力的值可以為

A.—B.乃C.—7：D.——

22

解：y=-f\x)=sinx,而f{x)=cosx(xeR)的圖象按向量(加,0)平

移后

得到y(tǒng)=cos(x-m),所以cos(x-m)=sinx,故加可以為

(12)已知函數(shù)y=/(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么

y=f(x),y=g(x)圖象可能是

解：從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)在與處斜率相同，可以

排除B答案，再者導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)

增加的快慢，可明顯看出尸/⑴的導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù),

所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來(lái)越慢，排除AC,最后就

只有答案D了，可以驗(yàn)證尸g(x)導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，

增加越來(lái)越快.

(19)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=^x3+x2-2.

(I)設(shè)｛q｝是正數(shù)組成的數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S.，其中％=3.

若點(diǎn)(M，d+](nWN*)在函數(shù)y=f'(x)的圖象上,求

證：點(diǎn)(〃,5〃)也在y=f\x)的圖象上；

(II)求函數(shù)/(幻在區(qū)間內(nèi)的極值.

解：(I)證明：因?yàn)?3=；7+/一2,所以/(%)=爐+2工，

由點(diǎn)—2?！?])(■eN+)在函數(shù)y=f'(x)的圖象

上，="+2%

(4+1+4)(。小一%)=2(%+%),又%>0(〃￡N+),

所以％”=2,｛叫是4=3,d=2的等差數(shù)列

所以Sa=3〃+〃(；"x2=??+方，又因?yàn)閒,(n)=n2+2n,所

以s“=r(〃)，

故點(diǎn)(〃,S“)也在函數(shù)y=f(x)的圖象上.

(II)解：f\x)=x2+2x=x(x+2),令f\x)=0,得x=OWU=-2.

當(dāng)x變化時(shí)，r(x)、/(X)的變化情況如下表：

X(--2(-2,0)0(0,+

°°,-2)8)

一(X)+0—0+

f(x)/極大值X極小值/

注意到|(〃-1)-同=1<2,從而

①當(dāng)a-1v-2＜a即-2a＜時(shí)f獺極大值為/(-2)=|-,此時(shí)/(%)

無(wú)極小值；

②當(dāng)a-lvOva即Ova＜時(shí)/3的極小值為/(0)=-2,此時(shí)/(x)

無(wú)極大值；

③當(dāng)-2或-IWoWO或時(shí)/⑸既無(wú)極大值又無(wú)極小值.

3

(4)函數(shù)f(x)=x+sinx+l(xGR),若/(a)=2,則f\-d)的值為

A.3B.0C.-1D.-2

解：f。)-1=V+sinx為奇函數(shù)，又/(a)=2,/(a)-l=l

故/(-tz)-l=-1即f(-a)=0.

(7)函數(shù)y=cosx(xwR)的圖象向左平移■個(gè)單位后，得到函數(shù)

y=g(x)的圖象，則g(x)的解析式為

A.—sinxB.sinxC.-cosx

D.cosx

解：y-W=cos(x+—)=-sinx

2

(11)如果函數(shù)y=F(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)y=f{x)

的圖象可能是

解：由原函數(shù)的單調(diào)性可以得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況依次是正

f負(fù)一正一負(fù)，只有答案A滿足.

（21）（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/3=X34-nvc24-MT-2的圖象過(guò)點(diǎn)（-1,-6）,且函數(shù)

g（x）=r（x）+6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

（I）求加、〃的值及函數(shù)產(chǎn)Hx）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若H>0,求函數(shù)尸Rx）在區(qū)間（丁1,尹1）內(nèi)的極值.

解：（21）本小題主要考察函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值、

導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方

法，以及分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分

析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.滿分12分.

解：（1）由函數(shù)f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（—1,—6）,得ZZTZF-3,...

