中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：解答題壓軸題新定義題型（解析版）

專題17解答題壓軸題新定義題型（解析版）

模塊一2022中考真題集訓(xùn)

類型一函數(shù)中的新定義問題

1.（2022?南通）定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于〃5N0）的點叫做這個函數(shù)圖象的“〃階

1112

方點”.例如，點§）是函數(shù)y=x圖象的“萬階方點”；點（2,1）是函數(shù)歹=i圖象的“2階方

點”?

11

⑴在①（-2,—5）；②（7,-1）；③（1,1）三點中，是反比例函數(shù)7圖象的“1階方點

的有②③（填序號）；

（2）若y關(guān)于x的一次函數(shù)y=G-3a+l圖象的“2階方點”有且只有一個，求。的值；

（3）若y關(guān)于x的二次函數(shù)y=-（x-〃）2-2"+1圖象的“〃階方點”一定存在，請直接寫出〃的取值

范圍.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義進(jìn)行判斷即可；

（2）在以。為中心，邊長為4的正方形中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點時，圖象的“2階

方點”有且只有一個，結(jié)合圖象求。的值即可；

（3）在以。為中心,邊長為2"的正方形/BCD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時，二次函數(shù)y=-

G-"）2-2?+1圖象的“"階方點”一定存在，結(jié)合函數(shù)圖象求解即可.

解：（1）①（-2,--）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是2,--

1

V2>1,~<1,

11

（-2,不是反比例函數(shù)夕=1圖象的“1階方點”；

②（-1,-1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1,1,

1W1,

1

A（-1,-1）是反比例函數(shù)y=圖象的“1階方點”；

③（1,1）到兩坐標(biāo)軸的距離分別是1,1

?.TW1,1W1,

1

（1,1）是反比例函數(shù)>=嚏圖象的“1階方點”；

故答案為：②③；

(2),當(dāng)x=3時，y—ax-3a+\—a(x-3)+1=1,

，函數(shù)經(jīng)過點(3,1),

如圖1,在以。為中心，邊長為4的正方形N8CD中，當(dāng)直線與正方形區(qū)域只有唯一交點時，圖象的“2

階方點”有且只有一個，

由圖可知，C(2,-2),D(2,2),

???一次函數(shù)y=ox-3a+l圖象的“2階方點”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點。時，a=-1,此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

當(dāng)直線經(jīng)過點C時，。=3,此時圖象的“2階方點”有且只有一個，

綜上所述：。的值為3或-1；

(3)在以。為中心，邊長為2n的正方形N8CD中，當(dāng)拋物線與正方形區(qū)域有公共部分時,二次函數(shù)^=-

(x-〃)2-2"+1圖象的an階方點”一定存在，

如圖2,當(dāng)n>0時，A(”，ri'),C(.-n,-”)，B(n,-n),D(-n,n),

當(dāng)拋物線經(jīng)過點8時，〃=1；

1

當(dāng)拋物線經(jīng)過點。時，”=-1(舍)或"=不

q

1C

??立工〃<1時，二次函數(shù)y=-(X-〃)2-2〃+1圖象有。階方點”；

q

1C

綜上所述：當(dāng)時，二次函數(shù)歹=-(、-〃)2-2幾+1圖象的。階方點”一定存在.

總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)

的圖象及性質(zhì)，理解定義，將所求問題轉(zhuǎn)化為正方形與函數(shù)圖象的交點問題是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱

為“月牙線”，如圖①，拋物線Ci：y=/+2x-3與拋物線。2：了=。/+2辦+c組成一個開口向上的“月

牙線”，拋物線Ci和拋物線。2與x軸有著相同的交點/（-3,0）、B（點3在點/右側(cè)），與y軸的交

點分別為G、8（0,-1）.

（1）求拋物線。2的解析式和點G的坐標(biāo).

（2）點M是x軸下方拋物線Ci上的點，過點M作兒軸于點N,交拋物線。2于點。，求線段"N

與線段DM的長度的比值.

（3）如圖②，點￡是點〃關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG,在x軸上是否存在點R使得△斯G

是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

圖①圖②

思路引領(lǐng)：(1)將/(-3,0)、〃(0,-1)代入y=a/+2ox+c中，即可求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)於+2「3),則。(r,|z2+|?-1),N(60),分別求出MN,DM,再求比值即可；

(3)先求出￡(-2,-1),設(shè)尸(x,0),分兩種情況討論：①當(dāng)EG=M時，2五='(%+2)2+1，

可得尸(77-2,0)或(-V7-2,0)；②當(dāng)EG=FG時，2近=)9+好,尸點不存在.

