中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題12關(guān)于二次函數(shù)性質(zhì)與最值的推理計算綜合問題（解析版）

壓軸題12關(guān)于二次函數(shù)性質(zhì)與最值的推理計算綜合問題例1．（2023?海曙區(qū)一模）對于拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若拋物線過點（4，3）．①求頂點坐標(biāo)；②當(dāng)0≤x≤6時，直接寫出y的取值范圍為﹣1≤y≤15；（2）已知當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9，求a和m的值．【分析】（1）①解析式化成頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標(biāo)；②求得x＝6時的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）拋物線開口向上，對稱軸為直線x=2a，由當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9可知拋物線頂點坐標(biāo)為（2a，1）且過點（m，9），把頂點坐標(biāo)代入解析式即可求得a＝2，然后把點（m【解答】解：（1）若拋物線過點（4，3），則3＝16a﹣16+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣4x+3；①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點坐標(biāo)為（2，﹣1）；②當(dāng)x＝6時，y＝x2﹣4x+3＝15，∴當(dāng)0≤x≤6時，直y的取值范圍為﹣1≤y≤15，故答案為：﹣1≤y≤15；（2）拋物線y＝ax2﹣4x+3（a＞0）對稱軸為直線x=??4∵當(dāng)0≤x≤m時，1≤y≤9，且x＝0時，y＝3，∴x=2a時，y＝1為函數(shù)最小值，即拋物線頂點坐標(biāo)為（∴1=4解得a＝2，∴y＝2x2﹣4x+3，把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，解得m1＝3，m2＝﹣1，∴m＞0，∴m＝3，故a的值為2，m的值為3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春?上城區(qū)校級月考）設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+4ax+4a+1，a為常數(shù)，且a＜0．（1）寫出該函數(shù)的對稱軸和頂點坐標(biāo)．（2）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（n，y1），Q（n+1，y2），當(dāng)n≥1時，試比較y1和y2的大小關(guān)系．（3）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)n≤x1≤n+1，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，請求出實數(shù)n的取值范圍．【分析】（1）畫出頂點時，即可求得對稱軸和頂點坐標(biāo)；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）利用函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性即可得出n的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣2，頂點為（﹣2，1）；（2）∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，∴當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而減小，∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點P（n，y1），Q（n+1，y2），∴當(dāng)n≥1時，y1＞y2；（3）∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x＝﹣2，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，∴|x1+2|≤|x2+2|，即|x1+2|≤x2+2，∴x1+2≤x2+2，或x1+2≥﹣2﹣x2，∴x1≤x2，或x1≥﹣4﹣x2∵x2≥3，∴﹣4﹣x2≤﹣7，∵該二次函數(shù)圖象上的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)n≤x1≤n+1，當(dāng)x2≥3時均有y1≥y2，∴n≥?7n+1≤3∴﹣7≤n≤2．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．例3．（2023春?順義區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（x1，y1）、點B（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的兩點．（1）求拋物線的對稱軸；（2）當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2時，試判斷y1與y2的大小關(guān)系并說明理由；（3）若當(dāng)t﹣1＜x1＜t且t+1＜x2＜t+2時，存在y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．【分析】（1）將關(guān)系式化為頂點式，即可得出答案；（2）根據(jù)x的大小判斷點A，點B與對稱軸的距離，再討論a，即可得出答案；（3）根據(jù)題意可知點A和點B在對稱軸的兩側(cè)，可判斷t的取值范圍，再根據(jù)兩點到對稱軸的距離相等得出范圍即可．