①

由f{x}-x^mx+z?%-2,得（x）=3丁+2%x+力，

貝（I（x）+6產(chǎn)3*+（2研6）廣〃；

而g（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以一普=0,所以爐-3,

2x3

代入①得27=0.

于是，（x）=3丁-6萬(wàn)3x（『2）.

由f'（x）>得x>2或水0,

故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）,（2,+8）；

由戶（%）<0得0<K2,

故Hx）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,2）.

（II）由（I）得，（x）=3x（『2）,

令F/(x)=0得A=0或產(chǎn)2.

當(dāng)x變化時(shí)，F(xiàn)，(x)、Ax)的變化情況如下表:

(2,+

X(-8.0)0(0,2)2

OO)

a(X)+0—0+

極大值極小值

由此可得：

當(dāng)0<a<l時(shí)，Ax)在(3-1,K1)內(nèi)有極大值人。)=-2,無(wú)極

小值；

當(dāng)年1時(shí)，F(xiàn)(x)在(kl,a+l)內(nèi)無(wú)極值；

當(dāng)1〈水3時(shí)，f(x)在(才1,乃+1)內(nèi)有極小值『(2)=—6,無(wú)

極大值；

當(dāng)a23時(shí)，F(xiàn)(x)在(/1,廣1)內(nèi)無(wú)極值.

綜上得：當(dāng)0<水1時(shí)，f(x)有極大值-2,無(wú)極小值，當(dāng)1〈水3

時(shí)，Hx)有極小值-6,無(wú)極大值；當(dāng)且口或時(shí)，F(xiàn)(x)

無(wú)極值.

四、廣東試題

7.設(shè)QER,若函數(shù)y=*+3x,xeR有大于零的極值點(diǎn)，則

(B)

A.u>—3B?ci<—3C?ci>—D?ci<—

33

【解析】/(乃=3+〃*,若函數(shù)在xsR上有大于零的極值點(diǎn)，

即八幻=3+〃*=0有正根。當(dāng)有尸(x)=3+ae"=0成立時(shí),顯然有

〃<0,此時(shí)x=-ln(--),由x>0我們馬上就能得到參數(shù)〃的范

aa

圍為av-3.

12.已知函數(shù)/(x)=(sinx-cosx)sinx,XGR,則/(x)的最小正周

期是.

【解析】/(x)=sin2x-sinxcosx=^~C0S^X--sin2x，此時(shí)可得函數(shù)的

22

最小正周期r=空”。

2

14.(不等式選講選做題)已知awR,若關(guān)于x的方程

x2+x++同=0有實(shí)根，則a的取值范圍是.

【解析】方程即+時(shí)=-2_]￡[04，利用絕對(duì)值的幾何意義

44

(或零點(diǎn)分段法進(jìn)行求解)可得實(shí)數(shù)。的取值范圍為限。

_4_

19.(本小題滿分14分)

、3系法[―-X<1注

設(shè)ZtR,函數(shù)=,F(x)=f{x)-kx,XGR,試

—yjx—l,X21

討論函數(shù)尸(x)的單調(diào)性.

【解析】尸(=X)-J1詼"‘X)"<

[-4-1-走,

——!~~7-欠，X<1,

尸G(/X)、=j(D?

------/一k,1,

對(duì)于/(x)=—!—-Ax(x<l),

\-x

當(dāng)&K0時(shí)，函數(shù)F(x)在(3,1)上是增函數(shù)；

當(dāng)%>0時(shí),

上是增函數(shù);

對(duì)于F(x)=---J=-A(x>l),

2VT-1

當(dāng)Z20時(shí)，函數(shù)F(x)在［1,+00)上是減函數(shù)；

當(dāng)Z<0時(shí)，函數(shù)尸㈤在1,1+*)上是減函數(shù)，在1+*，+8

上是增函數(shù)。

5.已知函數(shù)/(%)=(1+8$2幻$山晨,工￡/?,貝(1/(幻是()

A、最小正周期為〃的奇函數(shù)B、最小正周期為工

2

的奇函數(shù)

