2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解三角形1.1正弦定理鞏固提升訓(xùn)練含解析北師大版必修5

PAGEPAGE11.1正弦定理[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．在△ABC中，若eq\r(3)a＝2bsinA，則B＝()A.eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)解析：選C.由正弦定理，得eq\r(3)sinA＝2sinBsinA，所以sinA(2sinB－eq\r(3))＝0.因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).2．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，對(duì)應(yīng)的三邊之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B．eq\r(3)∶2∶1C.eq\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶1解析：選D.因?yàn)锳∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，所以a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)＝2∶eq\r(3)∶1.3．符合下列條件的△ABC有且只有一個(gè)的是()A．a(chǎn)＝1，b＝eq\r(2)，A＝30° B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3C．b＝c＝1，B＝45° D．a(chǎn)＝1，b＝2，A＝100°解析：選C.對(duì)于A，由正弦定理得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(2),sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2).又a<b，所以B＝45°或135°，所以滿意條件的三角形有兩個(gè)．對(duì)于B，a＋b＝c，構(gòu)不成三角形．對(duì)于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以滿意條件的三角形只有一個(gè)．對(duì)于D，a<b，所以A<B，而A＝100°，所以沒(méi)有滿意條件的三角形．4．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，則△ABC的形態(tài)是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：選D.將a＝2RsinA，b＝2RsinB(R為△ABC外接圓的半徑)代入已知條件，得sin2AtanB＝sin2BtanA，則eq\f(sin2AsinB,cosB)＝eq\f(sinAsin2B,cosA).因?yàn)閟inAsinB≠0，所以eq\f(sinA,cosB)＝eq\f(sinB,cosA)，所以sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，故△ABC為等腰三角形或直角三角形．5．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)的值為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．eq\r(2)解析：選D.由正弦定理，得sin2AsinB＋sinBcos2A＝eq\r(2)sinA，即sinB·(sin2A＋cos2A)＝eq\r(2)sinA.所以sinB＝eq\r(2)sinA．所以eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\r(2).6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長(zhǎng)等于__________．解析：由三角形內(nèi)角和定理知：A＝75°，由邊角關(guān)系知B所對(duì)的邊b為最小邊，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)7．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，則cosB＝________．解析：在△ABC中，因?yàn)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(5),2)b，,A＝2B，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(\r(5),2)sinB，,sinA＝sin2B＝2sinBcosB，))所以cosB＝eq\f(\r(5),4).答案：eq\f(\r(5),4)8．△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝eq\r(3)，則c∶sinC等于________．解析：由題意得cos2B－3cosB＋2＝0，即2cos2B－3cosB＋1＝0，解得cosB＝eq\f(1,2)或cosB＝1(舍去)，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，由正弦定理得eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2.答案：29．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C的大?。猓河葿＝π－(A＋C)，得cosB＝－cos(A＋C)．于是cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC．所以sinAsinC＝eq\f(1,2).①由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC．②由①②得sin2C＝eq\f(1,4)，于是sinC＝－eq\f(1,2)(舍去)或sinC＝eq\f(1,2).又a＝2c，所以C＝eq\f(π,6).10．在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，試推斷△ABC的形態(tài)．解：由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，得a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]，所以a2·cosAsinB＝b2sinAcosB．由正弦定理，得sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB.因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以sinA>0，sinB>0，0<2A<2π，0<2B<2π，所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．[B實(shí)力提升]11．滿意B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一個(gè)，則k的取值范圍是()A．k＝8eq\r(3) B．0<k≤12C．k≥12 D．0<k≤12或k＝8eq\r(3)解析：選D.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，首先求出另一邊的對(duì)角的正弦值，由正弦值求角時(shí)，需對(duì)角的狀況進(jìn)行探討：當(dāng)AC<BCsinB，即12<ksin60°，即k>8eq\r(3)時(shí)，三角形無(wú)解；當(dāng)AC＝BCsinB，即12＝ksin60°，即k＝8eq\r(3)時(shí)，三角形有一解；當(dāng)BCsinB<AC<BC，即eq\f(\r(3),2)k<12<k，即12<k<8eq\r(3)時(shí)，三角形有兩解；當(dāng)0<BC≤AC，即0<k≤12時(shí)，三角形有一解．綜上，0<k≤12或k＝8eq\r(3)時(shí)，三角形有一解．12．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)，則角A的大小為_(kāi)_________．解析：由1＋eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(2c,b)可得1＋eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(2c,b)，由正弦定理可得1＋eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(2sinC,sinB)整理得eq\f(sinAcosB＋cosAsinB,cosAsinB)＝eq\f(2sinC,sinB)，所以sin(A＋B)＝2sinCcosA，所以cosA＝eq\f(1,2)，又因?yàn)?<A<π，所以A＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知asin2B＝eq\r(3)bsinA.(1)求B；(2)若cosA＝eq\f(1,3)，求sinC的值．解：(1)在△ABC中，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得asinB＝bsinA，又由asin2B＝eq\r(3)bsinA，得2asinBcosB＝eq\r(3)bsinA＝eq\r(3)asinB，所以cosB＝eq\f(\r(3),2)，得B＝eq\f(π,6).(2)由cosA＝eq\f(1,3)，可得sinA＝eq\f(2\r(2),3)，則sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＝eq\f(2\r(6)＋1,6).14．(選做題)在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)試確定△ABC的形態(tài)；(2)求eq\f(a＋c,b)的取值范圍．解：(1)在△ABC中，設(shè)其外接圓半徑為R，依據(jù)正弦定理得，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，代入eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，得eq\f(a＋b,a)＝eq\f(b,b－a)，所以b2－a2＝ab.①因?yàn)閏os(A－B)＋cosC＝1－cos2C，所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝2sin2C，所以sinAsinB＝sin2C.由正弦定理，得eq\f(a,2R)·eq\f(b,2R)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2R)))eq\s\up12(2)，所以ab＝c2.②把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.所以△ABC是直角三角形．(2)由第一問(wèn)知B＝eq\f(π,2)，所以A＋C＝eq\f(π,2)，所以C＝eq\f(π,2)－A.所以sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝cosA.依據(jù)正弦定理，得eq\f(a＋c,b)＝eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,