微專題1 函數(shù)的圖象與性質(zhì)

高考定位1.以分段函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域、最值與值域、奇偶性和單調(diào)性；2.利用函數(shù)的性質(zhì)推斷函數(shù)的圖象；3.利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)、方程及不等式的解集，綜合性較強．【真題體驗】1.(2024·天津卷)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A.f(x)＝eq\f(ex－x2,x2＋1) B.f(x)＝eq\f(cosx＋x2,x2＋1)C.f(x)＝eq\f(ex－x,x＋1) D.f(x)＝eq\f(sinx＋4x,e|x|)2.(2024·全國甲卷)函數(shù)f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在區(qū)間[－2.8，2.8]的圖象大致為()3.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2ax－a，x<0，,ex＋ln（x＋1），x≥0))在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A.(－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，1] D.[0，＋∞)4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k＝1))f(k)＝()A.－3 B.－2C.0 D.1【熱點突破】熱點一函數(shù)的概念與表示1.復合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍即為f(g(x))的定義域.(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域.2.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.例1(1)(2024·江蘇三校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[－2，3]，則y＝eq\f(f（x）,\r(x＋2))的定義域是()A.[－2，5] B.(－2，3]C.[－1，3] D.(－2，5](2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－2x－1，x<0，))若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2，＋∞) B.[－2，0)∪(0，2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)訓練1(1)(2024·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,9x，x≤0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.2(2)19世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈?RQ，))它在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)f(x)＝x2－D(x)，則下列實數(shù)不屬于函數(shù)f(x)值域的是()A.3 B.2C.1 D.0熱點二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)).2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法.3.函數(shù)圖象的對稱中心或?qū)ΨQ軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足關系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.考向1奇偶性與單調(diào)性例2(多選)(2024·河南名校大聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則()A.f[f(1)]<f[f(2)] B.f[g(1)]<f[g(2)]C.g[f(1)]<g[f(2)] D.g[g(1)]<g[g(2)]考向2奇偶性、周期性與對稱性例3(多選)(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函數(shù)，且g(0)＝eq\f(1,3)，則下列說法正確的有()A.g(x)關于x＝－1對稱 B.f(x)關于(1，0)對稱C.g(x)是周期函數(shù) D.eq\o(∑,\s\up6(12),\s\do4(i＝1))ig(2i)＝4訓練2(1)(2024·烏魯木齊質(zhì)檢)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式f(2x－3)>0的解集為()A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)(2)(多選)(2024·茂名模擬)已知函數(shù)f(x)對于?x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)為奇函數(shù)，且當x∈[0，1)時，f(x)＝x2，則下列結論正確的是()A.函數(shù)f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱B.f(x)是周期為2的函數(shù)C.f(－1)＝0D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\f(1,4)熱點三函數(shù)的圖象1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換和翻折變換.2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、解不等式、求解函數(shù)的零點等問題.例4(1)(2024·運城模擬)已知符號函數(shù)sgn(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0.))則函數(shù)f(x)＝sgn(x)·ln(x＋eq\r(x2＋1))的圖象大致為()(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結論正確的是()A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤4訓練3(1)(2024·臺州模擬)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式可能為()A.y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x)) B.y＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))C.y＝f(4－2x) D.y＝－f(4－2x)(2)(2024·西安質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x∈(0，3)∪(3，＋∞)時，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，則不等式f(x)>0的解集為________.