C、最小正周期為乃的偶函數(shù)D、最小正周期為王的

2

偶函數(shù)

2222

【解析】f(x)=(1+cos2x)sinx=2cosxsinx=—sin2x=--人,選p

8.命題“若函數(shù)了(外=陶%3>0,〃工1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，

則1皿2<0"的逆否命題是()

A、若logfl2>0,則函數(shù)/(刈=108“尢(。>。,。工1)在其定義域內(nèi)不

是減函數(shù)

B、若log02Vo,則函數(shù)f(x)=log“x(a>0MHl)在其定義域內(nèi)不

是減函數(shù)

C、若砥2",則函數(shù)/(x)=log〃Ma>0,"l)在其定義域內(nèi)是

減函數(shù)

D、若loga2<0,則函數(shù)/(x)=log,>OMH1)在其定義域內(nèi)是

減函數(shù)

【解析】考查逆否命題，易得答案A.

9、設(shè)aeR,若函數(shù)y=e'+or,xcR,有大于零的極值點(diǎn)，則

()

A、a<-[B、a>-\C、a<——D、a>——

ee

【解析】題意即,+〃=o有大于0的實(shí)根，數(shù)形結(jié)合令

X=短5=-〃，則兩曲線交點(diǎn)在第一象限，結(jié)合圖像易得

-a>[=>a<-\,選A.

10、設(shè)她￡火，若加|例>0,則下列不等式中正確的是()

A^b-a>0B、a34-Z?3<0C、a2-b2<0D、b+a>0

五、寧夏試題

1.已知函數(shù)y=2sin@r+0)@>0))在區(qū)間[0,2兀]的圖像如下：那

解：由圖象知函數(shù)的周期一，所以。子2

73-sin70_(B

)A—-TC.2

?2-COS210"

D.4

解.3—sin70_3-cos20_3-(2cos220_1)_2選C

?2-COS210-2-COS210~-2-cos210'

21.(本小題滿分12分)

設(shè)函數(shù)/(幻=辦+'7steZ),曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/⑵)處的切

線方程為產(chǎn)3.

(I)求f(x)的解析式：

(II)證明：函數(shù)尸/⑴的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求

其對(duì)稱中心；

(IID證明：曲線y='f(x)上任一點(diǎn)的切線與直線產(chǎn)1和直線

尸X所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

21.解：(I)f\x)=a-1,

(x+b)-

…1i9

2?+---=1,〃=一,

于是2了解得或\

八b=—L.o

a--------7=0，b=—?

(2+b)23

因a,beZ,故/*)=x+—.

x-1

(H)證明：已知函數(shù)乂=以必=」都是奇函數(shù).

X

所以函數(shù)g*)=X+!也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的

X

中心對(duì)稱圖形.而/⑴=x—l+_L+l,可知，函數(shù)g(x)的圖像

X-}

按向量0=(1,1)平移，即得到函數(shù)/(X)的圖像,故函數(shù)了(X)的

圖像是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱圖形.

(III)證明：在曲線上任取一點(diǎn)L，%+—L、.

由ra°)=i-7e知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為

Uo-1)'

XQ-XG+\

y-------；--

X0-1

—罟,切線與直線m交點(diǎn)為圖

令y=X得y=2/T,切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-l,2x0-1).

直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(L1).

從而所圍三角形的面積為g罟,2i信備2g=2.

所以，所圍三角形的面積為定值2.

24.(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)/(乃=k-8|-卜-4|,

(I)作出函數(shù)y=/(力的圖像;

(II)解不等式|工-8|-卜-4|>2.

解：

4,xW4,

(I)/(x)=<-2x+12,4Vx《8,

-4x>8.

圖像如下:

(II)不等式卜-8|-卜-4|>2,即/*)>2,

由-2x+12=2得x=5.

由函數(shù)/*)圖像可知，原不等式的解集為(—8,5).

