湖北省云學名校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省云學名校聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，所以直線的斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C.2.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和為，，則的值為（）A.9 B.10 C.16 D.18【答案】D【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列，因為，可得，因為，解得，又由.故選：D.3.設(shè)，，若，則m的值為（）A.5 B. C. D.【答案】C【解析】因為，則，即，所以，得.故選：C.4.已知一個動圓P與兩圓：和：都外切，則動圓P圓心的軌跡方程為（）A.（） B.C.（） D.（）【答案】A【解析】由題意易知兩圓圓心分別為，半徑分別為，設(shè)動圓圓心，半徑，則根據(jù)題意有,根據(jù)雙曲線的定義知的軌跡是以原點為中心，為左右焦點，為實軸長的雙曲線的左支，故其軌跡方程為：.故選：A5.已知兩點,,若直線上存在點滿足，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)，則，，因為，所以，即，又因為點在直線上，故直線與圓有交點，則圓心到直線的距離，所以.故選：D6.已知橢圓（）的兩焦點分別為、．若橢圓上有一點P，使，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，不妨設(shè)，由點在橢圓上可得：①，由余弦定理可得：，化簡得：②，由①式兩邊平方再減去②式，得：，于是的面積為.故選：D.7.已知拋物線（），O為原點，過拋物線C的焦點F作斜率為的直線與拋物線交于點A，B,直線AO，BO分別交拋物線的準線于點C，D,則為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，由拋物線，可得，準線方程為，則過拋物線C的焦點F作斜率為的直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則且，則，根據(jù)拋物線的定義，可得，又由，所以直線的方程為，令，可得，因為，可得，所以，同理可得，所以，所以.故選：A.8.已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，則“”是“數(shù)列是遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，即，又，所以遞減數(shù)列，若是遞減數(shù)列，則，所以，所以“”是“數(shù)列是遞減數(shù)列”充要條件.故選：B.二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知m，n為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】CD【解析】A選項，若，，則可能異面，A選項錯誤.B選項，若，，則可能相交，B選項錯誤.C選項，若，，則（線面垂直的性質(zhì)定理），C選項正確.D選項，若，，則（垂直于同一條直線的兩個平面平行），D選項正確.故選：CD10.已知數(shù)列的前項和為，，且數(shù)列即是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則（）A.是等比數(shù)列 B.是等差數(shù)列 C.是遞增數(shù)列 D.是遞減數(shù)列【答案】ABC【解析】令，則，設(shè)數(shù)列的公差為，又數(shù)列是等比數(shù)列，則，即，解得，即數(shù)列為常數(shù)列，①，當時，②，①②得，即，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，當時仍成立，AC說法正確；令，則是常數(shù)，所以是等差數(shù)列，B說法正確；令，因為當時，，即，當時，，即，所以不是遞減數(shù)列，D說法錯誤；故選：ABC11.已知拋物線C：焦點為F，點P在拋物線上，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為2B.若點，則周長最小值為C.若點Q在圓上運動，則的最小值為D.若點Q在直線上運動,且P到y(tǒng)軸距離為,則最小值為【答案】ABC【解析】易知，設(shè)，則，又，所以，當時取得最小值，故A正確；如圖所示分別過向準線作垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義可知，則周長為,當且僅當在與拋物線的交點時取得等號，故B正確；如圖所示，設(shè)，則，又，所以，當時取得最小值，此時的最小值為，即Q在線段上時，故C正確；如圖所示，分別過向直線作垂線，垂足分別為，由拋物線的定義可知：，當且僅當重合且P在線段上時取得最小值，由點到直線的距離可知，所以最小值為，故D錯誤.故選：ABC12.已知橢圓C：（，）右焦點為F，M，N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，且不在坐標軸上，線段FM、FN的中點分別為A，B，且，則橢圓C的離心率可以為（）A B. C. D.【答案】AC【解析】設(shè)橢圓短軸一個端點為P，左焦點為，連，，因為M，N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，關(guān)于原點對稱，則為平行四邊形，∵，由三角形中位線定理，可知∴，則，由橢圓得，當且僅當，即為短軸的端點時，取最小值，又因為余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，所以為短軸的端點時，最大，所以，∴，∴，則，∴，所以A、C正確.故選：AC三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分．13.點到直線的距離最大值是____________．【答案】【解析】由題意得，直線過定點，則，如圖所示，當直線與直線垂直時，此時點到直線的距離最大值，且最大值為.故答案為：.14.設(shè)，為橢圓C：的左右焦點，M為橢圓C上一點，且在第一象限，若為等腰三角形，則線段的長為____________．【答案】2【解析】依題意，，由橢圓定義，知，由為等腰三角形，知，所以.故答案為：215.已知等比數(shù)列的前3項和為7，若，則的值為____________．【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為等比數(shù)列的前項和為，且，可得，解得，所以的值為.故答案為：.16.已知正三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，若，且，則正三棱錐外接球的半徑為____________．【答案】【解析】設(shè)正三棱錐的底面中心為點，連接，則面，連接并延長，交于點，連接，如圖所示，因為底面是正三角形，則為的中點，，，又，面，面，所以面，又因為面，所以，又因為，，因為，所以，故面，又因為面，所以面，因為面，面，所以，因為三棱錐是正三棱錐，且底面是邊長為2的正三角形，所以兩兩垂直，且，將其補形成棱長為正方體，如圖：所以正三棱錐外接球的半徑為.故答案為：四、解答題：共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓心為圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）過直線上一點作圓的兩條切線,切點分別為,當最小時，求的值．解：（1）因為圓心為的圓經(jīng)過點，，所以圓心在線段中垂線上，因為，線段中點為，所以圓心在直線，即上，聯(lián)立得圓心，圓的半徑為，所以圓的方程為.（2）由題意可知，所以，所以當取最小值時最小，此時，所以此時．18.已知數(shù)列{}的首項．（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．解：（1），則數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，即（2）由（1）可知，，則利用分組求和以及錯位相消的方法可得，19.如圖,平行六面體的底面是菱形,且,，．（1）求的長．（2）求異面直線與所成的角的余弦值．解：（1），所以，即的長為.（2），又由余弦定理得，所以設(shè)所求異面直線所成角為，.20.已知數(shù)列滿足，，（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求前10項的和．解：（1）∵∴，又，，是以3為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，∴∴前10項的和為.21.如圖，已知四棱錐,面，四邊形中，，，，,,點A在平面內(nèi)的投影G恰好是的重心．（1）求證：平面⊥平面；（2）求線段的長及直線與平面所成的角的正弦值．解：（1）∵平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面，又面，平面⊥平面.（2）如圖，過作的平行線交于E，則兩兩垂直，以A為原點，以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，則，，由可得：，解得：，即，則，取中點H，則，易得，又，平面，∴面，又，故為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，∴直線與平面所成的角正弦值為.22.已知橢圓E：（）的左右頂點分別為A，B，焦距為2，P是橢圓E上異于A，B的任意一點，若直線PA，PB斜率之積為．（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)點在橢圓E的