【解答】解：（1）由y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴拋物線的對稱軸是直線x＝1；（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，對稱軸是直線x＝1，∴點A比點B離對稱軸遠，若a＞0，拋物線開口向上，y1＞y2，若a＜0，拋物線開口向下，y1＜y2；（3）∵y1＝y(tǒng)2，∴點A和點B關(guān)于對稱軸x＝1對稱，∴t＜1且1＜t+1，解得0＜t＜1，∵點A和點B到對稱軸的距離相等，∴1﹣x1＝x2﹣1，∴1﹣（t﹣1）＞t+1﹣1且1﹣t＜t+2﹣1，解得0＜t＜1，所以t的取值范圍是0＜t＜1．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握函數(shù)值相等時x的值與對稱軸之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春?柯橋區(qū)月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+ax+a+1的圖象經(jīng)過點P（﹣2，3）．（1）求a的值和圖象的頂點坐標(biāo)．（2）點Q（m，n）在該二次函數(shù)圖象上．①當(dāng)m＝2時，求n的值．②當(dāng)m≤x≤m+3時，該二次函數(shù)有最小值11，請根據(jù)圖象直接寫出m的值．【分析】（1）把點P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式進行求解a的值，然后再化為頂點式進行求解即可；（2）①由（1）可得二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x+3，然后把m＝2代入解析式進行求解即可；②由①及二次函數(shù)的性質(zhì)可直接進行求解．【解答】解：（1）由題意可把點P（﹣2，3）代入二次函數(shù)y＝x2+ax+a+1得：4﹣2a+a+1＝3，解得：a＝2；∴二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x+3，化為頂點式為y＝（x+1）2+2，∴頂點坐標(biāo)為（﹣1，2）；（2）①由（1）可得二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x+3，∴當(dāng)m＝2時，則有n＝22+4+3＝11；②由①可得當(dāng)m＝2時，則n＝11，拋物線的對稱軸為x＝﹣1，則根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得點（2，11）的對稱點為（﹣4，11），圖象如圖所示：∴由圖象可得當(dāng)m≤x≤m+3時，該二次函數(shù)有最小值11，則m＝2或m+3＝﹣4，∴m＝2或m＝﹣7．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1．（2023?深圳模擬）對于“已知x+y＝1，求xy的最大值”這個問題，小明是這樣求解的：∵x+y＝1，∴y＝1﹣x，∴xy=x(1?x)=x?x∴xy≤14，所以xy的最大值為請你按照這種方法計算：當(dāng)2n+m＝4（m＞0，n＞0）時，2m【分析】由2n+m＝4得出m＝4﹣2n．將2m+1n通分得2n+mmn，再將m＝4﹣2n代入2n+m【解答】解：∵2n+m＝4，∴m＝4﹣2n，∴2m∵﹣（n﹣1）2+1≤1，∴2m∴2m【點評】本題考查分式的加減混合運算，二次函數(shù)的最值等知識．理解題意，掌握其運算方法是解題關(guān)鍵．2．（2022秋?諸暨市期末）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3）．（1）求b，c的值；（2）當(dāng)0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差；（3）當(dāng)k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，求k的值．【分析】（1）（0，3）是與y軸的交點，可得c＝3，再將（6，3）代入求值，可求得b的值；（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；當(dāng)0≤x≤4時，僅當(dāng)x＝0時，y取得最大值；僅當(dāng)x＝3時，y取得最小值；再計算y的最大值與最小值之差；（3）分類討論：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②當(dāng)k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7；③當(dāng)3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7；根據(jù)函數(shù)特點，計算求出符合題意k的值．【解答】解：（1）∵函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3），（6，3），∴c＝3，y＝x2+bx+3，將點（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，∴b＝﹣6，c＝3；（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，當(dāng)0≤x≤4時，①僅當(dāng)x＝3時，y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；②僅當(dāng)x＝0時，y取得最大值，此時y＝（0﹣3）2﹣6＝3；3﹣（﹣6）＝9，∴當(dāng)0≤x≤4時，求y的最大值與最小值之差為9；（3）當(dāng)k﹣4≤x≤k時，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，①當(dāng)k﹣4≤x≤k≤3時，即k≤3，僅當(dāng)x＝k，y取得最小值，此時y＝k2﹣6k+3；僅當(dāng)x＝k﹣4，y取得最大值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