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廣東省揭陽(yáng)市華僑高級(jí)中學(xué)2023年高三下學(xué)期一輪質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),且已證得“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí),該命題不成立,那么()A.當(dāng)時(shí),該命題不成立 B.當(dāng)時(shí),該命題成立C.當(dāng)時(shí),該命題不成立 D.當(dāng)時(shí),該命題成立2.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.3.將一塊邊長(zhǎng)為的正方形薄鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置,若其正視圖為等腰直角三角形,且該容器的容積為,則的值為()A.6 B.8 C.10 D.124.已知偶函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,,,,則,,滿(mǎn)足()A. B. C. D.5.年初,湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延,各級(jí)政府相繼啟動(dòng)重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級(jí)響應(yīng),全國(guó)人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國(guó)新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù),則下列中表述錯(cuò)誤的是()A.月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì)B.隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù)C.月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大D.我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)在月日左右達(dá)到峰值6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.118.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg9.已知四棱錐中,平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,,為的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.若平面向量,滿(mǎn)足,則的最大值為()A. B. C. D.11.己知集合,,則()A. B. C. D.12.由曲線(xiàn)y=x2與曲線(xiàn)y2=x所圍成的平面圖形的面積為()A.1 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)滿(mǎn)足,則______.14.已知平面向量,,滿(mǎn)足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.15.若,則的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)______.16.在中,,,,則繞所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積為_(kāi)_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線(xiàn):.(1)當(dāng)時(shí),求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),線(xiàn)段中點(diǎn)為,求的值.18.(12分)隨著改革開(kāi)放的不斷深入,祖國(guó)不斷富強(qiáng),人民的生活水平逐步提高,為了進(jìn)一步改善民生,2019年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策,其政策的主要內(nèi)容包括:(1)個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除;(3)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為:①贍養(yǎng)老人費(fèi)用:每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用:每個(gè)子女每月扣除1000元.新個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下:級(jí)數(shù)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)不超過(guò)3000元的部分超過(guò)3000元至12000元的部分超過(guò)12000元至25000元的部分超過(guò)25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現(xiàn)有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養(yǎng)老人,除此之外,無(wú)其它專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.請(qǐng)問(wèn)李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料,通過(guò)整理資料可知,有一個(gè)孩子的有400人,沒(méi)有孩子的有100人,有一個(gè)孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人,沒(méi)有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人,并且他們均不符合其它專(zhuān)項(xiàng)附加扣除(受統(tǒng)計(jì)的500人中,任何兩人均不在一個(gè)家庭).若他們的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類(lèi)人群繳納個(gè)稅金額的分布列與期望.19.(12分)如圖,三棱臺(tái)的底面是正三角形,平面平面,.(1)求證:;(2)若,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知不等式對(duì)于任意的恒成立.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足.求證.21.(12分)已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,且曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)在直線(xiàn)上.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線(xiàn)的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.22.(10分)追求人類(lèi)與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國(guó)特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為,試估計(jì)該企業(yè)一個(gè)月(按30天計(jì)算)的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
寫(xiě)出命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題,結(jié)合原命題與逆否命題的真假性一致進(jìn)行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設(shè)時(shí)該命題成立,則時(shí)該命題也成立”的逆否命題為“假設(shè)當(dāng)時(shí)該命題不成立,則當(dāng)時(shí)該命題也不成立”,由于當(dāng)時(shí),該命題不成立,則當(dāng)時(shí),該命題也不成立,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查逆否命題與原命題等價(jià)性的應(yīng)用,解題時(shí)要寫(xiě)出原命題的逆否命題,結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.2.A【解析】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡(jiǎn)整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
推導(dǎo)出,且,,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,由此能表示出該容器的體積,從而求出參數(shù)的值.【詳解】解:如圖(4),為該四棱錐的正視圖,由圖(3)可知,,且,由為等腰直角三角形可知,,設(shè)中點(diǎn)為,則平面,∴,∴,解得.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和錐體的體積計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4.D【解析】
首先由函數(shù)為偶函數(shù),可得函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,再由,即可判定大小【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在減,所以在上增,,,,∴.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,不同類(lèi)型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過(guò)它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,屬于中檔題.5.D【解析】
根據(jù)新增確診曲線(xiàn)的走勢(shì)可判斷A選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診曲線(xiàn)與新增治愈曲線(xiàn)的位置關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤;根據(jù)月日至月日新增確診曲線(xiàn)的走勢(shì)可判斷C選項(xiàng)的正誤;根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),由圖象可知,月下旬新增確診人數(shù)呈波動(dòng)下降趨勢(shì),A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),由圖象可知,隨著全國(guó)醫(yī)療救治力度逐漸加大,月下旬單日治愈人數(shù)超過(guò)確診人數(shù),B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng),由圖象可知,月日至月日新增確診人數(shù)波動(dòng)最大,C選項(xiàng)正確;對(duì)于D選項(xiàng),在月日及以前,我國(guó)新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù),我國(guó)新型冠狀病毒肺炎累計(jì)確診人數(shù)不在月日左右達(dá)到峰值,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