解：(1)將/(-3,0)、H(0,-1)代入y=a/+2辦+c中，

,f9。-6a+c=0

,?(c=-1，

解得卜=9,

(c=-l

?192

.?y=下+下—1，

在y=/+2x-3中，令x=0,則y=-3,

：.G(0,-3)；

「1「2

(2)設(shè)河(/,於+2f-3),則。G,下+§-1)，N(60),

12.、2)4

??NM=-仕9-2t+3,DM=9(z於+2/-3)=

MN_(/+2t—3)3

-2;

,,DM-|(t+2t-3)-2

(3)存在點R使得△即G是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：

由(1)可得y=x2+2x-3的對稱軸為直線》=-1,

點與〃點關(guān)于對稱軸》=-1對稱，

：.E(-2,-1),

設(shè)尸(x,0),

①當(dāng)EG=E尸時，

VG(0,-3),

:.EG=2五,

/.2V2=V(x+2)2+1，

解得x—V7-2或x=-yJy—2,

''F(V7—2,0)或(S—2,0)；

②當(dāng)EG=PG時，2包=,9+/,

此時X無實數(shù)根；

綜上所述：尸點坐標(biāo)為（V7-2,0）或（一百一2,0）.

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分

類討論是解題的關(guān)鍵.

一ab

3.（2022?蘭州）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a,b）是第一象限內(nèi)一點，給出如下定義：后=不和公=￡兩個

值中的最大值叫做點尸的“傾斜系數(shù)”k.

（1）求點尸（6,2）的“傾斜系數(shù)”人的值；

（2）①若點尸（a,6）的“傾斜系數(shù)”k=2,請寫出。和6的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若點尸（a,b）的"傾斜系數(shù)”左=2,且a+b=3,求。P的長；

（3）如圖，邊長為2的正方形/8CZ）沿直線/C：y=x運動，P（a,b）是正方形N8CD上任意一點，

且點尸的“傾斜系數(shù)”k<^3,請直接寫出a的取值范圍.

思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“傾斜系數(shù)”左的定義直接計算即可；

（2）①根據(jù)“傾斜系數(shù)”人的定義分情況得出結(jié)論即可；

②根據(jù)“傾斜系數(shù)”k的定義求出P點坐標(biāo)，進(jìn)而求出OP的值即可;

（3）根據(jù)左的取值，分情況求出。的取值范圍即可.

6

解：（1）由題意知，左=5=3,

即點尸（6,2）的“傾斜系數(shù)''左的值為3；

（2）①,??點尸（〃,b）的“傾斜系數(shù)"k=2,

ab

**.T=2或一=2,

oa

即a=2b或b=2a,

?.a和b的數(shù)量關(guān)系為a=2b或b=2a；

紅）由@）知，a=2b或b=2a

?36=3,

?fQ—1_P.f(Z—2

?,tb=2或

OP=Vl2+22=Vs；

（3）由題意知，滿足條件的尸點在直線了=怎和直線了=爭之間，

①當(dāng)尸點與。點重合時，且上=百時，尸點在直線了=每上，°有最小臨界值,

如圖：此時a<6,

連接OD,延長。/交x軸于E,

b-

此時一=V3>

a

a+2-

則----=百,

a

解得a-y/3+L

此時3點的坐標(biāo)為（V3+3,西+1）,

,V3+3廠

且心可=后

+1;

②當(dāng)尸點與5點重合時，且左=仃時，尸點在直線^=享1上，a有最小臨界值,

如圖:此時a>b,

連接05,延長C5交x軸于R

a

此時B=V3.

a

則匚i=氐

解得a=3+V3＞

此時。（V3+1-V3+3）,

且人=普;=百'

.\a＞V3+3；

綜上所述，若點尸的“傾斜系數(shù)"%＜百，則。＞q+3.

總結(jié)提升：本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解“傾斜系數(shù)”的

定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?遵義）新定義：我們把拋物線＞=G2+/＞X+C（其中MW0）與拋物線＞=82+辦+（:稱為“關(guān)聯(lián)拋物

線”.例如：拋物線y=2/+3x+l的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y=3/+2x+l.已知拋物線Q：y^4ax2+ax+4a-

3（aWO）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為

（I）寫出。2的解析式（用含。的式子表示）及頂點坐標(biāo)；

（2）若。＞0,過x軸上一點尸，作x軸的垂線分別交拋物線G，。2于點M,N.