4、設(shè)/⑶=xlnx,若.(%)=2,則m=()

A.e2B.eC,電2D.In2

2

【標(biāo)準(zhǔn)答案】B

【試題解析】?*/(x)=xlnx:./(x)=Inx+x?—=lnx+l

X

???由/.)=2得In/+1=2:.xQ=e9選B

11、函數(shù)f(%)=cos2x+2sinx的最小值和最大值分別為()

A.-3,1B.-2,2C.-3,-D.

2

-2,1

2

【標(biāo)準(zhǔn)答案1C

z［、2a

【試題解析】：丁/(x)=l-2sin2?r+2sinx=-2sinx——IH?一

<2)2

???當(dāng)sinx=g時(shí)，幾x(“="|，當(dāng)sinx=-l時(shí)，Zin(x)=-3；故選

C；

21、(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)個(gè))=如〃，曲線尸/(幻在點(diǎn)

X

(2J⑵)處的切線方程為

7x-4y-12=0。(1)求丫=f(x)的解析式；(2)證明：曲線y=f(x)

上任一直處的

切線6直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，

并求此定值。

21.【試題解析】1)方程7x-4y-12=0可化為廣人-3,當(dāng)

4

x=2時(shí)，y=g；

2Ca—b=一1

又一“)=〃+上,于是//，解得：=，故4)*二

x'b7b=3x

a+—=—

44

(2)設(shè)尸(事,%)為曲線上任一點(diǎn)，由爐=1+3■知曲線在點(diǎn)

A

尸5,%)處的切線方程為

I%JIx"(X。1

令X=O,得丁=-9,從而得切線與直線x=。的交點(diǎn)坐標(biāo)為

X。

1。,-斗

令丫=%，得y=x=2不，從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(2%,2%)；

所以點(diǎn)尸伍,%)處的切線與直線x=O,y=x所圍成的三角形面積

為；與2%|=6;

故曲線廣/(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線.0,產(chǎn)x所圍成的三

角形面積為定值，此定值為6;

六、湖北試題

1.函數(shù)/'(工)」皿，？_3/+2+，一人一3%+4)的定義域?yàn)?/p>

x

A.(-oo,T⑵例)B.(-4,0)(0.1)

C.[-4,0)(0,1]D.[-4,0)(0,1)

解：函數(shù)的定義域必須滿足條件:

xwO

X2-3X+2>0

=>XG[-4,0)(0,1)

-x2-3x+4>0

yjx2-3x4-2+5/-x2-3x+4>0

5.將函數(shù)y=3sin(尢-6)的圖象Z7按向量g,3)平移得到圖象F,若

9的一條對(duì)稱軸是直線＞生，則夕的一個(gè)可能取值是

4

A.—7CB.--7TC.—7T

121212

D..-

12

解：平移得到圖象廣的解析式為y=3sin(x-。?)+3,

對(duì)稱軸方程x-0--=k7r+—(keZ)

329

把工=乙?guī)氲?。二一二?4二(一%—1)乃+且伏wZ),令后=-1,

41212

9=—71

12

7.若/(x)=-1x2+/?ln(x+2)在(-1,+8)上是減函數(shù)，則力的取值范圍

是

A.[―1,4-CO)B.(―1,+oo)C.(-00,-11D.

(-8,-1)

解：由題意可知/(X)=-X+—^<0,在X￡(-1,+OO)上怛成立，

即b<x(x+2)在xe(-1,+8)上怛成立，由于工工-1,所以64-1,

故C為正確答案.