，∵k＜3，∴k＝4不符合題意；②當(dāng)k﹣4≤3且k≥3時，即3≤k≤7，此時最小值為y＝﹣6，當(dāng)x＝k﹣4取得最大值時，y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝7±32，∵3≤k≤7，7+32＞7，7﹣32∴k＝7±32不符合題意；當(dāng)x＝k取得最大值時，y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±22，∵3≤k≤7，3＜3+22＜7，3﹣22∴k＝3+22符合題意，k＝3﹣22不符合題意，∴k＝3+22；③當(dāng)3≤k﹣4≤x≤k時，即k≥7，僅當(dāng)x＝k﹣4，y取得最小值，此時y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；僅當(dāng)x＝k，y取得最大值，此時y＝k2﹣6k+3；k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，∵k≥7，∴k＝6不符合題意；綜上所述，當(dāng)k﹣4≤x≤k時，若y的最大值與最小值之差為8，k的值為3+22．y取得最小值，此時y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的特點，并用分類討論思想分析計算求值是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度適中．3．（2022秋?漳州期末）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b、c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，3）、（1，﹣2）．（1）求b、c的值；（2）當(dāng)3≤x≤m時，若y的最大值與最小值之和為1，求m的值．【分析】（1）把已知點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出答案；（2）根據(jù)對稱軸為x＝3，結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，得出當(dāng)x＝m時，y有最大值為7，即可得出m2﹣6m+3＝7，解得即可．【解答】解：（1）將（0，3）、（1，﹣2）代入y＝x2+bx+c得：c=31+b+c=?2解得b=?6c=3（2）由（1）可知二次函數(shù)為y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝3，∴當(dāng)x＝3時，函數(shù)有最小值﹣6，∵當(dāng)3≤x≤m時，若y的最大值與最小值之和為1，∴當(dāng)x＝m時，y有最大值為7，∴m2﹣6m+3＝7，∴m＝3+13或m＝3?∴m＝3+13【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，正確得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．4．（2023?來安縣一模）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1＝（x+2a）（x﹣2b）（其中a，b為常數(shù)）．（1）若a＝1，該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（﹣1，3），求b；（2）若a＝b﹣2．①若（﹣1，m）和（3，n）是該二次函數(shù)圖象上的點，比較m和n的大??；②設(shè)一次函數(shù)y2＝﹣x+2b，當(dāng)函數(shù)y＝y(tǒng)1+y2的圖象經(jīng)過點（c，0）時，探索b與c之間的數(shù)量關(guān)系，并加以推理．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣2b+4，0），（2b，0），從而求出該拋物線的對稱軸為x＝2，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；②先求出y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），然后把（c，0）代入，得出關(guān)于b，c等式即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)a＝1時，y1＝（x+2）（x﹣2b），代入點（﹣1，3），得3＝（﹣1+2）（﹣1﹣2b），解得b＝﹣2；（2）①當(dāng)a＝b﹣2時，則y1＝（x+2b﹣4）（x﹣2b），∴該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)為（﹣2b+4，0），（2b，0），∴該二次函數(shù)的對稱軸為x=1又∵該二次函數(shù)圖象開口向上，2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴m＞n；②由題意可知y＝y(tǒng)1+y2＝（x+2a）（x﹣2b）﹣x+2b＝（x+2a﹣1）（x﹣2b），又a＝b﹣2，∴y＝（x+2b﹣5）（x﹣2b），∵拋物線經(jīng)過點（c，0），∴（c+2b﹣5）（c﹣2b）＝0，∴c+2b﹣5＝0或c﹣2b＝0．（也可以寫成2b+c＝5或2b﹣c＝0．也可以寫成c＝5﹣2b或c＝2b）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關(guān)鍵．5．（2023?北侖區(qū)一模）拋物線y＝（x+1）（x﹣t）（t為常數(shù)）經(jīng)過點A（4，5），B（m，n）．（1）求t的值；（2）若n＜5，求m的取值范圍．