【精準強化練】一、單選題1.(2024·哈爾濱質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2，3]，則函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是()A.[－5，5] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C.[－2，3] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))2.(2024·河南適應性考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1－1，x≥1，,－log3（x＋5）－2，x<1，))且f(m)＝－2，則f(m＋6)＝()A.－16 B.16C.26 D.273.(2024·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(a,2x)))·cosx是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝()A.1 B.－1C.2 D.－24.(2024·晉城模擬)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足?x，y∈(0，＋∞)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋eq\f(1,x＋y)－eq\f(x＋y,xy)，f(x)>0，且f(1)·f(2)＝5，則f(1)＝()A.1 B.2C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)5.(2024·濟南質(zhì)檢)若實數(shù)m滿足log2(－m)<m＋1，則m的取值范圍為()A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C.(－∞，－1) D.(－1，0)6.(2024·自貢模擬)函數(shù)y＝eq\f(lg（1＋x2）,cosx)的圖象可能為()7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且當x<3時，f(x)＝x，則下列結論中一定正確的是()A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<100003，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，顯然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故選B.8.已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足下列三個條件：①當－1≤x≤0時，f(x)＝2x－ex＋eq\f(1,ex)；②y＝f(x＋1)的圖象關于y軸對稱；③?x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x).則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))的大小關系是()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3))) B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3))) D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))二、多選題9.(2024·長沙模擬)下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()A.y＝ex－e－x B.y＝x3－x2C.y＝tan2x D.y＝log2eq\f(1＋x,1－x)10.(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x)－x與g(1－2x)均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有()A.f(x)關于x＝1對稱 B.eq\f(f（x）,x)關于點(0，1)對稱C.g(x＋2)＋g(x)＝2 D.f(0)＝111.(2024·泰安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,\f(6,x－8)－2，x>10，))令g(x)＝f(x)－m，則()A.m<0或m>1時，g(x)有1個零點B.若g(x)有2個零點，則m＝0或m＝1C.f(x)的值域是(－2，＋∞)D.若g(x)有3個零點，x1，x2，x3，且x1<x2<x3，則x1x2x3的取值范圍為(10，11)三、填空題12.已知函數(shù)f(x)＝e|x|－coseq\f(π,2)x，則使得f(x－1)>f(2x)成立的x的取值范圍是________.13.(2024·深圳測試)設a∈R，函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝a(x－1)＋1.若y＝f(x)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍為________.14.設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x≤0，,－x2＋x，x＞0，))則f(f(－ln2))＝________；當x∈(－∞，m]時，f(x)的值域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,4)))，則m的取值范圍是________.【解析版】1.(2024·天津卷)下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A.f(x)＝eq\f(ex－x2,x2＋1) B.f(x)＝eq\f(cosx＋x2,x2＋1)C.f(x)＝eq\f(ex－x,x＋1) D.f(x)＝eq\f(sinx＋4x,e|x|)答案B解析法一對于A，f(－x)＝eq\f(e－x－（－x）2,（－x）2＋1)＝eq\f(e－x－x2,x2＋1)≠f(x)，故f(x)不是偶函數(shù)；對于B，f(－x)＝eq\f(cos（－x）＋（－x）2,（－x）2＋1)＝eq\f(cosx＋x2,x2＋1)＝f(x)，故f(x)是偶函數(shù)；對于C，f(x)的定義域為{x|x≠－1}，不關于原點對稱，故f(x)不是偶函數(shù)；對于D，f(－x)＝eq\f(sin（－x）＋4（－x）,e|－x|)＝eq\f(－sinx－4x,e|x|)＝－eq\f(sinx＋4x,e|x|)＝－f(x)，故f(x)是奇函數(shù).故選B.法二易知y＝x2＋1與y＝e|x|均為偶函數(shù)，且恒為正.對于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函數(shù)，所以f(x)也是非奇非偶函數(shù)；對于B，y＝cosx＋x2是偶函數(shù)，所以f(x)是偶函數(shù)；對于C，易知f(x)的定義域不關于原點對稱，所以f(x)是非奇非偶函數(shù)；對于D，y＝sinx＋4x是奇函數(shù)，所以f(x)是奇函數(shù)，故選B.2.