①當(dāng)MV=6a時，求點尸的坐標(biāo)；

②當(dāng)a-4?a-2時，。2的最大值與最小值的差為2。，求a的值.

思路引領(lǐng)（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點式，可得出

C2的頂點坐標(biāo)；

（2）①設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為加，則可表達(dá)點M和點N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式可表達(dá)AW的長，列

出方程，可求出點P的坐標(biāo)；

②分情況討論，當(dāng)。-4W-2Wa-2時，當(dāng)-2Wa-4Wa-2時，當(dāng)a-4Wa-2W-2時，分別得出C2

的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出。的值.

解：(1)根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：y=ax2+4ax+4a-3,

'?y=ax2+4ax+4a-3—a(x+2)2-3,

.??。2的頂點坐標(biāo)為(-2,-3)；

(2)①設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為加，

???過點尸作x軸的垂線分別交拋物線Cl，Q于點河，N,

?'?M(m,4am2+am+4a-3),NGn,an^+^am+^a-3),

MN=\4am2+am+4a-3-(am2+4am+4a-3)\=\3am2-3am\,

,:MN=6a,

2

/.|3tzm-3am\=6a9

解得m=-1或m=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②???。2的解析式為：V=aG+2)2-3,

???當(dāng)％=-2時，y--3,

當(dāng)x=a-4時，y—a(a-4+2)?-3=a(a-2)2-3,

當(dāng)x=〃-2時，y=a(a-2+2)2-3=a3-3,

根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，

I、當(dāng)a-4W-2Wa-2時，0VaW2,

且當(dāng)OVaWl時，函數(shù)的最大值為a(a-2)2-3；函數(shù)的最小值為-3,

...a(Q-2)2-3-(-3)=2a,解得〃=2—或a=2+(舍)：

當(dāng)時，函數(shù)的最大值為3；函數(shù)的最小值為-3,

Atz3-3-(-3)=2(7,解得a—五或a——V2(舍)；

II、當(dāng)-2Wa-4Wa-2時，心2,

函數(shù)的最大值為a3-3,函數(shù)的最小值為a(〃-2)2-3；

.'.a3-3-[a(.a-2)2-3]—2tz,

3

解得。=5(舍)；

III、當(dāng)a-4Wa-2W-2時，aWO,不符合題意，舍去；

綜上，。的值為2-五或VL

總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類問題，涉及兩點間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由

“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出。2的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.(2022?赤峰)閱讀下列材料

定義運算：min\a,b\,當(dāng)時，min\a,b\=b；當(dāng)時，min\a,b\=a.

例如：min\-1,3|=-1；min\~L-2|=-2.

完成下列任務(wù)

(1)@min\(-3)°,21=1；

②加詞一，1彳，-4|=-4.

k

(2)如圖，已知反比例函數(shù)為=嚏和一次函數(shù)”=-2x+b的圖象交于/、8兩點.當(dāng)-2VxV0時，min

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)定義運算的法則解答即可；

(2)根據(jù)反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)解答即可.

解：(1)由題意可知：@min\(-3)°,2|=1,

(2)min\-y/14,-4|—-4；

故答案為：1,_4.

kr

(2)當(dāng)-2cxV0時，min^,-2x+b\=(x+1)(x-3)-x2=-2x-3,

???一次函數(shù)P2=-2x+b,

:?b=-3,

?*?y2=-2x-3,

當(dāng)x=-2時，y=l,

：.A(-2,1)

k,,

將4點代入為=嚏中，得左=-2,

2

?"一亍

總結(jié)提升：本題主要考查了新定義運算和反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握新定義運算的法則和反比例

函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

6.(2022?泰州)定義：對于一次函數(shù)yi=ax+6、y2=cx+d,我們稱函數(shù)y=(ax+b)+〃(cx+d)(ma+nc

NO)為函數(shù)為、改的“組合函數(shù)”.

(1)若〃?=3,77=1,試判斷函數(shù)夕=5x+2是否為函數(shù)為=x+l、y2=2x-\的“組合函數(shù)”，并說明理由;

(2)設(shè)函數(shù)為=%-p-2與及=_x+3p的圖象相交于點P.