【分析】（1）把A（4，5）代入解析式即可求出a的值；（2）根據(jù)解析式即可求出該拋物線的對稱軸為x=?b2a=1，A（4，5）關(guān)于對稱軸的對稱點為（﹣2，5），所以當(dāng)n＜5時，m的取值范圍為﹣【解答】解：（1）∵拋物線y＝（x+1）（x﹣t）（t為常數(shù)）經(jīng)過點A（4，5），∴5＝（4+1）（4﹣t），∴t＝3；（2）∵t＝3，∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，∴該拋物線的對稱軸為x=?b∴由對稱性得m的取值范圍為﹣2＜m＜4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023?秦皇島一模）已知y＝ax2+bx+c過點A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三點，對稱軸是直線x＝1，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根．（1）求拋物線的解析式；（2）若B點在直線x＝1的左側(cè)，C點在直線x＝1的右側(cè)，且y1＞y2，求n的取值范圍；（3）若n＜﹣5，試比較y1與y2的大?。痉治觥浚?）由題意可得0＝4a+2b+c①，?b2a=1②，Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，聯(lián)立方程組可求a，b（2）根據(jù)題意列出不等式組可求解；（3）由n＜﹣5，可得點B，點C在對稱軸直線x＝1的左側(cè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵對稱軸是直線x＝1，∴?b2a=∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，由①②③可得：a=?1∴拋物線的解析式為y=?12x2+（2）若點B在對稱軸直線x＝1的左側(cè)，點C在對稱軸直線x＝1的右側(cè)時，由題意可得3n?4＜15n+6＞1∴0＜n＜5（3）∵n＜﹣5，∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19，∴點B，點C在對稱軸直線x＝1的左側(cè)，∵拋物線y=?12x2+∴?1即y隨x的增大而增大，∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，∴3n﹣4＞5n+6，∴y1＞y2．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022?無為市三模）已知拋物線y＝a（x﹣h）2+k經(jīng)過點A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3），連接AB、BC，令A(yù)BBC=（1）若a＞0，h＝2，求λ的值；（2）若h＝1，λ=55，求【分析】（1）當(dāng)h＝2，點B為拋物線的頂點，點A、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，即可求解；（2）求出點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，k）、（2，a+k）、（3，4a+k），即可求解．【解答】解：（1）∵a＞0，h＝2，則點B為拋物線的頂點，點A、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，故BA＝BC，∴λ＝1；（2）若h＝1，則y＝a（x﹣1）2+k，則y1＝k，y2＝a+k，y3＝4a+k，即點A、B、C的坐標(biāo)分別為（1，k）、（2，a+k）、（3，4a+k），則AB2＝1+a2，BC2＝1+（4a﹣a）2＝1+9a2，∵λ=55，即BC2＝5AB∴5+5a2＝1+9a2，解得a＝±1，∴a＝±1．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)題意，巧妙地利用性質(zhì)進行解題是解此題的關(guān)鍵．8．（2022?平谷區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（﹣1，y1）、（1，y2）、（3，y3）是拋物線y＝x2+bx+1上三個點．（1）直接寫出拋物線與y軸的交點坐標(biāo)；（2）當(dāng)y1＝y(tǒng)3時，求b的值；（3）當(dāng)y3＞y1＞1＞y2時，求b的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)y軸上點的坐標(biāo)特征計算即可；（2）根據(jù)拋物線的對稱軸是直線x=?b（3）根據(jù)拋物線的對稱性、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：（1）對于y＝x2+bx+1，當(dāng)x＝0時，y＝1，則拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為（0，1）；（2）當(dāng)y1＝y(tǒng)3時，拋物線的對稱軸為x＝1，∴?b解得：b＝﹣2；（3）當(dāng)y3＞y1時，對稱軸在x＝1的左側(cè)，即?b解得：b＞﹣2，當(dāng)1＞y2時，1＞1+b+1，解得：b＜﹣1，∴當(dāng)y3＞y1＞1＞y2時，﹣2＜b＜﹣1．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確理解拋物線的對稱性以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?西城區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2﹣2ax﹣3．（1）求該拋物線的對稱軸（用含a的式子表示）；（2）A（x1，y1），B（x2，y2）為該拋物線上的兩點，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸公式：x=?b（2）分三種情況討論，得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2﹣2ax﹣3，∴該拋物線的對稱軸為直線x=??2a2×1（2）①當(dāng)a＜x2＜x1時，y1＞y2，則a+1＜1﹣2a，即a＜0；②當(dāng)x1﹣a＞a﹣x2時，y1＞y2，則1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜2③當(dāng)x1﹣a＜a﹣x2時，y1＞y2，則1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞2綜上，a＜0或a＞2【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)上的點的特征，熟練掌握對稱軸公式以及分類討論思想的運用是解本題的關(guān)鍵；確定a的范圍是本題的難點．