高中物理題型解題技巧之電磁學(xué)篇10 數(shù)學(xué)圓法巧解磁場中的臨界問題（原卷版）

學(xué)而優(yōu)教有方高中物理解題技巧之電磁學(xué)篇10數(shù)學(xué)圓法巧解磁場中的臨界問題一.應(yīng)用技巧1.“放縮圓”法適用條件速度方向一定，大小不同粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑隨速度的變化而變化軌跡圓圓心共線如圖所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度v越大，運(yùn)動半徑也越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直初速度方向的直線PP′上界定方法以入射點(diǎn)P為定點(diǎn)，圓心位于PP′直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法【例】如圖所示，一束電子以大小不同的速率沿圖示方向垂直飛入橫截面是一正方形的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，下列判斷正確的是()A．電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長，其軌跡線越長B．電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間越長，其軌跡線所對應(yīng)的圓心角越大C．在磁場中運(yùn)動時(shí)間相同的電子，其軌跡線不一定重合D．電子的速率不同，它們在磁場中運(yùn)動時(shí)間一定不相同2.“旋轉(zhuǎn)圓”法適用條件速度大小一定，方向不同粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時(shí)，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若射入初速度為v0，則圓周運(yùn)動半徑為R＝eq\f(mv0,qB)。如圖所示軌跡圓圓心共圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入射點(diǎn)P為圓心、半徑R＝eq\f(mv0,qB)的圓上界定方法將一半徑為R＝eq\f(mv0,qB)的圓以入射點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法【例】如圖所示為圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，邊界跟y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O。O點(diǎn)處有一放射源，沿紙面向各方向射出速率均為v的某種帶電粒子，帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑是圓形磁場區(qū)域半徑的兩倍。已知該帶電粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，不考慮帶電粒子的重力。(1)推導(dǎo)帶電粒子在磁場空間做圓周運(yùn)動的軌跡半徑；(2)求帶電粒子通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角。3.“平移圓”法【例】如圖所示，在直角三角形ABC內(nèi)充滿垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(圖中未畫出)，AB邊長度為d，∠B＝eq\f(π,6)。現(xiàn)垂直AB邊射入一群質(zhì)量均為m、電荷量均為q、速度大小均為v(未知)的帶正電粒子，已知垂直AC邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為t，而運(yùn)動時(shí)間最長的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為eq\f(4,3)t(不計(jì)粒子重力)。則下列說法正確的是()A．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期為4tB．該勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為eq\f(πm,2qt)C．粒子在磁場中運(yùn)動的軌跡半徑為eq\f(2,5)dD．粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為eq\f(\r(3)πd,7t)二、實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用(應(yīng)用技巧解題，提供解析僅供參考)1．如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，P為磁場邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為（）A．∶2 B．∶1 C．∶1 D．3∶2．一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子，在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計(jì)粒子之間的相互作用。在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子，其運(yùn)動時(shí)間為（）A． B． C． D．3．真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）A． B． C． D．4．直線OM和直線ON之間的夾角為30°，如圖所示，直線OM上方存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q（q>0）。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM上的某點(diǎn)向左上方射入磁場，速度與OM成30°角。已知該粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場。不計(jì)重力。粒子離開磁場的出射點(diǎn)到兩直線交點(diǎn)O的距離為（）A． B． C． D．5．利用如圖所示裝置可以選擇一定速度范圍內(nèi)的帶電粒子．圖中板MN上方的感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，板上兩條寬度分別為2d和d的縫，兩縫近端相距為L．一群質(zhì)量為m、電荷為q，具有不同素的的粒子從寬度為2d的縫垂直于板MN進(jìn)入磁場，對于能夠從寬度d的縫射出的粒子，下列說法正確的是A．粒子帶正電B．射出粒子的最大速度為C．保持d和L不變，增大B，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大D．保持d和B不變，增大L，射出粒子的最大速度與最小速度之差增大6．如圖所示，S處有一電子源，可向紙面內(nèi)任意方向發(fā)射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長度L=9.1cm，中點(diǎn)O與S間的距離d＝4.55cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2.0×10－4T，電子質(zhì)量m＝9.1×10－31kg，電荷量e＝－1.6×10－19C，不計(jì)電子重力．電子源發(fā)射速度v＝1.6×106m/s的一個(gè)電子，該電子打在板上可能位置的區(qū)域的長度為l，則A．