①若機(jī)+〃>1,點P在函數(shù)為、處的“組合函數(shù)”圖象的上方，求〃的取值范圍；

②若pWl,函數(shù)為、處的“組合函數(shù)”圖象經(jīng)過點P是否存在大小確定的加值，對于不等于1的任

意實數(shù)D都有“組合函數(shù)”圖象與x軸交點Q的位置不變？若存在，請求出m的值及此時點Q的坐標(biāo)

若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)(1)由y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),可知函數(shù)y=5x+2是函數(shù)為=x+l、yi~^-1的“組

合函數(shù)”；

(2)①由限二晨「得P(20+1,p-1),當(dāng)x=2p+l時，y=m(2,+1"-2)+n(-2。-1+3。)=

(p-1)(加十幾)，根據(jù)點尸在函數(shù)為、及的“組合函數(shù)”圖象的上方，有p-l>(2-1)(冽+幾)，而加+〃

>1,可得夕VI；

②由函數(shù)為、y2的“組合函數(shù)”>=冽(x-p-2)+n(-x+3已)圖象經(jīng)過點P,知夕-1=機(jī)(2/?+1-p-

2)+〃(-22-1+32)，即(p-1)(1-m-n)=0,而pWl,即得n=l-m,可得>=(2m-1)x+3p-

(例+2)m,令歹=0得(2機(jī)-1)x+3p-(4^+2)m=0,即(3-4m)p+(2m-1)x-2加=0,即可得

3

機(jī)=：時，“組合函數(shù)”圖象與％軸交點。的位置不變，。(3,0).

解：(1)函數(shù)y=5x+2是函數(shù)歹i=x+l、y2=2x-1的“組合函數(shù)”，理由如下：

V3(x+1)+(2x-l)=3x+3+2x-l=5x+2,

，y=5x+2=3(x+1)+(2x-1),

J函數(shù)y=5x+2是函數(shù)為=x+l、yi=2x-1的“組合函數(shù)”；

⑵①今工福得｛濤才，

：.P(2p+l,p-1),

?；歹1、及的"組合函數(shù)”為Jy=m(x-7?-2)+n(-x+32)，

??x=2p+\時，y=m(2p+l-/?-2)+n(-2/?-1+3/?)=(/?-1)(m+n),

??,點尸在函數(shù)為、及的“組合函數(shù)”圖象的上方，

1>(p-1)(m+n),

/.(/?-1)(1-m-n)>0,

*.*m+n>1,

1-m-及<0,

：.p-l<0,

.,./?<1;

3

②存在機(jī)=1時，對于不等于1的任意實數(shù),,都有“組合函數(shù)”圖象與X軸交點。的位置不變，。

q

(3,0),理由如下：

由①知，P(2/7+1,p-1),

???函數(shù)為、及的“組合函數(shù)"y=〃？Cx-p-2)+n(-x+3p)圖象經(jīng)過點尸，

\—m(2/?+1-/?-2)+n(-2/?-1+3/?),

/.(7?-1)(1-m-n)=0,

/.1-m-n=0,有〃=1一切,

?\y=m(x-/?-2)+〃(-x+3/7)=m(x-p-2)+(1-m)(-x+3p)=(2m-1)x+3p-(4/7+2)m,

令y=0得(2m-1)x+3/?-(4/?+2)m=0,

變形整理得：(3-4冽)p+(2m-1)x-2m=0,

313

???當(dāng)3-4加=0,即加=］時，p;--=0,

...x=3,

...%=，時，”組合函數(shù)”圖象與X軸交點。的位置不變，Q(3,0).

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義，函數(shù)圖象上點坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)與一次方程

的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是讀懂“組合函數(shù)”的定義.

類型二幾何圖形中的新定義問題

7.(2022?青島)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、

例如：如圖①，在△48C和△48。中，AD,4。分別是2c和8。邊上的高線，且40=40、則△4BC

和△48。是等高三角形.

【性質(zhì)探究】

如圖①，用限4BC，SUB。分別表示△N3C和△/'B'C的面積,

11

則%?。=產(chǎn)?皿S“，BC=5"c-A'D',

；4D=4'D'

--S^ABC-S“，B，C=BC：B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，。是△NBC的邊3C上的一點.若50=3,￡>C=4,則SZUB。：Sgnr=3：4；

(2)如圖③，在△N8C中，D,E分別是8c和邊上的點.若BE：AB=\：2,CD：BC=1：3,SA

11

ABC-1>貝USz\BEC=_2一，S&CDE=——；

(3)如圖③，在△N8C中，D,E分別是8C和邊上的點.若BE：AB=1：m,CD：BC=1：n,SA

a

ABC=a，貝Us叢CDE=—茄^—?

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案;

(2)同(1)的方法即可求出答案；

(3)同(1)的方法即可求出答案.