10．（2022?海淀區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四點．（1）求二次函數(shù)的對稱軸（用含的代數(shù)式表示）；（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，請直接判斷y1y4的正負性，即y1y4＞0（填“＞”或“＜”）；（3）若y3＞y2＞y4，求t的取值范圍并判斷y1，y2的大小關(guān)系．【分析】（1）利用對稱軸公式即可求得；（2）根據(jù)拋物線解析式可得拋物線對稱軸，由各點到對稱軸的距離可判斷函數(shù)值的大小，進而求解；（3）分a＞0，a＜0兩種情況，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2atx+c，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=??2at2a（2）∵t＝﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，當(dāng)拋物線開口向上，即a＞0時，∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），∴y4＞y1＞y2＞y3，若y2y3＜0，則y4＞y1＞y2＞0＞y3，∴y1y4＞0；當(dāng)拋物線開口向下，即a＜0時，∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），∴y3＞y2＞y1＞y4，若y2y3＜0，則y3＞0＞y2＞y1＞y4，∴y1y4＞0；綜上所述，y1y4＞0，故答案為：＞．（3）當(dāng)a＜0時，x越靠近對稱軸，其對應(yīng)的y值越大，要使y3＞y2＞y4，則對稱軸位于點B和點C之間且靠近點C的位置，∴y1＜y2，當(dāng)a＞0時，要使y3＞y2＞y4，不存在，綜上所述，y1＜y2．【點評】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用對稱性解決問題，屬于中考?？碱}型．11．（2021?西湖區(qū)校級二模）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3的圖象經(jīng)過點P（﹣2，5）．（1）求b的值；（2）設(shè)P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在該函數(shù)圖象上，①當(dāng)m＝4時，y1、y2、y3能否作為同一個三角形三邊的長？請說明理由；②當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長，請說明理由．【分析】（1）把（﹣2，5）代入二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3，求出b；（2）①不能，因為代入求出y1＝5，y2＝12，y3＝21，不符合三邊關(guān)系定理；②求出y1+y2﹣y3的值即可．【解答】解：（1）把（﹣2，5）代入二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3得：5＝4﹣2b﹣3，∴b＝﹣2．（2）①答：當(dāng)m＝4時，y1、y2、y3不能作為同一個三角形三邊的長．理由是當(dāng)m＝4時，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），代入拋物線的解析式得：y1＝5，y2＝12，y3＝21，∵5+12＜21，∴當(dāng)m＝4時，y1、y2、y3不能作為同一個三角形三邊的長．②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4得：∴y1＝（m﹣1）2﹣4，y2＝（m+1﹣1）2﹣4，y3＝（m+2﹣1）2﹣4，∴y1+y2﹣y3＝（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]＝（m﹣2）2﹣8，∵m≥5，y1，y2，y3都是＞0的，∴（m﹣2）2﹣8＞0，∴y1+y2﹣y3＞0∴y1+y2＞y3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形的任意兩邊之和大于第三邊（也可求出兩小邊的和大于第三邊），∴當(dāng)m取不小于5的任意實數(shù)時，P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2＜y3，∴y1、y2、y3一定能作為同一個三角形三邊的長．【點評】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點的理解和掌握，能正確根據(jù)定理進行計算是解此題的關(guān)鍵．12．（2021?安徽二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，交y軸于點C．（1）求a，b的值；（2）點P為二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象上一動點，且位于第一象限，設(shè)△ABP的面積為S1，△CBP的面積為S2，記w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．