θ＝90°時(shí)，l＝9.1cm B．θ＝60°時(shí)，l＝9.1cmC．θ＝45°時(shí)，l＝4.55cm D．θ＝30°時(shí)，l＝4.55cm．7．在直角坐標(biāo)系中，有一半徑為的圓形磁場區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向垂直于平面指向紙面外，該區(qū)域的圓心坐標(biāo)為，如圖所示。有一個(gè)負(fù)離子從點(diǎn)沿軸正向射入第I象限，若負(fù)離子在該磁場中做一個(gè)完整圓周運(yùn)動的周期為，則下列說法正確的是（）A．若負(fù)離子在磁場中運(yùn)動的半徑為，則負(fù)離子能夠經(jīng)過磁場圓心坐標(biāo)B．若負(fù)離子在磁場中運(yùn)動的半徑為，則負(fù)離子在磁場中的射入點(diǎn)與射出點(diǎn)相距最遠(yuǎn)C．若負(fù)離子能夠過磁場圓心坐標(biāo)，則負(fù)離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為D．若負(fù)離子在磁場中的射入點(diǎn)與射出點(diǎn)相距最遠(yuǎn)，則負(fù)離子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間8．如題圖，直角三角形ABC區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），AC邊長為l，為，一群比荷為的帶負(fù)電粒子以相同速度從C點(diǎn)開始一定范圍垂直AC邊射入，射入的粒子恰好不從AB邊射出，已知從BC邊垂直射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間為，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子所用時(shí)間為，則（）A．磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．粒子運(yùn)動的軌道半徑為C．粒子射入磁場的速度大小為D．粒子在磁場中掃過的面積為9．如圖所示，半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)分布著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，半圓的左邊垂直x軸放置一粒子發(fā)射裝置，在的區(qū)間內(nèi)各處均沿x軸正方向同時(shí)發(fā)射出一個(gè)帶正電粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為q、初速度均為v，粒子重力以及粒子之間的相互作用忽略不計(jì)，所有粒子均能穿過磁場到達(dá)y軸，其中最后到達(dá)y軸的粒子比最先到達(dá)y軸的粒子晚時(shí)間，則（）A．粒子到達(dá)y軸的位置一定各不相同B．磁場區(qū)域半徑R應(yīng)滿足C．從x軸入射的粒子最先到達(dá)y軸D．，其中角的弧度值10．如圖所示，半徑分別為R和2R的同心圓處于同一平面內(nèi)，O為圓心，兩圓形成的圓環(huán)內(nèi)有垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場（圓形邊界處也有磁場），磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，一質(zhì)量為m、電荷量為的粒子由大圓上的A點(diǎn)以速率沿大圓切線方向進(jìn)入磁場，不計(jì)粒子的重力，下列說法正確的是（）A．帶電粒子從A點(diǎn)出發(fā)第一次到達(dá)小圓邊界上時(shí)，粒子運(yùn)動的路程為B．經(jīng)過時(shí)間，粒子第1次回到A點(diǎn)C．運(yùn)動路程時(shí)，粒子第5次回到A點(diǎn)D．粒子不可能回到A點(diǎn)11．如圖所示，直角三角形區(qū)域內(nèi)有一方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的勻強(qiáng)磁場。，，在點(diǎn)有一個(gè)粒子源，可以沿方向發(fā)射速度大小不同的帶正電的粒子。已知粒子的比荷均為，不計(jì)粒子間相互作用及重力，則下列說法正確的是（）A．隨著速度的增大，粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間變小B．隨著速度的增大，粒子射出磁場區(qū)域時(shí)速度的偏向角越大C．從邊射出的粒子的最大速度為D．從邊射出的粒子，在磁場中的運(yùn)動時(shí)間為12．如圖所示，在勻強(qiáng)磁場中附加另一勻強(qiáng)磁場，附加磁場位于圖中陰影區(qū)域，附加磁場區(qū)域的對稱軸與垂直.a、b、c三個(gè)質(zhì)子先后從點(diǎn)沿垂直于磁場的方向攝入磁場，它們的速度大小相等，b的速度方向與垂直，a、c的速度方向與b的速度方向間的夾角分別為，且.三個(gè)質(zhì)子經(jīng)過附加磁場區(qū)域后能到達(dá)同一點(diǎn)，則下列說法中正確的有A．三個(gè)質(zhì)子從運(yùn)動到的時(shí)間相等B．三個(gè)質(zhì)子在附加磁場以外區(qū)域運(yùn)動時(shí)，運(yùn)動軌跡的圓心均在軸上C．若撤去附加磁場,a到達(dá)連線上的位置距點(diǎn)最近D．附加磁場方向與原磁場方向相同13．如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)有一粒子源，能向坐標(biāo)平面一、二象限內(nèi)發(fā)射大量質(zhì)量為、電量為的正粒子（不計(jì)重力），所有粒子速度大小相等。圓心在，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，有垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為。磁場右側(cè)有一長度為，平行于軸的光屏，其中心位于。已知初速度沿軸正向的粒子經(jīng)過磁場后，恰能垂直射在光屏上，則（

）A．粒子速度大小為B．所有粒子均能垂直射在光屏上C．能射在光屏上的粒子，在磁場中運(yùn)動時(shí)間最長為D．能射在光屏上的粒子初速度方向與軸夾角滿足14．某種離子診斷測量簡化裝置如圖所示。豎直平面內(nèi)存在邊界為矩形、方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，探測板平行于水平放置，能沿豎直方向緩慢移動且接地。a、b、c三束寬度不計(jì)、間距相等的離子束中的離子均以相同速度持續(xù)從邊界水平射入磁場，b束中的離子在磁場中沿半徑為R的四分之一圓弧運(yùn)動后從下邊界豎直向下射出，并打在探測板的右邊緣D點(diǎn)。已知每束每秒射入磁場的離子數(shù)均為N，離子束間的距離均為，探測板的寬度為，離子質(zhì)量均為m、電荷量均為q，不計(jì)重力及離子間的相互作用。(1)求離子速度v的大小及c束中的離子射出磁場邊界時(shí)與H點(diǎn)的距離s；(2)求探測到三束離子時(shí)探測板與邊界的最大距離；(3)若打到探測板上的離子被全部吸收，求離子束對探測板的平均作用力的豎直分量F與板到距離L的關(guān)系。15．通過測量質(zhì)子在磁場中的運(yùn)動軌跡和打到探測板上的計(jì)數(shù)率（即打到探測板上質(zhì)子數(shù)與衰變產(chǎn)生總質(zhì)子數(shù)N的比值），可研究中子（）的衰變。中子衰變后轉(zhuǎn)化成質(zhì)子和電子，同時(shí)放出質(zhì)量可視為零的反中微子。如圖所示，位于P點(diǎn)的靜止中子經(jīng)衰變可形成