8.已知機(jī)wN”,R,若lim"+")+"=匕，則

2。X

A.-mB.mC.-1D.1

解：Hm-+JHm(a+D+Cx+C%2+C學(xué)

XTO%.t->0x

=lim([—+能+C,3++CynA)=b

XTOX

:.a=-T,b=m=ab=-m

另外易知人T由洛必達(dá)法則lim(l+H+Jlim鞏1+x嚴(yán)=吁"

x-?OxXTOI

所以ab=-m

6.已知f(x)在7?上是奇函數(shù)，且

/(x+4)=f0),當(dāng)xe(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則〃7)=

A.-2B.2C.-98

D.98

解：由題設(shè)/(7)=/(3)=/(-I)=-/(l)=-2xl2=-2

7.將函數(shù)〉=而。-。)的圖象廠向右平移？個(gè)單位長(zhǎng)度得到圖象

F,若F'的一條對(duì)稱軸是直線行工則。的一個(gè)可能取值是

4

A.—71B.一~—7CC.—71

121212

D.

12

解：平移得到圖象廣的解析式為y=3sin(x-8-g)+3,

3

對(duì)稱軸萬(wàn)程x-0--=k/r+—(keZ),

32

把x=￡帶入得。二一上一ATT=(—%—1)乃+2伏wZ),令4=一1,

41212

0=—7T

12

8.函數(shù)f(x)=—1n(\Jx2-3x4-2)+\1-x2-3x+4的定乂域?yàn)?/p>

x

A.(-oo,-4][2,+oo)B.

(Y,0)50」)

C.[-4,0)(0,1]

D.[-4,0)50,1]

解：函數(shù)的定義域必須滿足條件：

xwO

—3x+2N0

j3i0_________nm。)(?！?

Q￡-3x+2+yj-x2—3x+4>0

13.方程二+/=3的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.

解：畫出y=2-x與y=37的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),故方程2一+-=3

的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為2個(gè)。

17.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)了（＞￥）=/+7nx_m2彳+1（勿為常數(shù)，且加＞0）有極大

值9.

（I）求力的值；

（II）若斜率為-5的直線是曲線），=/（此的切線，求此直線

方程.

解：（I）f'（x）=39+2加不一/2二（X+勿）（3x一%）=0,則尸一勿

或A=-/Z7,

3

當(dāng)X變化時(shí)，（X）與F（x）的變化情況如下表:

（―°°,(―(?"'+

X—m-1m

一勿）ID,-/n)3°°)

3

+0——0+

（X）

f極小

極大值

（X）值

從而可知，當(dāng)產(chǎn)一勿時(shí)，函數(shù)F（x）取得極大值9,

即F（一%）=一序+/+序+1=9,?,?勿=2.

（II）由（I）知，f（x）=x+2/—4^+1,

依題意知f\x）=3*+4x—4=-5,...x=—1或x=-

3

又〃-1）=6,f（T）=黑,

327

所以切線方程為y—6=-5（x+1）,或y—11=-5（x+

拉

即5x+y—l=0,或135x+27y—23=0.

19.（本不題滿分12分）

如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含

有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰

影部分），這兩欄的面積之和為18000cn）2,四

周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白

的寬度為5cm,怎樣確定廣告的高與寬的尺

寸（單位：cm）,能使矩形廣告面積最小?

解：

解法1：設(shè)矩形欄目的高為acm,寬為bcm,則^9000.

①

廣告的高為a+20,寬為2步25,其中5>0,Z?>0.

廣告的面積S=（芯20）（2護(hù)25）

=2a加40""25尹500=18500+25^+406

2

18500+2J25〃?4O。=18500+Jiooo"=24500.

當(dāng)且僅當(dāng)25a=406時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)代入①式

8

得才120,從而反75.

即當(dāng)走120,即75時(shí),S取得最小值24500.

故廣告的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使廣告的面

積最小.

解法2：設(shè)廣告的高為寬分別為xcm,ycm,則每欄的高和

寬分別為x—20,與竺，其中x>20,y>25

兩欄面積之和為2(x—20)匕生=18000，由此得

2

18000?

------+25,

x-20

廣告的面積S=孑X(更@+25)=幽2+25X,

x—20x—20

整理得S=3600004-25(x-20)+18500.

x-20

因?yàn)?-20>0,所以S'

x25(x-20)+18500=24500.