【分析】（1）關(guān)鍵待定系數(shù)法即可求解；（2）求得C的坐標(biāo)，進而即可求得直線BC的解析式，過P點作x軸的垂線，交BC于Q，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），則Q（x，﹣x+3），利用三角形面積公式即可得到w＝S1﹣2S2+1＝（x?52）2+34，從而求得【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴a?b+3=09a+3b+3=0解得a=?1b=2（2）由（1）可知，二次函數(shù)為y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），設(shè)直線BC為y＝kx+3，代入B（3，0）求得k＝﹣1，∴直線BC為y＝﹣x+3，過P點作x軸的垂線，交BC于Q，設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），則Q（x，﹣x+3），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S1=12×4×（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x+6，2S2＝2×12（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝﹣3∴w＝S1﹣2S2+1＝﹣2x2+4x+6﹣（﹣3x2+9x）+1＝x2﹣5x+7＝（x?52）2∴w的最小值為34【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，表示出P、Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．13．（2023?龍灣區(qū)一模）如圖，已知點C為二次函數(shù)y＝x2﹣4x+1的頂點，點P（0，n）為y軸正半軸上一點，過點P作y軸的垂線交函數(shù)圖象于點A，B（點A在點B的左側(cè)）．點M在射線PB上，且滿足PM＝1+n．過點M作MN⊥AB交拋物線于點N，記點N的縱坐標(biāo)為yN．（1）求頂點C的坐標(biāo)．（2）①若n＝3，求MB的值．②當(dāng)0＜n≤4時，求yN的取值范圍．【分析】（1）把二次函數(shù)的解析式化成頂點式，即可求得頂點C的坐標(biāo)；（2）①解方程x2﹣4x+1＝3，求得B的坐標(biāo)即可得出MB=BP?PM=2+6②由xN＝xM＝1+n，代入解析式得yN=(n?1)2?3(0＜n≤4)，求得當(dāng)n＝1時，yN的最小值為﹣3．n＝4時，yN的最大值為6，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得﹣3【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴頂點C的坐標(biāo)為（2，﹣3）．（2）①當(dāng)n＝3時，則PM＝1+3＝4，令y＝3，則x2﹣4x+1＝3，解得x1=2+6∴B（2+6∴MB=BP?PM=2+6②∵xN＝xM＝1+n，∴yN∴當(dāng)n＝1時，yN的最小值為﹣3．當(dāng)n＝4時，yN的最大值為6．∴﹣3≤yN≤6．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022?香洲區(qū)校級三模）直線y=?12x+1與x，y軸分別交于點A，B，拋物線的解析式為y＝2x2﹣4ax+2a2+（1）求出點A，B的坐標(biāo)，用a表示拋物線的對稱軸；（2）若函數(shù)y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4時有最大值為a+2，求a的值；（3）取a＝﹣1，將線段AB平移得到線段A'B'，若拋物線y＝2x2﹣4ax+2a2+a與線段A'B'有兩個交點，求直線A'B'與y軸交點的縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特征分別令x＝0，y＝0即可求得點A，B的坐標(biāo)，利用公式或運用配方法即可求得拋物線的對稱軸；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)建立方程求解即可得出答案；（3）求出直線A′B′與拋物線相切時與y軸交點的縱坐標(biāo)，再求出線段A′B′兩個端點均落在拋物線上時直線A′B′與y軸交點的縱坐標(biāo)，即可得出答案．【解答】解：（1）在y=?12x+1中，令x＝0，得∴B（0，1），令y＝0，得?12解得：x＝2，∴A（2，0），∵y＝2x2﹣4ax+2a2+a＝2（x﹣a）2+a，∴拋物線的對稱軸為直線x＝a；（2）函數(shù)y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4時有最大值為a+2，當(dāng)a≤72時，32﹣16a+2a2+a＝解得：a＝3或a＝5（不符合題意，舍去）；當(dāng)a＞72時，18﹣12a+2a2+a＝解得：a＝4或a＝2（不符合題意，舍去）；綜上所述，a的值為3或4；（3）當(dāng)a＝﹣1時，y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，∵直線AB的解析式為y=?12∴設(shè)直線A′B′的解析式為y=?12x+與拋物線解析式聯(lián)立，得：2x2+4x+1=?12x+整理得：4x2+9x+2﹣2b＝0，當(dāng)直線y=?12x+b與拋物線只有一個公共點時，Δ＝81﹣16（2﹣2解得：b=?49當(dāng)線段A′B′的兩個端點恰好落在拋物線上時，|x1﹣x2|＝2，即（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∵x1+x2=?94，x1x2∴8116?2（1﹣解得：b=15∴直線A'B'與y軸交點的縱坐標(biāo)的取值范圍為?4932＜【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平移變換的性質(zhì)，直線與拋物線的交點，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，屬于中檔題．15．（2022?柘城縣校級三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點（2，m）和點（6，n）在拋物線y＝ax2+bx（a＜0）上．