廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高三上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

廣東省深圳市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分為150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和學(xué)號(hào)填寫在答題卡密封線內(nèi)相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的學(xué)號(hào)填涂在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫在答卷紙各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無效；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔和平整.第一部分選擇題（共60分）一?單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每題5分，共40分）1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值（

）A．-2 B．-2或1 C．2 D．14．若實(shí)數(shù)a使得“，”為真命題，實(shí)數(shù)a使得“，”為真命題，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知曲線的離心率為2，則（

）A．2 B．2或1 C．-1 D．-96．將函數(shù)（其中>0）的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是A． B．1 C． D．27．若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．拉格朗日中值定理又稱拉氏定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，且在上可導(dǎo)，則必有，使得.已知函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的最大值為（

）A．1 B． C． D．0二?多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每題5分，少選得2分，共20分）9．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)B．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐C．兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．平行于同一直線的兩直線平行10．下列各式正確的是（

）A．設(shè)，則B．已知，則C．若，，則D．11．如圖所示，設(shè)單位圓與x軸的正半軸相交于點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作銳角，，，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)，，P，則下列說法正確的是（

）A．B．扇形的面積為C．D．當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，M為棱的中點(diǎn)，N為棱上的點(diǎn)，且，則（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C到平面BDN的距離為C．當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為D．對(duì)任意，直線與都是異面直線第二部分非選擇題（共90分）三?填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．已知冪函數(shù)滿足，則.14．已知，求數(shù)列.15．隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)攝影越來越得到人們的喜愛，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺更自然，更舒適．“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個(gè)交叉點(diǎn)即為黃金分割點(diǎn)．如圖，分別用A，B，C，D表示黃金分割點(diǎn)．若照片長(zhǎng)、寬比例為4：3，設(shè)，則．

16．已知函數(shù)的定義域和值域均為，的導(dǎo)數(shù)為，，則的取值范圍是．四?解答題（本題共6小題，共70分）（解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17．已知圓，直線，過的直線與圓相交于兩點(diǎn)，(1)當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，求證：直線過圓心.(2)當(dāng)時(shí)，求直線的方程.18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中并作答．問題：在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且____．(1)求角C；(2)若，求的取值范圍．19．設(shè)等差數(shù)列的公差為，且.令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求.20．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，.(1)求證：；(2)若點(diǎn)為棱上不與端點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，且與平面所成角正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.21．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）

步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點(diǎn)；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.現(xiàn)對(duì)這些折痕所圍成的圖形進(jìn)行建模研究.若取半徑為6的圓形紙片，如圖，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為4，按上述方法折紙.以點(diǎn)所在的直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.(1)若已研究出折痕所圍成的圖形即是折痕與線段交點(diǎn)的軌跡，求折痕圍成的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記（1）問所得圖形為曲線，若過點(diǎn)且不與軸垂直的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線斜率之積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．設(shè)函數(shù)（）.(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，記過點(diǎn)，的直線的斜率為，若，證明.1．B【分析】根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】由題意可得,,或，對(duì)于A,或，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：B2．C【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算，得，由幾何意義判斷在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】由，得，則，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C3．A【分析】根據(jù)平行得到方程，求出或，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線都為，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，兩直線平行，滿足要求；故選：A4．B【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，進(jìn)而根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】對(duì)于，，所以，即.對(duì)于，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則，即.所以p是q的必要不充分條件.故選：B.5．D【分析】對(duì)分類討論結(jié)合圓錐曲線離心率公式即可求解.【詳解】由題意，若大于0且不等于3，則或，兩個(gè)方程都無解，所以只能，所以，解得.故選：D.6．D【詳解】試題分析：函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為，因?yàn)樗膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)?，所以的最小值是，故選D.考點(diǎn)：1.圖象平移變換；2.正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).7．B【分析】首先，對(duì)勾函數(shù)和都是遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，再求交集即可實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)勾函數(shù)取值要大于或等于指數(shù)式的值，所以，解之得：，綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B8．C【分析】根據(jù)題意得到，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而求出最大值，得到答案.【詳解】由題意得，，不妨設(shè)，則存在，使得，又，故，其中，故，由于，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，，故實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C9．ABC【分析】由線線位置關(guān)系、棱臺(tái)、棱錐以及棱柱的定義即可逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，棱臺(tái)是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，它應(yīng)該保證各側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，棱錐有一個(gè)面是多變形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖所示，