解:⑴■:BD=3,DC=4,

：,S"BD：S“DC=BD：DC=3：4,

故答案為：3：4；

(2)?:BE：4B=1：2,

:?S^BEC：SMBC=BE：AB=1：2,

■:s4ABe=］，

.1

:?SABEC=W>

VCD：BC=1：3,

:?S4CDE：S^BEC=CD：BC=1：3,

1111

S/^CDE=參ABEC=3X2=~6；

11

故答案為：3T；

Z6

(3),:BE：AB=\zm,

:'S^BEC：S“BC=BE：AB=\：m,

■:SuBC=a，

1a

S4BEC=~^/\ABC=/；

VCD：BC=Ln,

:?S^CDE：S^BEC=CD：BC=\：n,

1laa

S&CDE=~S^BEC==嬴

a

故答案為：嬴?

總結(jié)提升：此題主要考查了三角形的面積公式，理解等高的兩三角形的面積比等于底的比是解本題的關(guān)

鍵.

8.(2022?北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點M(a,b),N.

對于點P給出如下定義：將點尸向右(a'O)或向左(a<0)平移同個單位長度，再向上(6、0)或向

下(6<0)平移以個單位長度，得到點尸'，點P'關(guān)于點N的對稱點為。，稱點。為點尸的“對應(yīng)

點”.

(1)如圖，點M(1,1),點N在線段。M的延長線上.若點尸(-2,0),點0為點尸的“對應(yīng)

點”.

①在圖中畫出點0；

1

②連接尸0,交線段ON于點T,求證：NT=~OM；

1

(2)。。的半徑為1,〃是O。上一點，點N在線段。M上，且ON=t(-<?<1),若P為O。外一點，

點0為點P的''對應(yīng)點"，連接尸。.當(dāng)點M在。。上運動時，直接寫出P0長的最大值與最小值的差

(用含f的式子表示).

1

②連接PP,利用三角形中位線定理得N7=5PP,從而證明結(jié)論；

(2)連接P。，并延長至S,使。尸=0S,延長SQ到T,使ST=(W,由題意知，PPX//OM,PPX=

OM,P[N=NQ,利用三角形中位線定理得07的長，從而求出S0的長，在△PQS中，PS-QS<

PS+QS,則P。的最小值為尸S-0S,尸0的最大值為尸S+QS,從而解決問題.

解：(1)①)由題意知，P(-2+1,0+1),

：.P'(-1,1),

*.*/PPO=NMOx=45

：.PP//ON,

*：PN=QN,

：.PT=QT,

1

：.NT=-PP\

?：PP'=OM,

1

：.NT^~OM；

(2)如圖，連接尸。，并延長至S,使OP=OS,延長S0到7,使ST=OM,

：.TQ=2MN,

,:MN=OM-ON=\-t,

:.TQ=2-It,

：.SQ=ST-TQ=l-(2-2力=2L1,

■:PS-QSWPQWPS+QS,

：.PQ的最小值為PS-QS,PQ的最大值為PS+QS,

.?.尸0長的最大值與最小值的差為(尸S+0S)-(PS-QS)=2QS=4t-2.

總結(jié)提升：本題是圓的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形中位線定理，三角形三邊

關(guān)系，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解定義，畫出圖形，利用三角形中位線定理求出07的長是

解題的關(guān)鍵.

模塊二2023中考押題預(yù)測

9.(2023?義烏市校級模擬)定義在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線x=〃z,對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)

自變量大于根的部分關(guān)于直線x=%的軸對稱圖形，與原函數(shù)中自變量大于或等于”的部分共同構(gòu)成一

個新的函數(shù)圖象，則這個新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線x=%的“鏡面函數(shù)”.例如：圖①是函數(shù)y=x+l

的圖象，則它關(guān)于直線x=0的“鏡面函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它的“鏡面函數(shù)”的解析式為y=

MF藍(lán)線)，也可以寫成尸M+1.

(1)在圖③中畫出函數(shù)y=-2x+l關(guān)于直線x=l的“鏡面函數(shù)”的圖象.

(2)函數(shù)＞=/-2x+2關(guān)于直線工=-1的“鏡面函數(shù)”與直線y=-x+加有三個公共點，求比的值.

(3)已知/(-1,0),2(3,0),C(3,-2),。(-1,-2),函數(shù)了=/-2"工+2("＞0)關(guān)于直線

x=0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個交點，求n的取值范圍.

I—■

圖①圖②圖③

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)“鏡面函數(shù)”的定義畫出函數(shù)y=-2x+l的“鏡面函數(shù)”的圖象即可；

(2)分直線＞=-尤+僅過“鏡面函數(shù)”圖象與直線x=-1的交點和與原拋物線相切兩種情況求解即可;

(3)先求出＞=/-2加+2(?＞0)的“鏡面函數(shù)”解析式，再分x=-1以及頂點在y=-2上的情況和

x=3時，列出不等式求解即可.