由,可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而可知當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,從而可知的最小值為,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,由題意得,,得,解得,得.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的最小值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.7.A【解析】
根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線(xiàn),為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.8.D【解析】根據(jù)y與x的線(xiàn)性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線(xiàn)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測(cè)其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測(cè)其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯(cuò)誤.故選D.9.B【解析】
由題意建立空間直角坐標(biāo)系,表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后,利用即可得解.【詳解】平面,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,由題意:,,,,,為的中點(diǎn),.,,,異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為即為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá),利用向量數(shù)量積的性質(zhì),化簡(jiǎn)為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得:,,,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達(dá)是本題的關(guān)鍵點(diǎn).本題屬中檔題.11.C【解析】
先化簡(jiǎn),再求.【詳解】因?yàn)?,又因?yàn)椋?,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
首先求得兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo),據(jù)此可確定積分區(qū)間,然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程:可得:,,結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線(xiàn)y=x2與曲線(xiàn)y2=x所圍成的平面圖形的面積為:.本題選擇B選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由已知寫(xiě)出用代替的等式,兩式相減后可得結(jié)論,同時(shí)要注意的求解方法.【詳解】∵①,∴時(shí),②,①-②得,∴,又,∴().故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式,由已知條件.類(lèi)比已知求的解題方法求解.14.【解析】
計(jì)算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.15.【解析】
首先根據(jù)定積分的應(yīng)用求出的值,進(jìn)一步利用二項(xiàng)式的展開(kāi)式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】,根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng):,令,解得,所以含的項(xiàng)的系數(shù).故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查定積分,二項(xiàng)式的展開(kāi)式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起,根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式可得.【詳解】解:由題知該旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)倒立的圓錐底對(duì)底組合在一起,在中,,,,如下圖所示,底面圓的半徑為,則所形成的幾何體的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積計(jì)算問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1),;(2)【解析】
(1)依題意可知,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為(),再對(duì)分三種情況考慮;(2)利用直線(xiàn)參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,求弦長(zhǎng)即可得到答案.【詳解】(1)依題意可知,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為(),當(dāng)時(shí),聯(lián)立解得交點(diǎn),當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足兩方程,(易漏解之處忽略的情況)當(dāng)時(shí),無(wú)交點(diǎn);綜上,曲線(xiàn)與直線(xiàn)的點(diǎn)極坐標(biāo)為,,(2)把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn),得,可知,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長(zhǎng),考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.18.(1)李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為元,(2)分布列詳見(jiàn)解析,期望為1150元【解析】
(1)分段計(jì)算個(gè)人所得稅額;
(2)隨機(jī)變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】解:(1)李某月應(yīng)納稅所得額(含稅)為:29600?5000?1000?2000=21600元
不超過(guò)3000的部分稅額為3000×3%=90元
超過(guò)3000元至12000元的部分稅額為9000×10%=900元,
超過(guò)12000元至25000元的部分稅額為9600×20%=1920元
所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+1920=2910元,
(2)有一個(gè)孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000?2000=12000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900=990元
有一個(gè)孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000=14000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+400=1390元;
沒(méi)有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?2000=13000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+200=1190元;
沒(méi)有孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000=15000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+600=1590元;
.
所以隨機(jī)變量X的分布列為:990119013901590.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計(jì)算,考查了隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.19.(Ⅰ)見(jiàn)證明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連結(jié),易證四邊形為平行四邊形,即,由于,為的中點(diǎn),可得到,從而得到,即可證明平面,從而得到;(Ⅱ)易證,,兩兩垂直,以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量為,設(shè)與平面所成角為,則,即可得到答案.【詳解】解:(Ⅰ)取的中點(diǎn)為,連結(jié).由是三棱臺(tái)得,平面平面,從而.∵,∴,∴四邊形為平行四邊形,∴.∵,為的中點(diǎn),∴,∴.∵平面平面,且交線(xiàn)為,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)連結(jié).由是正三角形,且為中點(diǎn),則.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,兩兩垂直.以,,分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè),則,,,,∴,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.由可得,.令,則,,∴.設(shè)與平面所成角為,則.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何中,面面垂直的性質(zhì),線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明,及線(xiàn)面角的求法,考查了學(xué)生的邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)法一:,,得,則,由此可得答案;法二:由題意,令,易知是偶函數(shù),且時(shí)為增函數(shù),由此可得出答案;(2)由(1)知,,即,結(jié)合“1”的代換,利用基本不等式即可證明結(jié)論.【詳解】解:(1)法一:(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),又(當(dāng)且僅
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