山西省太原市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

～學(xué)年第一學(xué)期高二年級期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷（考試時間：上午：—：）說明：本試卷為閉卷筆答，答題時間分鐘，滿分分.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）【答案】D【解析】【詳解】試題分析：的焦點坐標(biāo)為，故選D.【考點】拋物線的性質(zhì)【名師點睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)是我們要重點掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．2.雙曲線的頂點坐標(biāo)為（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解.可知雙曲線焦點在軸上，的頂點坐標(biāo)為，.故選：B.3.已知拋物線以圓的圓心為焦點，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）AB.C.D.第1頁/共17頁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得到圓心為，可得，再利用標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，即可求解.【詳解】因為的圓心為，所以，得到，又焦點在軸的正半軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D.4.已知雙曲線的一個焦點為，其離心率，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由條件求得，再根據(jù)焦點位置確定漸近線方程．【詳解】由題意，，，所以，焦點在軸，則漸近線方程為，故選：A．5.已知雙曲線C以橢圓方程E：EC的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出橢圓的頂點和焦點，即可得出雙曲線方程.【詳解】∵橢圓方程E：的焦點坐標(biāo)為，，上、下頂點為，.第2頁/共17頁∴設(shè)雙曲線方程C：，則，，∴設(shè)雙曲線方程C：故選：C.6.已知點P是拋物線上一點，則點P到直線的距離的最小值為（）A.B.2C.D.【答案】A【解析】P在拋物線解.【詳解】∵點P在拋物線上，∴設(shè)，∴點到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.點P到直線距離的最小值為.故選：A.7.已知直線與雙曲線相交于、是的中點，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第3頁/共17頁【分析】利用點差法可求得，結(jié)合可得出雙曲線的離心率的值.【詳解】設(shè)點、，由題意可得，因為點是的中點，則，因為，這兩個等式作差可得，所以，，因此，雙曲線的離心率為.故選：D.8.古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯編》中對圓錐曲線給出了統(tǒng)一定義，即到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線.當(dāng)時，軌跡為橢圓；當(dāng)時，軌跡為拋物線；當(dāng)k的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】把方程化為點到定點的距離與到定直線距離之比的形式后，由定義可得．【詳解】由得，即，該方程表示雙曲線，則，解得，故選：B．二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共分.在每小題給出的四個選項中，有多第4頁/共17頁項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，，雙曲線：與：，則下列結(jié)論正確的是（）A.它們的實軸長相等B.它們的焦點相同C.它們的離心率相等D.它們的漸近線相同【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程一一求出它們的實軸長、焦點位置、離心率和漸近線方程即可判斷各選項．【詳解】對于A，由題意可知雙曲線的長軸長均為，所以它們的實軸長相等，故A正確；對于B，雙曲線的焦點分別在軸和y軸上，所以它們的焦點不相同，故B錯誤；對于C，雙曲線的焦距均為，所以它們的離心率均為，即它們的離心率相等，故C正確；對于D，雙曲線的漸近線分別為和，所以當(dāng)即時，它們的漸近線不相同，故D錯誤.故選：AC．10.已知直線l：，拋物線C：，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線l過定點B.當(dāng)時，直線l與拋物線C相切C.當(dāng)時，直線l與拋物線C有兩個公共點D.當(dāng)直線l與拋物線C無公共點時，或【答案】BD【解析】AC組，由方程組的解的情況判斷BD．【詳解】選項A，因為，因此不是直線所過定點，A錯；選項B，第5頁/共17頁，又直線與拋物線的對稱軸不平行，所以直線與拋物線相切，切點為，B正確；選項C，時，直線方程為，它與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個公共點，C錯；選項D，得，由，得或，D正確．故選：BD．平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年法國天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知平面直角坐標(biāo)系中，，，動點P滿足，記動點P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線C關(guān)于原點對稱B.點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為C.面積的最大值為2D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】利用對稱性判斷A，結(jié)合曲線方程判斷BC，利用平面幾何性質(zhì)及對勾函數(shù)性質(zhì)求解判斷D．【詳解】設(shè)，由題意，變形得，點代入有，所以點為關(guān)于原點對稱的點，也在曲線上，即曲線關(guān)于原點對稱，A對，曲線方程整理為，令，則，此關(guān)于的方程有實數(shù)解，則，又，即方程有非負(fù)數(shù)解，所以，解得，當(dāng)時，，即和是曲線上的點，第6頁/共17頁所以橫坐標(biāo)范圍是，B錯，選項C，曲線方程整理為，因此，解得，時，，時,，即點在曲線上，所以，C正確；選項D，首先，當(dāng)是中點時，，，不妨設(shè)，則，，，，解得，，由對稱性得，，記，則，，由對勾函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時，，時，，所以，D正確．故選：ACD．所在的曲線方程有，應(yīng)用方程及函數(shù)思想為關(guān)鍵.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.拋物線的準(zhǔn)線方程是___________________.【答案】【解析】【分析】將化成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的性質(zhì)求解即可．【詳解】由得：，所以，即：第7頁/共17頁所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：．