解：(1)如圖，即為函數(shù)函數(shù)y=-2x+l關(guān)于直線x=l的“鏡面函數(shù)”的圖象，

(2)如圖,

對于y=/-2x+2,當(dāng)x=0時，y=2,函數(shù)y=N-2x+2與y軸的交點坐標(biāo)為(0,2),

當(dāng)直線＞=-》+加經(jīng)過點(-1,5)時，m—4；

此時y=/-2x+2關(guān)于直線工=-1的“鏡面函數(shù)”與直線y=-%+加有三個公共點，

當(dāng)直線y=-x+加與原拋物線只有一個交點時，則有：-x+機(jī)=丁2-2x+2,

整理得，x2-x+2-m=0,

此時，A=(-1)2-4(2-%)=0,

7

解得，m=~,

7

綜上，m的值為4或i；

(3)函數(shù)y=/-2〃x+2(〃>0)的“鏡面函數(shù)”解析式為y=/+2〃x+2(H>0),

當(dāng)x=-1時，y<0,

Al-2w+2<0,

3

解得，n>-;

8—4九2

3y=x2-2nx+2(?>0)的頂點在CD上時，---=-2,

解得〃=2或〃=-2(舍)，

此時，函數(shù)y=N-2研+25>0)關(guān)于直線工=0的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形/BCD的邊有5個交點，不

合題意，

3

：.-<n<2,

當(dāng)x=3時，y<-2,

9-6〃+2V-2,

13

解得，n>—；

O

313

綜上，n的取值范圍為孑<九<2或幾

Zo

圖①圖②圖③

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用；理解并運用新定義“鏡面函數(shù)”，能夠?qū)D象的對稱轉(zhuǎn)化為點

的對稱，借助圖象解題是關(guān)鍵.

10.(2023?秦皇島一模)定義如果二次函數(shù)y=%/+比久+J,(皿/。，仰、仇、q是常數(shù))與y=

+b2X+C2a2^0,。2、％2、C2是常數(shù))滿足。1+。2=0，61=勿，Cl+C2=0,則這兩個函致互為“旋轉(zhuǎn)函

數(shù)例如求函數(shù)y=2x2-3x+l的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)y=2x2-3x+l可知，④=2,仇=3,ci=l.根

據(jù)。1+。2=0,61=歷，。1+。2=0求出。2、比、。2就能確定這個函數(shù)的"旋轉(zhuǎn)函數(shù)".

請思考并解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)y=x2-4x+3的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；

(2)若函數(shù)y=5/+-1)x+"與＞=-5/-內(nèi)-3互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求(加+〃)2023的值；

(3)已知函數(shù)y=2(x-1)(x+3)的圖象與x軸交于/、8兩點，與y軸交于點C,點4B、C關(guān)于原

點的對稱點分別是4、為、Ci，試求證經(jīng)過點小、Bi、Q的二次函數(shù)與＞=2(x-1)(x+3)互為“旋

轉(zhuǎn)函數(shù)”.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義求出另一個函數(shù)的°、6、c的值，從而得出函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)定義得出m和n的二元一次方程組，從而得出答案；

(3)首先求出/、2、C三點的坐標(biāo)，然后得出對稱點的坐標(biāo)，從而求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)新定義

進(jìn)行判定.

fl+a=0

解：⑴根據(jù)題意得加=-4

(3+c=0

(a=-1

解得b=-4,

(c=一3

故解析式為：y=---4x-3.

(2)根據(jù)題意得｛非二

.(m=—2

,,tn=3，

/.(w+n)2023=(-2+3)2023=12023=1.

(3)根據(jù)題意得/(1,0),B(3,0),C(0,-6),

：.Ai(-1,0),Bi(-3,0),Ci(0,6),

又y=2(x-1)(x+3)=2X2+4X-6,

且經(jīng)過點小，Bi，Ci的二次函數(shù)為y=-2(x+1)(x-3)=-2x2+4x+6,

=2+(—2)=0

Vb1-b2-^,

q+C2=—6+6=0

兩個函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)

總結(jié)提升：本題考查了拋物線與x軸的交點，涉及了待定系數(shù)法，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)等知識，正

確理解題意，熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?濱?？h校級三模)定義：若一個函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點，則稱該點為這個

函數(shù)圖象的“好點”，例如，點(-1,1)是函數(shù)y=x+2的圖象的“好點”.

