中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題09二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題（原卷版）

壓軸題09二次函數(shù)與角度數(shù)量關(guān)系問題例1．（2023·福建三明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)y=?x2+2ax+2a+1（a是常數(shù)，且a>0）的圖象與x軸交A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與線段BC交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，連接AC(1)若a=1①求直線BC的表達(dá)式；②求證：∠ACO=∠CBD；(2)若二次函數(shù)y=?x2+2ax+2a+1（a是常數(shù)，且a>0）在第四象限的圖象上，始終存在一點(diǎn)P，使得∠ACP=75°例2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A,B兩點(diǎn)，直線y=?x+3(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD,AD，若ΔACD的面積為6，求點(diǎn)D(3)點(diǎn)E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，若∠ABE=2∠ACB，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．例3．（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C三點(diǎn)，其中A(?4,0)、B(1，0)(1)求拋物線的解析式；(2)連接BM，交線段AC于點(diǎn)D，求SΔADMS(3)連接CM，是否存在點(diǎn)M，使得∠ACO+2∠ACM=90°，若存在，求例4．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=12x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=?12x2(1)求拋物線的解析式．(2)D為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．①連接DO交AB于點(diǎn)E，若DE:OE=3:4，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②是否存在點(diǎn)D，使得∠DBA的度數(shù)恰好是∠BAC的2倍？如果存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．1．（2023春·廣東汕頭·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A?1,0、點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，交(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)如圖2所示，過點(diǎn)C的直線交線段BD于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．①若直線CM將△BCD分成的兩部分面積之比為2∶1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②若∠NCB=∠DBC，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．(3)如圖1，若點(diǎn)P為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，請直接寫出2AP+CP的最小值．2．（2023·上?！つM預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A1，0和點(diǎn)(1)求該拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且在x軸下方，連接PA．當(dāng)∠PAB=∠ACO時(shí)，求點(diǎn)P(3)在（2）的條件下，將拋物線沿平行于y軸的方向平移，平移后點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，當(dāng)AQ平分∠PAC時(shí)，求拋物線平移的距離．3．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)y=?14x2+12m?1x+m（m是常數(shù)，且m>0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸l(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示）；(2)當(dāng)PA+PC的最小值等于45時(shí)，求m的值及此時(shí)點(diǎn)P(3)當(dāng)m取（2）中的值時(shí)，若∠APC=2∠ABC，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖（1），拋物線y=?x2?3ax?4a與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=4，若點(diǎn)D是直線BC（不與B，C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x(1)求拋物線的解析式．(2)連接CE，OD，當(dāng)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為83時(shí)，求證：∠COD=∠DCE(3)如圖（2），若點(diǎn)F是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A?1,0，B兩點(diǎn)，與y(1)求拋物線的解析式．(2)點(diǎn)P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線PB與y軸交于點(diǎn)D，△BCD的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．6．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0,?2)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，若△PBC的面積為4時(shí)，求點(diǎn)P(3)點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)∠MAB=2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．7．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ凶锨G中學(xué)校考一模）如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y=ax2+bx(a、b為常數(shù)，a≠0)與x軸相交于另一點(diǎn)A4，0．在第一象限內(nèi)與直線(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是直線OB下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，EF與直線OB交于點(diǎn)G．設(shè)△BFG和△BEG的面積分別為S1和S2，求8．（2023·湖南長沙·湘府中學(xué)校考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A?1,0，B3,0(1)求拋物線解析式；(2)如圖2，M是拋物線頂點(diǎn)，△CBM的外接圓與x軸的另一交點(diǎn)為D，與y軸的另一交點(diǎn)為E．①求tan∠CBE②若點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在射線AN上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP與△BCE相似？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，若∠AQC為銳角，且tan∠AQC>1，請直接寫出點(diǎn)Q9．（2023春·福建泉州·九年級(jí)福建省永春第一中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，拋物線L:y=ax2?2ax?3aa>0與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），直線y=ax+1與拋物線交于C，(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在（1）的條件下，連接BD，點(diǎn)E在拋物線上，若∠DAE=∠ADB，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)將拋物線L向上平移1個(gè)單位得到拋物線L1，拋物線L1的頂點(diǎn)為P，直線y=ax+1與拋物線L1交于M，N兩點(diǎn)，連接MP，NP10．（2023·遼寧沈陽·校聯(lián)考一模）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A?1，0，B0，32(1)求拋物線y=ax(2)點(diǎn)M是拋物線在第一象限上一點(diǎn)．①連接AM與BC相交于點(diǎn)E，即將△ABC分為兩個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形的面積之比為1：2時(shí)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_______，直線②將△ABO沿著x軸正方向平移，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)M重合時(shí)停止，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)O'，求出△A(3)在拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)K，連接CK，使∠ACK+∠BAO=90°，延長CK交拋物線于點(diǎn)P，連接AK，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線CA以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，是否存在某一時(shí)刻，使11．（2023春·山東威?！ぞ拍昙?jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A?1，0，(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸、x軸、y軸分別交于點(diǎn)G，N，H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．①當(dāng)DF+HF取最大值時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②連接EG，若∠GEH=45°，求m的值．12．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)y1=12x2+bx+c，關(guān)于x的方程12x2+bx+c=0有下列四個(gè)命題：①x=1是方程的根

②x=?3是方程的根

(1)求函數(shù)y1與y(2)如題圖所示，已知y2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC下方一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB=2∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P13．（2023·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）綜合與探究如圖1，經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線y=?2x2+8x與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的函數(shù)表達(dá)式．(2)如圖2，若點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線OM交直線l于點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，求MCOC(3)如圖3，連接OB，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得∠MAO=∠BOA，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．14．（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,4，并與x軸交于點(diǎn)A(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），直線PD將△ABD的面積分成3:1兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在y軸運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)∠OQA=∠ABC?∠OCA時(shí)，求t的值．15．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A?1,0、B3,0(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且P在直線BC的上方，①如圖1，當(dāng)CB平分∠ACP時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，連接PA交BC于E點(diǎn)，設(shè)S△CPE=kS16．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C1：y=?12x2，將拋物線C1向右平移(1)拋物線C2的解析式為：(2)如圖1，拋物線C2與x軸正半軸交于點(diǎn)A，直線y=12x+b經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線C2于另一點(diǎn)B.在拋物線上是否存在點(diǎn)P(3)如圖2，△MNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C1上，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME、NE與拋物線C1均有唯一公共點(diǎn)，ME、NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為27，設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n，求m與17．（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，已知拋物線y=1mx+2x?m與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（(1)求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；(2)當(dāng)S△ABC=6時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)P（C點(diǎn)除外）使∠PAB=∠BAC？若存在，請求出點(diǎn)(3)當(dāng)AP∥BC時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，求BQ的長．18．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸為直線l，點(diǎn)P是拋物線上位于點(diǎn)B(1)求∠ABC的度數(shù)；(2)若∠PBC=∠ACO，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)Pp,n，若點(diǎn)Qq,n在拋物線上，且①僅用無刻度的直尺在圖2中畫出點(diǎn)Q；②若PQ=2t，求p219．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線y=?14x2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)D為線段AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，若DE=DF，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．(3)P是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，已知∠PBA=∠BAO