(2024·全國甲卷)函數(shù)f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在區(qū)間[－2.8，2.8]的圖象大致為()答案B解析由題知函數(shù)f(x)的定義域為R，關于原點對稱，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關于y軸對稱，排除A，C；f(1)＝－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,e)))sin1>－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e－\f(1,e)))sineq\f(π,6)＝－1＋eq\f(e,2)－eq\f(1,2e)>0，排除D.故選B.3.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－2ax－a，x<0，,ex＋ln（x＋1），x≥0))在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A.(－∞，0] B.[－1，0]C.[－1，1] D.[0，＋∞)答案B解析因為函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且當x<0時，f(x)＝－x2－2ax－a，所以f(x)＝－x2－2ax－a在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以－a≥0，即a≤0；當x≥0時，f(x)＝ex＋ln(x＋1)，所以函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，則－a≤f(0)＝1，即a≥－1.綜上，實數(shù)a的取值范圍是[－1，0].故選B.4.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k＝1))f(k)＝()A.－3 B.－2C.0 D.1答案A解析因為f(1)＝1，在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1).②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由①式得f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根據(jù)函數(shù)的周期性知，eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故選A.【熱點突破】熱點一函數(shù)的概念與表示1.復合函數(shù)的定義域(1)若f(x)的定義域為[m，n]，則y＝f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范圍即為f(g(x))的定義域.(2)若f(g(x))的定義域為[m，n]，則由m≤x≤n得到g(x)的范圍，即為f(x)的定義域.2.分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.例1(1)(2024·江蘇三校聯(lián)考)已知函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[－2，3]，則y＝eq\f(f（x）,\r(x＋2))的定義域是()A.[－2，5] B.(－2，3]C.[－1，3] D.(－2，5](2)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－2x－1，x<0，))若a[f(a)－f(－a)]>0，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(2，＋∞) B.[－2，0)∪(0，2]C.(－∞，－2]∪[2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)答案(1)D(2)D解析(1)因為函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是[－2，3]，所以－2≤x≤3，所以－5≤2x－1≤5，所以函數(shù)y＝f(x)的定義域為[－5，5].要使y＝eq\f(f（x）,\r(x＋2))有意義，則需要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5≤x≤5，,x＋2>0，))解得－2<x≤5，所以y＝eq\f(f（x）,\r(x＋2))的定義域是(－2，5].故選D.(2)由a[f(a)－f(－a)]>0，若a>0，則f(a)－f(－a)>0，即a＋1－[－2×(－a)－1]>0，解得a<2，所以0<a<2.若a<0，則f(a)－f(－a)<0，即－2a－1－(－a＋1)<0，解得a>－2，所以－2<a<0，綜上，a的取值范圍為(－2，0)∪(0，2).規(guī)律方法1.解決抽象函數(shù)定義域問題時，謹記f(g(x))中g(x)的值域與f(x)中x的范圍相同.2.對于多段函數(shù)的解不等式(求值)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解.訓練1(1)(2024·西安模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,9x，x≤0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.2(2)19世紀德國數(shù)學家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈?RQ，))它在現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)f(x)＝x2－D(x)，則下列實數(shù)不屬于函數(shù)f(x)值域的是()A.3 B.2C.1 D.0答案(1)A(2)C解析(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log3x，x>0，,9x，x≤0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log3eq\f(1,2)<0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))＝9log3eq\f(1,2)＝(3log3eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).(2)由題意可知f(x)＝x2－D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－1，x∈Q，,x2，x∈?RQ.))所以f(1)＝12－1＝0，f(eq\r(2))＝(eq\r(2))2＝2，f(eq\r(3))＝(eq\r(3))2＝3，而f(x)＝1無解.熱點二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的奇偶性(1)定義：若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則有：f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x).