(1)在函數(shù)①y=-x+5,(2)y=|,?y=x2+2x+1的圖象上，存在“好點”的函數(shù)是⑶(填序

號).

4

(2)設(shè)函數(shù)與＞=履-1的圖象的“好點”分別為點/、B,過點/作軸，垂足為

C.當(dāng)△N8C為等腰三角形時，求人的值；

(3)若將函數(shù)了=2%2+4X的圖象在直線＞=機(jī)下方的部分沿直線＞=加翻折，翻折后的部分與圖象的其余

部分組成了一個新的圖象.當(dāng)該圖象上恰有3個“好點”時，求沉的值.

思路引領(lǐng)：(1)判斷y=-x與各個函數(shù)圖像是否有公共點即可；

4

(2)先得出了=一嚏的“好點”，從而得出NC的長，在y=-x上的點3,使得從而求得點8

坐標(biāo)，將8點坐標(biāo)代入了=履+3求得上的值；

(3)折疊前的拋物線上有兩個“好點”，所以折疊后的拋物線上有一個“好點”即可，即〉=-工與折疊

后拋物線只有一個公共點，從而求得折疊后的拋物線解析式，進(jìn)一步求得結(jié)果.

解：(1)\>=-x+5,

?5,

???①不是“好點”的函數(shù)，

3

?.3=1,%>0,

x

???孫=3>0

.*.x+y7^0,

...②不是“好點”的函數(shù)，

..(y—x2+2x+1

"lx+y=0

.,.x2+3x+l=0,

/.A=32-4X1X1>O,

方程組有解，

③是“好點”的函數(shù)，

故答案為：③；

(__4

(2)-：\y-~x,x<0,

1%+y=0

.產(chǎn)=-2

?,ly=2，

：.A(-2,2),

當(dāng)△/BC為等腰三角形時，AB=AC=2或BA=BC,

當(dāng)AB=/C時,

???尸7,

:?B(x,-%),

/.(x+2)2+(-x-2)2=22,

：.X[=五-2,X2=—y/2—2,

當(dāng)x=&―2時，y=-V2+2,

?**(V2—2)左+3=—V^+2,

.73V2-4

??k―~,

當(dāng)x=—V2—2時，y=五+2,

?,*(-2)左+3=V^+2,

.73V2-4

??K~~,

當(dāng)45=5。時，點5(-1,1),

-k-1=1,

:.k=-2,

綜上所述：發(fā)=±當(dāng)衛(wèi)或左=-2；

(3)設(shè)翻折后的拋物線解析式為y=-2x2-4X+E

；y=2x2+4x的圖像上有兩個“好點”：(0,0)和(-3,3),

當(dāng)y=-2$-4x+斤上有一個“好點”時，

把尸-x代入得，

-x=-2x2-4x+左，

化簡整理得，

31

%2+矛一/=0,

9

?.?A=了+2左=0,

4

9

???仁-京，

9

?*>y=~2x2-4x——,

o

(y=2x2+4%

由[y=-2/_4X—料，

、o

9

2了=一石，

9

…一二

1

m=.

o

當(dāng)(0,0)在^=-2%2-4x+后上時，

止匕時一/-2x=-x,

x=0或1=-1,

這時也有三個“好點”：(-3,3),(0,0),(-1-1),

1、

:?m=—，■或0.

O

總結(jié)提升：本題考查了結(jié)合一次函數(shù)，反比例函數(shù)及二次函數(shù)知識，考查了對“好點”的理解，等腰三

角形知識，坐標(biāo)系中線段的長，兩個圖像的交點與方程組之間的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題

意，轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識.

12.(2022?婺城區(qū)模擬)定義在平面直角坐標(biāo)系中，對于任意一個函數(shù)，作該函數(shù)y軸右側(cè)部分關(guān)于y軸

的軸對稱圖形，與原函數(shù)〉軸的交點及y軸右側(cè)部分共同構(gòu)成一個新函數(shù)的圖象，則這個新函數(shù)叫做原

函數(shù)的“新生函數(shù)”例如：圖①是函數(shù)y=x+/的圖象，則它的“新生函數(shù)”的圖象如圖②所示，且它

的“新生函數(shù)”的解析式為片｛學(xué)上SfL，也可以寫成尸R+1.

(1)在圖③中畫出函數(shù)y=-2x+/的“新生函數(shù)”的圖象.

(2)函數(shù)y=，-2x+2的“新生函數(shù)”與直線歹=-x+加有三個公共點，求加的值.