若下面是一個(gè)正四棱柱，上面是一個(gè)以正四棱柱上底面為下底面的斜四棱柱，但它們的組合體不是棱柱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由平行線的傳遞性可知D正確.故選：ABC.10．BCD【分析】由冪指數(shù)的運(yùn)算可判斷AB,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式可判斷CD.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C,由，得，所以，故C正確，對(duì)于D，，故D正確，故選：BCD11．ACD【分析】由題意圓的半徑在平面直角坐標(biāo)系中寫出的坐標(biāo)用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即可得A選項(xiàng)；選項(xiàng)B，利用扇形的面積公式計(jì)算即可；選項(xiàng)C，利用兩點(diǎn)間的距離公式寫出化簡(jiǎn)即可；選項(xiàng)D，分別表示出來化簡(jiǎn)即可【詳解】由題意圓的半徑選項(xiàng)A：由題意得所以所以，故A正確；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以扇形的面積，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以故D正確故選：ACD.12．BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，直接求解平面的法向量，判斷與法向量是否垂直即可，對(duì)于B，直接求解平面的法向量，利用距離公式求解，對(duì)于C，連接交于，過作平面的垂線，則外接球球心在此垂線上，然后利用勾股定理可求出球的半徑，從而可求出表面積，對(duì)于D，利用異面直線的定義判斷即可.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以與不垂直，所以與平面不平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)C到平面BDN的距離為，所以B正確，對(duì)于C，連接交于，過作平面的垂線，則外接球球心在此垂線上，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為，所以C正確，對(duì)于D，對(duì)任意，因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，點(diǎn)在平面外，且直線與平面交于點(diǎn)，直線不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線與都是異面直線，所以D正確，故選：BCD13．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，則，解得或，又因?yàn)?，所以，故答案?14．【分析】由已知條件時(shí)，求出，時(shí)通過前項(xiàng)和與前項(xiàng)和作差得，可得通項(xiàng)公式.【詳解】時(shí)，，時(shí)，由，有，兩式相減，得，則有，時(shí)，不符合，所以.故15．【分析】根據(jù)題意可得，然后結(jié)合二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，所以，故答案為.16．【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】令，則，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，又,，的取值范圍是，故17．(1)證明見解析(2)或【分析】（1）由直線垂直求出方程，代入圓心坐標(biāo)即可得證；（2）分直線斜率是否存在討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及勾股定理即可求解.【詳解】（1）由已知，故，所以直線的方程為.將圓心代入方程易知過圓心.（2）因?yàn)?，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，所以直線的方程為，即；綜上：直線的方程為或.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換，結(jié)合正余弦定理邊角互化，即可逐一求解，（2）根據(jù)正弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）若選①：，則，∴∴∵，，∴，∵，∴.若選②：，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴．若選③：，則，由正弦定理得，∴∴，∴，∵，∴．（2）由正弦定理得，故，則，，由于，，，∴.19．(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算以及定義即可求解；（2）由等差數(shù)列基本量的計(jì)算結(jié)合分類討論即可求解.【詳解】（1），解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，即，解得或，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，即，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時(shí)，，解得.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直證得線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的正弦值確定點(diǎn)位置，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求得結(jié)果.【詳解】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面且平面，故，（2）∵中，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面,平面，∴.以為原點(diǎn)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,，，，，，，設(shè)，其中，則，取平面法向量，，設(shè)與平面所成角為，，解得（舍）或，則，，，，設(shè)平面的法向量為.，，解得，故.21．(1)(2)存在點(diǎn)使得和之積為.【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，利用橢圓的定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)斜率的定義求解.【詳解】（1）如圖，以所在的直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知，∴點(diǎn)的軌跡點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的橢圓，∵，，∴，∴，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

（2）設(shè)直線的方程為，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去得，其中，設(shè)，，則，消去和可得，要使為定值，則，∵，∴，此時(shí)，∴存在點(diǎn)使得和之積為.

22．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出直線的斜率，得，令，，要證：，即證和，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】（1），令，.①當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞增：②當(dāng)時(shí)，，的兩根都小于0，在上大于0，所以在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由，解得，，