（1）若m＝4，n＝﹣12，求拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；（2）已知點A（1，y1），B（4，y2）在該拋物線上，且mn＝0．①比較y1，y2，0的大小，并說明理由；②將線段AB沿水平方向平移得到線段A'B'，若線段A'B'與拋物線有交點，直接寫出點A'的橫坐標(biāo)x的取值范圍．【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）①利用分類討論的方法分m＝0和n＝0兩種情形討論解答：分別求得拋物線的對稱軸，利用拋物線的對稱性和二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合的思想方法解答即可；②結(jié)合函數(shù)的圖象利用平移的性質(zhì)分別求得A'的橫坐標(biāo)x的最小值與最大值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵m＝4，n＝﹣12，∴點（2，4）和點（6，﹣12）在拋物線y＝ax2+bx（a＜0）上．∴4a+2b=436a+6b=?12解得：a=?1b=4∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x．∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，頂點坐標(biāo)為（2，4）；（2）①∵mn＝0，∴m＝0或n＝0．當(dāng)m＝0時，∵拋物線y＝ax2+bx（a＜0）的開口方向向下，經(jīng)過（0，0），（2，0），∴拋物線的對稱軸為x=0+2∴A（1，y1）為拋物線的頂點，∴y1為函數(shù)的最大值且大于0，∵點（2，0）在x軸上，∴點B（4，y2）在x軸的下方，∴y2＜0，∴y1，y2，0的大小關(guān)系為：y1＞0＞y2；當(dāng)n＝0時，∵拋物線y＝ax2+bx（a＜0）的開口方向向下，經(jīng)過（0，0），（6，0），∴拋物線的對稱軸為x=0+6∴當(dāng)x＜3時，y隨x的增大而增大，由拋物線的對稱性可知：（2，y2）在拋物線上，∵0＜1＜2，∴0＜y1＜y2．綜上，當(dāng)m＝0時，y1＞0＞y2，當(dāng)n＝0時，0＜y1＜y2；②A'的橫坐標(biāo)x的取值范圍為：當(dāng)n＝0時，﹣1＜x＜5，當(dāng)m＝0時，﹣5＜x＜1．理由：由①知：當(dāng)m＝0時，拋物線y＝ax2+bx的對稱軸為x＝1，∴點A，B關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)分別為A′（1，y1），B′（﹣2，y2），∵將線段AB沿水平方向向左平移至B與B′重合時，線段A'B'與拋物線有交點，再向左平移就沒有交點了，而由B平移到B′平移了6個單位，∴A'的橫坐標(biāo)x的最小值為1﹣6＝﹣5，而最大值為1，∴A'的橫坐標(biāo)x的取值范圍為：﹣5＜x＜1；由①知：當(dāng)n＝0時，拋物線y＝ax2+bx的對稱軸為x＝3，∴點A，B關(guān)于對稱軸對稱的點的坐標(biāo)分別為A′（5，y1），B′（2，y2），∵將線段AB沿水平方向向左平移至B與B′重合時，線段A'B'與拋物線有交點，再向左平移就沒有交點了，而由B平移到B′平移了2個單位，∴A'的橫坐標(biāo)x的最小值為1﹣2＝﹣1，∵將線段AB沿水平方向向右平移至A與A′重合時，線段A'B'與拋物線有交點，再向右平移就沒有交點了，而由A平移到A′平移了4個單位，∴A'的橫坐標(biāo)x的最大值為1+4＝5，∴A'的橫坐標(biāo)x的取值范圍為：﹣1＜x＜5．綜上，A'的橫坐標(biāo)x的取值范圍為：當(dāng)n＝0時，﹣1＜x＜5，當(dāng)m＝0時，﹣5＜x＜1．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，平移的點的坐標(biāo)的特征，數(shù)形結(jié)合法，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵．16．（2022?博望區(qū)校級一模）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）．（1）求a的值；（2）若點B（m，n）與點C（m+1，n+1）都在拋物線y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；（3）若一次函數(shù)y＝（k+1）x+k+1的圖象與二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象的交點坐標(biāo)是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2時，求函數(shù)w＝y(tǒng)1+y2的最小值．【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入y＝ax2﹣2ax﹣3即可求得a的值；（2）先將（m，n）、（m+1，n+1）兩點的坐標(biāo)分別代入y＝x2﹣2x﹣3，得到n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，再用②﹣①求得出m＝1，進而由②求得n，即可求出m+n＝﹣3；（3）由一次函數(shù)解析式可得直線過定點（﹣1，0），可得y1＝0，因為拋物線頂點坐標(biāo)為（1，﹣4），則y2的最小值為﹣4，然后作和求解．