(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)×奇函數(shù)是偶函數(shù)).2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法.3.函數(shù)圖象的對稱中心或?qū)ΨQ軸(1)若函數(shù)f(x)滿足關系式f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱.(2)若函數(shù)f(x)滿足關系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.考向1奇偶性與單調(diào)性例2(多選)(2024·河南名校大聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，則()A.f[f(1)]<f[f(2)] B.f[g(1)]<f[g(2)]C.g[f(1)]<g[f(2)] D.g[g(1)]<g[g(2)]答案BD解析因為f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且兩函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，即g(x)在R上單調(diào)遞減，所以f(1)<f(2)，但不能判定兩個的正負，所以A不正確；而g(2)<g(1)<g(0)＝0，所以f[g(1)]<f[g(2)]，g[f(1)]>g[f(2)]，g[g(1)]<g[g(2)]，故B，D正確.綜上所述，選BD.考向2奇偶性、周期性與對稱性例3(多選)(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x－1)和g(2x＋1)都是奇函數(shù)，且g(0)＝eq\f(1,3)，則下列說法正確的有()A.g(x)關于x＝－1對稱 B.f(x)關于(1，0)對稱C.g(x)是周期函數(shù) D.eq\o(∑,\s\up6(12),\s\do4(i＝1))ig(2i)＝4答案ACD解析因為f(x－1)為奇函數(shù)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，所以f′(x－1)＝f′(－x－1)，即g(x－1)＝g(－x－1)，所以g(x)的圖象關于直線x＝－1對稱.故A正確；因為f(x－1)為奇函數(shù)，則其圖象關于(0，0)對稱，向左平移一個單位后得到f(x)的圖象，則f(x)的圖象關于(－1，0)對稱，故B錯誤；因為g(2x＋1)為奇函數(shù)，則g(2x＋1)＝－g(－2x＋1)，則有g(x＋1)＝－g(－x＋1)，所以g(x)＝－g(－x＋2)，①又g(x－1)＝g(－x－1)，則g(x)＝g(－x－2)，②由①②得g(－x－2)＝－g(－x＋2)，則g(x－2)＝－g(x＋2)，則g(x)＝－g(x＋4)，g(x＋4)＝－g(x＋8)，則g(x)＝g(x＋8)，所以8是函數(shù)g(x)的一個周期，g(x)是周期函數(shù)，故C正確；因為g(0)＝eq\f(1,3)，g(x)＝－g(－x＋2)，g(x)＝－g(x＋4)所以g(2)＝－g(2－2)＝－g(0)＝－eq\f(1,3)，g(4)＝－g(0)＝－eq\f(1,3)，g(6)＝－g(2)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(∑,\s\up6(12),\s\do4(i＝1))ig(2i)＝(－1－2＋3＋4－5－6＋7＋8－9－10＋11＋12)×eq\f(1,3)＝4，故D正確，故選ACD.規(guī)律方法1.若f(x＋a)＝－f(x)(或f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，其中f(x)≠0)，則f(x)的一個周期為2|a|.2.若f(x)的圖象關于直線x＝a和x＝b對稱，則f(x)的一個周期為2|a－b|.3.若f(x)的圖象關于點(a，0)和直線x＝b對稱，則f(x)的一個周期為4|a－b|.訓練2(1)(2024·烏魯木齊質(zhì)檢)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝0，則不等式f(2x－3)>0的解集為()A.(－2，－1) B.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)C.(1，2) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)(2)(多選)(2024·茂名模擬)已知函數(shù)f(x)對于?x∈R，都有f(x)＝f(－x)，f(x＋1)為奇函數(shù)，且當x∈[0，1)時，f(x)＝x2，則下列結論正確的是()A.函數(shù)f(x)的圖象關于點(1，0)中心對稱B.f(x)是周期為2的函數(shù)C.f(－1)＝0D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝eq\f(1,4)答案(1)D(2)ACD解析(1)因為f(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以結合對稱性可得f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，且f(－1)＝f(1)＝0，若f(2x－3)>0，則2x－3>1或2x－3<－1，故x>2或x<1，故選D.(2)由題意f(x＋1)為奇函數(shù)得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即f(－x)＋f(x＋2)＝0，故f(x)的圖象關于(1，0)中心對稱，故A正確；由f(－x)＝f(x)，f(－x)＋f(x＋2)＝0得f(x)＝－f(2＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期為4的函數(shù)，故B錯誤；由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，則f(1)＝－f(1)，因為f(1)＝0，故f(－1)＝f(1)＝0，故C正確；x∈[0，1)時，f(x)＝x2,因為f(x)的周期為4，對?x∈R，都有f(x)＝f(－x)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,4)，故D正確.熱點三函數(shù)的圖象1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換和翻折變換.2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、解不等式、求解函數(shù)的零點等問題.例4(1)(2024·運城模擬)已知符號函數(shù)sgn(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0.))