當(dāng)且僅當(dāng)合=25(、-2。)時(shí)等號(hào)成立,

此時(shí)有(才-20)2=14400(f>20),解得尸140,代入

產(chǎn)竺出+25,得y=175,

%-20

即當(dāng)二140,尸175時(shí),S取得最小值24500,

故當(dāng)廣告的高為140cm,寬為175cm時(shí)，可使廣告

的面積最小.

七、湖南試題

6.函數(shù)/(止sin*/3sin在區(qū)間(弓上的最大值是

()

A.1B.匕迫C.之D.1+V3

22

【答案】C

【解析】由/⑴=士警+當(dāng)法="皿21-芻,

2226

423oo22

13.設(shè)函數(shù)y=/(x)存在反函數(shù)y=L(x),且函數(shù)y=x-/(x)的圖

象過(guò)點(diǎn)(1,2),

則函數(shù)y=廣一)r的圖象一定過(guò)點(diǎn).

【答案】(-1,2)

【解析】由函數(shù)y=x-f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)得:/⑴=-1,即函

數(shù)y=/(X)過(guò)點(diǎn)(1,-1),則其反函數(shù)過(guò)點(diǎn)(-1,1),所以函數(shù)

丁=尸(幻7的圖象一定過(guò)點(diǎn)(-1,2).

14.已知函數(shù)/（乃=匹三（0工1）.

a-\

（1）若3>0,則/（幻的定義域是；

（2）若/（無(wú)）在區(qū)間（0』上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】卜8，T,（7,0）D（L3]

【解析】（1）當(dāng)a>0時(shí)，由3-依20得xw1所以f（x）的定義

（2）當(dāng)己>1時(shí)，由題意知1<d3；當(dāng)0<水1時(shí)，為

增函數(shù)，不合；

當(dāng)a<0時(shí)，/*）在區(qū)間（0』上是減函數(shù).故填

19.（本小題滿分13分）

在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為

警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)

得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)/北偏東45且與點(diǎn)力相距

40五海里的位置B,經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船*

已行駛到點(diǎn)A北偏東45+。（其中sine二堂,

26?--------

0<夕<90）且與點(diǎn)4相距109海里的位置C.

（I）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；

（II）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷

它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.

解：（I）如圖，AB=4。壺,AC=1OV13,

ZBAC=6>,sin<9=^—.

由于0<6><90，所以COS「二J—（嚕了

由余弦定理得

BC=\lAB2+AC2-2ABACcos6^=105/5.

所以船的行駛速度為挈=150（海里/

3

小時(shí)）.

（H）解法一如圖所示，以/為原點(diǎn)

建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)以C的坐標(biāo)分別是8（乂，乃），C（^,y2）,

BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，乂二力二3AB=40,

X2=ACCOSZCAD=10V13cos(45-<9)=30,

y2=/6§inNCAO=loVi5sin(45-19)=20.

所以過(guò)點(diǎn)反。的直線/的斜率A=^=2,直線/的方程

為『2尸40.

又點(diǎn)少（?！?5）到直線/的距離加句手=3石<7.

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

解法二：如圖所示，設(shè)直線力總與歐的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q

在△力阿中，由余弦定理得,

cosZ.ABC=

2ABBC

_好x2+102x5—IO?x13_3加

2x40^x10^10

從而sin/ABC=Vl-cos2ZABC

在AA3Q中，由正弦定理得,

40匹x回

ABsinZ.ABC

-----------10_=40.

sin(45-ZABC)yf22>/io

---X____

210

由于力田55〉40二力。，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)￡之間，且

QE=AE-AQ^15.

過(guò)點(diǎn)后作鰭18。于點(diǎn)只則班為點(diǎn)后到直線回的距離.

在Rt\QPE中,PE^QE9sinNPQE=QE.sinZAQC=QE-sin（45-NABC）

二15x咚=36<7.

