山東省威海市文登區(qū)2025屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省威海市文登區(qū)2025屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，所以，或x>1，由，得，所以，所以.故選：D.2.設復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】由，可得，則，則.故選：C3.已知命題，命題，則成立是成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解：由，得，解得；由，得，當時，成立；當時，，解得，綜上，所以成立是成立的充分不必要條件，故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A5.已知為橢圓的上焦點，為上一點，為圓上一點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由圓方程得：圓心，半徑；由橢圓方程得：，，設橢圓下焦點為，則，由橢圓定義知：，；（當且僅當三點共線時取等號），，又（當且僅當三點共線時取等號），，即的最大值為.故選：D.6.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，則，則是偶函數(shù)，又，當時，恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，且，即，所以，則，所以選項B正確，當時，，所以選項A和D錯誤，當時，，所以選項C錯誤，故選：B.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，.函數(shù)，則與的圖像所有交點的橫坐標之和為（）A.6 B.8 C.10 D.14【答案】C【解析】依題意，是定義在R上的偶函數(shù)，圖像關于直線對稱，因為，所以，所以是周期為周期函數(shù)，所以的圖像關于直線對稱.函數(shù)的圖像也關于直線對稱.當時，.當時，，，當時，，，，所以直線與曲線y=gx相切于點畫出、在區(qū)間上的圖像如下圖所示，由圖可知，兩個函數(shù)圖像有個公共點，所以所有交點的橫坐標之和為.故選：C8.在中，，，是所在平面內(nèi)一點，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是的一個周期 B.是的一條對稱軸C.的值域為 D.在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】圖像如圖所示：由圖像可得，函數(shù)的最小正周期為2π，故選項A是的一條對稱軸，故選項B正確，符合題意；的值域為，故選項C正確，符合題意；在上先增后減，選項D錯誤，不符合題意；故選：BC.10.如圖，在四邊形中，為邊上的一列點，連接交于點，且滿足，其中數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，則（）A.數(shù)列為等比數(shù)列B.數(shù)列的前項和為C.數(shù)列為遞增數(shù)列D.【答案】ABD【解析】A選項，因為為邊上的一列點，設，即，所以，即，所以，即，所以數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，A正確；B選項，因為，所以，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，，的前項和為，B正確；CD選項，，故，顯然，則數(shù)列不是遞增數(shù)列，C錯誤，D正確.故選：ABD11.已知正方體的棱長為，點滿足，則（）A.點到平面的距離為B.二面角的正弦值為C.當時，過點的平面截該正方體外接球所得截面面積的取值范圍為D.若是對角線上一點，則的最小值為【答案】ACD【解析】如圖1，易知，面，面，所以面，對于選項A，因為，即點在線段上（含端點），因為面，所以到平面的距離，也即到平面的距離，連接交于，易知為中點，則到平面的距離等于到平面的距離，又正方體的棱長為，則，所以，設到平面的距離為，由，得到，解得，所以選項A正確，對于選項B，如圖1，取中點，中點，連接，易知，所以為二面角的平面角，在中，，，所以，則，所以選項B錯誤，對于選項C，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對角線長，則，當過點的平面經(jīng)過球心時，此時平面截該正方體外接球所得截面面積最大，截面面積為，當過點的平面經(jīng)不過球心時，不妨設截面圓的半徑為，球心到截面圓的距離為，則，顯然有，當且僅當為截面圓的圓心時取等號，即截面圓的直徑為，此時，所以平面截該正方體外接球所得截面面積最小值為，故選項C正確，對于選項D，如圖2，將平面繞著旋轉到位置，使之與平面在一個平面內(nèi)，因是對角線上一點，要使最小，需使三點共線，且.設，則，故，于，故選項D正確，故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側面積為__________.【答案】【解析】如圖作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意可知,,所以可得,根據(jù)三角形相似可得,所以,可求得,根據(jù)圓柱側面積公式可得.故答案為：13.已知函數(shù)，若將函數(shù)的圖像上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再將得到的圖像向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖像關于軸對稱，則__________.【答案】【解析】，變換后函數(shù)式為，它的圖像關于軸對稱，則，,又，所以，故答案為：．14.已知，是雙曲線的左?右焦點，過的直線與的左?右兩支分別交于，兩點.若以的中心為圓心，的長為直徑的圓與的右支的一個交點恰為，若，，成等差數(shù)列，則的漸近線方程為__________.【答案】【解析】如圖所示，由已知以的中心為圓心，的長為直徑的圓過點，可知，再由，，成等差數(shù)列，得，由雙曲線定義可知，，則，即，，又，則，即，則，即漸近線方程為，故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和記為，其中為常數(shù)且.（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；（2）若，求.解：（1）當時，，解得，當時，，解得，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，公差為2，所以.（2）當時，①所以②所以②-①得，，因為，所以，當時，，解得，所以數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，首項為，公差為；偶數(shù)項成等差數(shù)列，首項為，公差為，所以.16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，如圖，是上的動點，且始終等于，記.當為何值時，的面積取到最小值，并求出最小值.解：（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因，所以，所以，因為，所以；（2）因為，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因為，所以，當時，取得最小值，此時，即，所以當時，的面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面為等邊三角形，，為的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值的最大值.（1）證明：取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以因為平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為為等邊三角形，為的中點，所以，因為平面，所以平面.（2）解：連接，因為，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則所以，設平面的一個法向量為，則，可得，令，則，設直線與平面所成角為，則，因為，所以，當且僅當即時取得最大值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）令.若曲線與存在公切線，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），①當時，的定義域為0,+∞，令f'x>0，即得，所以因為，解得：；令，解得：，②當時，的定義域為，令f'x>0，即得，所以因為，解得：，令，解得：，綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知：設的切點橫坐標，則hx在處的切線方程為.③設的切點橫坐標，則在處的切線方程為.④聯(lián)立③④，得，當時，，代入方程組，不成立，所以消去得.設函數(shù)且.令，得或.令φ'x>0，解得且；令φ'x<0，解得所以φx在和上單調(diào)遞減，在12,1和上單調(diào)遞增，因為，結合圖像可知，當時，方程有解，從而當時，曲線y=gx與存在公切線19.定義二元函數(shù)，同時滿足：①