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），∴a+2a﹣3＝0，∴a＝1；（2）∵a＝1，∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3，∵點B（m，n）與點C（m+1，n+1）都在拋物線y＝x2﹣2x﹣3上，∴n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，②﹣①得2m﹣2＝0，解得m＝1，∴n＝m2﹣5＝﹣4，∴m+n＝1﹣4＝﹣3；（3）∵y＝（k+1）x+k+1＝（k+1）（x+1），∴直線數(shù)y＝（k+1）x+k+1經(jīng)過定點（﹣1，0），∵x＝﹣1時，y＝x2﹣2x﹣3＝0，∴一次函數(shù)y＝（k+1）x+k+1的圖象與二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象的一個交點為（﹣1，0），∵x1＜0＜x2，∴x1＝﹣1，y1＝0，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線頂點坐標(biāo)為（1，﹣4），∴y2≥﹣4，∴y1+y2≥﹣4，∴w＝y(tǒng)1+y2的最小值為﹣4．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是掌握拋物線圖象的性質(zhì)，掌握求函數(shù)經(jīng)過定點的方法．17．（2022?海淀區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），（1）求二次函數(shù)對稱軸；（2）若當(dāng)﹣1≤x≤3時，函數(shù)的最大值為4，求此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)．（3）拋物線上兩點M（x1，y1），N（x2，y2）若對于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范圍．【分析】（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸直線是x=?b（2）﹣1≤x≤3時，得出當(dāng)x＝3時，函數(shù)的最大值為4，即可求出a的值，從而求出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；（3）由條件得到拋物線兩點M（x1，y1），N（x2，y2）不關(guān)于對稱軸x=12對稱，推出x1+x2≠1由，t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，即可求出【解答】解：y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，（1）二次函數(shù)對稱軸是直線x=?1（2）∵二次函數(shù)y＝（x+a）（x﹣a﹣1）圖象開口向上，12?（﹣1）＜3∴﹣1≤x≤3，當(dāng)x＝3時，二次函數(shù)y＝（x+a）（x﹣a﹣1）取得最大值，是4，∴當(dāng)x＝3時，y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝9﹣3﹣a2﹣a＝4，∴a2+a﹣2＝0，∴a1＝1，a2＝﹣2，∵a＞0，∴a＝1，∴y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝x2﹣x﹣2=(x?∴此二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（12，?（3）∵拋物線上兩點M（x1，y1），N（x2，y2），對于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，∴點M（x1，y1），N（x2，y2）不關(guān)于對稱軸x=1∴x1+x2≠1，∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，∴2t+2＜x1+x2＜2t+4，∴2t+2≥1或2t+4≤1，∴t≥?12或t【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)對稱軸，頂點坐標(biāo)的求法及由二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式．18．（2022?西城區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（x1，y1）、點B（x2，y2）為拋物線y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的兩點．（1）求拋物線的對稱軸；（2）當(dāng)﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2時，試判斷y1與y2的大小關(guān)系并說明理由；（3）若當(dāng)t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3時，存在y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．【分析】（1）先化拋物線的表達式為y＝a（x﹣1）2+1，依此可求拋物線的對稱軸；（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；（3）利用二次函數(shù)性質(zhì)存在A到對稱軸的距離與B到對稱軸的距離相等即可解答．【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴拋物線的對稱軸為x＝1；（2）∵﹣2＜x1＜﹣1，1＜x2＜2，∴1﹣x1＞1﹣x2，∴A離對稱軸越遠，若a＞0，開口向上，則y1＞y2，若a＜0，開口向下，則y1＜y2，（3）∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，存在y1＝y(tǒng)2，則t+1＜1且t+2＞1，∴t＜0且t＞1，∵y1＝y(tǒng)2，∴存在1﹣x1＝x2﹣1，即存在A到對稱軸的距離與B到對稱軸的距離相等，∴1﹣t＞t+2﹣1且1﹣（t+1）＜t+3﹣1，∴﹣1＜t＜0．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)上的點的特征，熟練掌握對稱軸公式及求頂點坐標(biāo)的方法是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)圖象及性質(zhì)確定t的范圍是本題的難點．19．（2022?蕭山區(qū)二模）在平面直