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)?。?小加W

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若不等式(l+3"+"e對(duì)任意的〃wN*都成立(其中e是

n

自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

求a的最大值.

解：(I)函數(shù)/(X)的定義域是(-1,+8),

、21n(l+x)x2+2x2(l+x)ln(l+x)-x2-2x

J(x)=-----------------=-------------：--------.

1+x(1+x)2(l+x)2

設(shè)g(x)=2(1+x)ln(l+x)-x2-2x,貝!!g'(x)=2ln(l+%)-2x.

令h(x)=2ln(l+x)-2x,貝1]h\x)=———2=—

1+x1+x

當(dāng)-IvxvO時(shí),〃(x)>0,MO在(T,0)上為增函數(shù),

當(dāng)X>0時(shí)，/f(x)<O"(x)在(0,+oo)上為減函數(shù).

所以/?(x)在尸0處取得極大值，而力(0)=0,所以

g'(x)vO(x。。),

函數(shù)g(x)在(-l,+oo)上為減函數(shù).

于是當(dāng)T<x<0時(shí)，g(x)>g(O)=O,

當(dāng)X>0時(shí)，g(x)<g(O)=O.

所以,當(dāng)-IvxvO時(shí),r(x)>OJ(x)在(-1,0)上為

增函數(shù).

當(dāng)X>0時(shí)，r(x)<0,“X)在(0,+8)上為減函數(shù).

故函數(shù)/⑴的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞減

區(qū)間為(0,”).

(II)不等式(1+與+”e等價(jià)于不等式(〃+a)]n(l+3.由1+，>1

nnn

知，

a<--------n.設(shè)…而奇g,X￡(O,l],則

ln(l+-)

n

--------+g=(1：幻"1廣)-?

(l+x)ln-(l+x)x2x2(l+x)ln2(l+x)

由(I)知,In2(1+x)-—<0,EP(1+x)In2(1+x)-x2<0.

1+x

所以G（x）＜0,于是G（X）在（0,1］上為減函數(shù).

故函數(shù)G（X）在（0』上的最小值為G⑴=+-1.

所以H的最大值為-L-1.

In2

4.函數(shù)f（x）=/avo）的反函數(shù)是（）

A.f-[(x)=Vx(x>0)B.f-}(x)=-4x(x>0)

C.f-1(x)=-4^x(x<0)D.f-[(x)=-x2(x<0)

【答案】B

6.下面不等式成立的是（）

A.log32<log23<log25B.log32<log25<log23

C.log23<log32<log25D.log23<log,5<log32

【答案】A

【解析】由Iog32vl<log23vk)g25,故選A.

21.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)。

42

（I）證明：-27vcv5;

（II）若存在實(shí)數(shù)C,使函數(shù)/（幻在區(qū)間［%,+2］上單調(diào)遞減,

求a的取值范圍。

解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)=+有三個(gè)極值點(diǎn)，

42

所以fXx)=x3+3x2-9x+c=0W二個(gè)互異的實(shí)根.

設(shè)^(x)=x3+3X2-9X+C,貝?。輌'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-l),

當(dāng)％<-3時(shí)，g\x)>0,g(x)在(-oo,-3)上為增函數(shù)；

當(dāng)-3<%<1時(shí)，gXr)vO,g(x)在(-3,1)上為減函數(shù)；

當(dāng)4>1時(shí)，>0,g(x)在(l,+oo)上為增函數(shù)；

所以函數(shù)g*)在工=-3時(shí)取極大值，在x=l時(shí)取極小值.

當(dāng)g(-3)40或g(l)N0時(shí),g(x)=0最多只有兩個(gè)不同實(shí)根.

因?yàn)間(x)=0有三個(gè)不同實(shí)根，所以g(-3)>0且g⑴<0.

SP-27+27+27+00,且1+3-9+cvO,

解得。>一27,且c<5,