則函數(shù)f(x)＝sgn(x)·ln(x＋eq\r(x2＋1))的圖象大致為()(2)(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,|log2x|，x>0，))若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結論正確的是()A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1C.1<x4<4 D.0<x1x2x3x4≤4答案(1)D(2)AB解析(1)sgn(x)定義域為R，且為奇函數(shù)，故sgn(－x)＝－sgn(x)，故f(x)＝sgn(x)·ln(x＋eq\r(x2＋1))的定義域為R，且f(－x)＝sgn(－x)·ln(－x＋eq\r(（－x）2＋1))＝－sgn(x)·ln(－x＋eq\r(x2＋1))＝－sgn(x)·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))＝sgn(x)·ln(eq\r(x2＋1)＋x)＝f(x)，故f(x)＝sgn(x)·ln(x＋eq\r(x2＋1))為偶函數(shù)，排除AB；當x＝1時，f(1)＝sgn(1)·ln(1＋eq\r(2))＝ln(1＋eq\r(2))>0，排除C，故選D.(2)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2－4x，x≤0，,|log2x|，x>0))的圖象如圖所示，設f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，則0<t<4，則直線y＝t與函數(shù)y＝f(x)圖象的4個交點橫坐標分別為x1，x2，x3，x4，對于A，函數(shù)y＝－x2－4x的圖象關于直線x＝－2對稱，則x1＋x2＝－4，故A正確；對于B，由圖象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0<x3<1<x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正確；由圖象可知log2x4∈(0，4)，則1<x4<16，故C錯誤；由圖象可知－4<x1<－2，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－xeq\o\al(2,1)－4x1＝－(x1＋2)2＋4∈(0，4)，故D錯誤.規(guī)律方法1.確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.2.函數(shù)圖象的應用主要體現(xiàn)為數(shù)形結合思想，借助于函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題.訓練3(1)(2024·臺州模擬)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖①所示，則如圖②所示的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解析式可能為()A.y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x)) B.y＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))C.y＝f(4－2x) D.y＝－f(4－2x)(2)(2024·西安質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x∈(0，3)∪(3，＋∞)時，f(－x)>2f(x)，f(3)＝0，則不等式f(x)>0的解集為________.答案(1)A(2)(－∞，－3)∪(－3，0)解析(1)由f(x)關于y軸對稱得f(－x)，再向右平移1個單位，得f(－x＋1)，最后橫坐標伸長2倍得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋1))，即得圖②所示的函數(shù).(2)依題意知，f(0)＝0，當x∈(0，3)∪(3，＋∞)時，f(－x)>2f(x)，即－f(x)>2f(x)，得f(x)<0，由f(3)＝0，得f(－3)＝－f(3)＝0，由此畫出f(x)的可能圖象如圖所示，由圖可知，不等式f(x)>0的解集為(－∞，－3)∪(－3，0).【精準強化練】一、單選題1.(2024·哈爾濱質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2，3]，則函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是()A.[－5，5] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C.[－2，3] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))答案B解析函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2，3]，則－2≤2x－1≤3，解得－eq\f(1,2)≤x≤2，所以函數(shù)y＝f(2x－1)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2)).故選B.2.(2024·河南適應性考試)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋1－1，x≥1，,－log3（x＋5）－2，x<1，))且f(m)＝－2，則f(m＋6)＝()A.－16 B.16C.26 D.27答案C解析若m≥1，則f(m)＝3m＋1－1＝－2，所以3m＋1＝－1，無解；若m<1，則f(m)＝－log3(m＋5)－2＝－2，所以log3(m＋5)＝0，所以m＝－4，所以f(m＋6)＝f(2)＝32＋1－1＝26，故選C.3.(2024·湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(a,2x)))·cosx是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝()A.1 B.－1C.2 D.－2答案B解析∵f(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x－\f(a,2－x)))cos(－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a·2x＋\f(1,2x)))cosx，f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，則－a＝1，解得a＝－1.4.(2024·晉城模擬)已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足?x，y∈(0，＋∞)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋eq\f(1,x＋y)－eq\f(x＋y,xy)，f(x)>0，且f(1)·f(2)＝5，則f(1)＝()A.1 B.2C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)答案B解析令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＝2f(1)＋eq\f(1,2)－2，即f(2)－2f(1)＝－eq\f(3,2)，①又f(1)·f(2)＝5，②聯(lián)立①②解得f(1)＝2或f(1)＝－eq\f(5,4)，又f(x)>0，所以f(1)＝2.5.(2024·濟南質(zhì)檢)若實數(shù)m滿足log2(－m)<m＋1，則m的取值范圍為()A.