【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．13.已知過拋物線C：（）的焦點F且斜率為的直線與C相交于AB兩個不同點，若，則（O是坐標(biāo)原點）的面積為__________.【答案】1【解析】方程為結(jié)合弦長公式求得，再求出到直線的距離后，由面積公式計算．【詳解】由題意，直線方程為，設(shè)，由得，所以，又，所以，解得方程為，所以到直線的距離為，，故答案為：1.第8頁/共17頁14.已知雙曲線E：的左焦點為F，點M是E右支上的動點，點N是圓上的動點，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合雙曲線的定義與三角形三邊關(guān)系可得，再根據(jù)定點到圓上一動點的距離最值的解法即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線E：的右焦點為，則，.由雙曲線定義可得，即.，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取得最大值.∵點N是圓上的動點，∴圓心設(shè)為，半徑，，.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.（1）已知拋物線C經(jīng)過點，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)；第9頁/共17頁（2）已知雙曲線C經(jīng)過點，，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo).【答案】（1）標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點坐標(biāo)為或，焦點坐標(biāo)為2），其焦點坐標(biāo)為.【解析】1xy數(shù)值，得結(jié)論；（2）根據(jù)焦點在x軸上，或在y軸上分類討論設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標(biāo)求得參數(shù)值，得結(jié)論；1）由題意知拋物線的焦點在x軸正半軸上，或在y軸正半軸上.當(dāng)焦點在x軸正半軸上時，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，∴.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點坐標(biāo)為.同理可得，當(dāng)焦點在y軸正半軸上時，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，∴.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點坐標(biāo)為.（2）當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為（，由得，∴，焦點坐標(biāo)為.當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為（，第10頁/共17頁因無解，所以雙曲線的焦點在y軸上不成立.綜上，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點坐標(biāo)為.16.已知點在拋物線C：（）上，且點P到C的準(zhǔn)線的距離為2.（1）求C的方程；（2）設(shè)圓與拋物線C相交于A，B兩個不同點，求的值.【答案】（1）（2）【解析】1）由拋物線的定義求得，得拋物線方程；（2）圓方程與拋物線方程聯(lián)立，求得交點坐標(biāo)后可得兩點間距離．【小問1詳解】由題意得，∴，∴拋物線C的方程為.【小問2詳解】設(shè)，，由得，解得或當(dāng)時，則，∴.17.已知點，，動點P滿足，記點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程，并說明曲線C的形狀；第11頁/共17頁（2）若雙曲線E的右焦點是曲線C的對稱中心，其漸近線是曲線C的切線，求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】（1），曲線C是以為圓心，為半徑的圓（2）【解析】1）設(shè)，根據(jù)兩點間距離公式得到方程，化簡即可求解.（21E的方程為（，雙曲線漸近線方程，即可求解.【小問1詳解】設(shè)，由題意得，化簡并整理可得曲線C的方程，∴曲線C是以為圓心，為半徑的圓.【小問2詳解】由（1）可設(shè)雙曲線E的方程為（，，圓心到雙曲線E的漸近線的距離，∴，，∴雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.已知點，PM與PN相交于點PP的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：交曲線C于A，B兩點，點（不在直線lk，使得直線QA與QB的斜率之和為0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（）第12頁/共17頁（2）存在實數(shù)，理由見解析【解析】1）設(shè)，運用直線的斜率公式，結(jié)合題意化簡可得曲線C的方程；（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使得直線QA與QB的斜率之和為0.設(shè)，，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程、消元、利用韋達定理得到直線與雙曲線交點坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再結(jié)合斜率公式與求解即可.【小問1詳解】設(shè)，由題意得直線PM斜率為（直線PN斜率為（∴，化簡，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程（）.【小問2詳解】假設(shè)存在實數(shù)k，使得直線QA與QB的斜率之和為0.設(shè)，，由得，∴，.∵，∴，∴，∴，第13頁/共17頁∴，∴或，當(dāng)時，直線l的方程為，即l過點Q，不符合題意；當(dāng)時，則，，，符合題意；綜上所述，存實數(shù).【點睛】方法點睛：直線與雙曲線的綜合應(yīng)用的解題通法為：聯(lián)立方程組、消元、利用韋達定理得到直線與雙曲線交點坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再結(jié)合題中已知條件求解即可.19.C的一個焦點P過另一個焦點，且橢圓在點P處的切線l與的平分線lC的中心為坐標(biāo)原點O，左、右頂點分別為A，B，焦點為，.由發(fā)出的光線經(jīng)橢圓C兩次反射后回到所經(jīng)過的路程為8c.過點作直線l的垂線，垂足為D，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)點P，A，B不共線時，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，求實數(shù)n的取值范圍；（3）過點的直線與橢圓C交于M，N兩點（均與A，BAM交直線于點G，證明：B，N，G三點共線.【答案】（1）第14頁/共17頁（2）（3）證明見解析【解析】1交的延長線于點Q解橢圓方程；（2）設(shè)（，根據(jù)橢圓的范圍即可求解；（3）設(shè)直線MN的方程為，，，求出，的坐標(biāo)，即可證明.【小問1詳解】由題意設(shè)橢圓C的方程（，∴.如圖所示，延長交的延長線于點Q，由直線l＇平分，且，∴.∵，∴.∵，∴，∴，∴，，，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題意設(shè)（得，第15頁