(－∞，0) B.(0，＋∞)C.(－∞，－1) D.(－1，0)答案D解析log2(－m)<m＋1?log2(－m)－m－1<0，因函數(shù)y＝log2(－x)，y＝－x－1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)＝log2(－x)－x－1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，又f(－1)＝0，則f(m)<0?f(m)<f(－1)?－1<m<0.6.(2024·自貢模擬)函數(shù)y＝eq\f(lg（1＋x2）,cosx)的圖象可能為()答案D解析由cosx≠0，解得x≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以函數(shù)y＝eq\f(lg（1＋x2）,cosx)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，所以f(－x)＝eq\f(lg[（1＋（－x）2）],cos（－x）)＝eq\f(lg（1＋x2）,cosx)＝f(x)，所以y＝eq\f(lg（1＋x2）,cosx)為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關于y軸對稱，排除B；而f(0)＝eq\f(lg（1＋02）,cos0)＝0，排除C；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(π2,9))),cos\f(π,3))＝2lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(π2,9)))>2lg2>0，排除A，故選D.7.(2024·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，且當x<3時，f(x)＝x，則下列結論中一定正確的是()A.f(10)>100 B.f(20)>1000C.f(10)<1000 D.f(20)<10000答案B解析因為當x<3時，f(x)＝x，所以f(1)＝1，f(2)＝2.對于f(x)>f(x－1)＋f(x－2)，令x＝3，得f(3)>f(2)＋f(1)＝2＋1＝3；令x＝4，得f(4)>f(3)＋f(2)>3＋2＝5；令x＝5，得f(5)>f(4)＋f(3)>5＋3＝8；不等式右側(cè)恰好是裴波那契數(shù)列從第3項起的各項：3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，…，顯然f(16)>1000，所以f(20)>1000，故選B.8.已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足下列三個條件：①當－1≤x≤0時，f(x)＝2x－ex＋eq\f(1,ex)；②y＝f(x＋1)的圖象關于y軸對稱；③?x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x).則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))的大小關系是()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3))) B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3))) D.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))答案A解析因為函數(shù)y＝f(x＋1)的圖象關于y軸對稱，則f(1＋x)＝f(1－x)，故f(2－x)＝f(1－(x－1))＝f(x－1＋1)＝f(x)，f(2＋x)＝f(1＋(x＋1))＝f(1－(x＋1))＝f(－x).又因為?x∈R，都有f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù).所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(5,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))).因為當－1≤x≤0時，f(x)＝2x－ex＋eq\f(1,ex)，f′(x)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤2－2eq\r(ex·\f(1,ex))＝0，當且僅當x＝0時，等號成立，故f′(x)≤0，又f′(x)不恒為零，故函數(shù)f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞減.因為－1<－eq\f(2,3)<－eq\f(1,2)<－eq\f(1,3)<0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3))).二、多選題9.(2024·長沙模擬)下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()A.y＝ex－e－x B.y＝x3－x2C.y＝tan2x D.y＝log2eq\f(1＋x,1－x)答案ACD解析對于A，y＝f(x)＝ex－e－x的定義域為R，關于原點對稱，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故A滿足題意；對于B，若y＝f(x)＝x3－x2，則f(1)＝0≠f(－1)＝－2，故B不滿足題意；對于C，y＝f(x)＝tan2x的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))，關于原點對稱，且f(－x)＝tan(－2x)＝－tan2x＝－f(x)，故C滿足題意；對于D，y＝f(x)＝log2eq\f(1＋x,1－x)的定義域為(－1，1)，關于原點對稱，且f(－x)＝log2eq\f(1－x,1＋x)＝－log2eq\f(1＋x,1－x)＝－f(x)，故D滿足題意.10.(2024·邵陽模擬)已知函數(shù)f(x)與其導函數(shù)g(x)的定義域均為R，且f(x)－x與g(1－2x)均為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的有()A.f(x)關于x＝1對稱 B.eq\f(f（x）,x)關于點(0，1)對稱C.g(x＋2)＋g(x)＝2 D.f(0)＝1答案BC解析對于A，因為f(x)－x是偶函數(shù)，所以f(x)－x＝f(－x)＋x，則f(1－x)－(1－x)＝f(x－1)＋1－x，f(1＋x)－(1＋x)＝f(－1－x)＋1＋x，所以f(1－x)－(1－x)≠f(1＋x)－(1＋x)，故A錯誤；對于B，因為f(x)－x為偶函數(shù)，所以f(x)－x＝f(－x)＋x，即f(x)－f(－x)＝2x，所以eq\f(f（x）,x)－eq\f(f（－x）,x)＝eq\f(f（x）,x)＋eq\f(f（－x）,－x)＝2，B正確；對于C，因為g(1－2x)是偶函數(shù)，所以g(1－2x)＝g(1＋2x)，即g(1－x)＝g(1＋x)，故g(x)的圖象關于x＝1對稱，又f(x)－x為偶函數(shù)，所以f′(x)－x′＝g(x)－1為奇函數(shù)，所以g(x)－1關于(0，0)對稱，g(x)關于(0，1)對稱，所以g(－x)＋g(x)＝2.又g(x)關于x＝1對稱，所以g(1＋(x＋1))