(3)己知/(-1,0),2(3,0),C(3,-2),￡)(-1,-2),函數(shù)-2內(nèi)+2(〃>0)的“新生

函數(shù)”圖象與矩形N5CD的邊恰好有4個交點，求n的取值范圍.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)定義畫出函數(shù)圖象即可；

(2)畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線y=-x+/M經(jīng)過(0,2)時，有3個公共點；函數(shù)y=N-

7

2x+2(x＞0)與直線＞=-x+加有一個交點時，即機(jī)=］時有3個公共點；根據(jù)臨界情況可知，加=2或

7°

加=：時，函數(shù)歹=N-2x+2的“新生函數(shù)"與直線＞=-x+加有三個公共點；

q

3

(3)畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)v=N+2〃x+2經(jīng)個點4時，?=-,此時有3個交點；當(dāng)天=/-

3.

2依+2的頂點在CQ上時，n=2,此時有5個交點；根據(jù)臨界情況可得萬＜〃＜2時，函數(shù)y=/-2〃x+2

c13

(?＞0)的“新生函數(shù)“圖象與矩形45cZ)的邊有4個交點；當(dāng)＞=N-2〃x+2經(jīng)過點。時，n=—,此

13八

時有5個交點，根據(jù)臨界情況可得〃＞二?時，函數(shù)》=/-2依+2仇＞0)的“新生函數(shù)”圖象與矩形/3CQ

的邊有4個交點.

解：(1)如圖：

(2)如圖：了=/-2%+2與y軸的交點為(0,2),

當(dāng)直線y=-x+加經(jīng)過(0,2)時，m=2,此時函數(shù)y=x2-2x+2的"新生函數(shù)"與直線^=-x+〃z有3

個公共點；

當(dāng)X?-2x+2=-x+%時，了2-x+2-加=0有兩個相等的實數(shù)根時，△=1-8+4機(jī)=0,

7

解得m=~T,

q

此時函數(shù)>=N-2x+2的“新生函數(shù)"與直線^=-1+加有3個公共點；

7、、

，冽或冽=2時，函數(shù)y=x2-2x+2的“新生函數(shù)”與直線歹=-x+冽有三個公共點；

q

(3)如圖3,當(dāng)>=/+2用:+2經(jīng)個點Z時，1-2〃+2=0,

3

解得n=~,

3、

當(dāng)時，My=x2-2nx+2(?>0)的“新生函數(shù)”圖象與矩形/BCD的邊有3個交點；

8—4TI2

當(dāng)y=N-2〃x+2的頂點在CD上時，---=-2,

解得〃=2或〃=-2(舍)，

當(dāng)〃=2時，函數(shù)y=/-2加+2(??>0)的“新生函數(shù)"圖象與矩形/BCO的邊有5個交點；

3.

???5<〃<2時，函數(shù)y=/-2加+2(n>0)的“新生函數(shù)"圖象與矩形4BCZ)的邊有4個交點;

如圖4,當(dāng)y=/-2〃x+2經(jīng)過點。時，9-6/2=-2,

13

解得n=―,

O

13「

當(dāng)"時，函數(shù)V=X2-2"X+2(?>0)的“新生函數(shù)"圖象與矩形/BCD的邊有5個交點，

O

13.

...”>十時，函數(shù)y=x2-2〃x+2(?7>0)的“新生函數(shù)”圖象與矩形/BCD的邊有4個交點；

O

313

綜上所述GSVZ或〃>二■時，函數(shù)y=N-2〃x+2(〃>0)的“新生函數(shù)”圖象與矩形45cD的邊有4

26/

個交點.

總結(jié)提升：本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，根據(jù)定義，能夠畫出正

確的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象能能夠找到臨界情況是解題的關(guān)鍵.

13.（2022?寧南縣模擬）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若一條直線與二次函數(shù)圖象拋物線有且僅有

一個公共點，且拋物線位于這條直線同側(cè)，則稱該直線與此拋物線相切，公共點為切點.現(xiàn)有一次函數(shù)y

=-4x-1與二次函數(shù)＞=%2+加工圖象相切于第二象限的點力.

（1）求二次函數(shù)的解析式及切點/的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)0＜尤＜3時，求二次函數(shù)函數(shù)值的取值范圍；

（3）記二次函數(shù)圖象與x軸正半軸交于點8,問在拋物線上是否存在點C（異于N）使NOBC=/OB4,

若有則求出C坐標(biāo)，若無則說明理由.

思路引領(lǐng)：（1）聯(lián)立一次函數(shù)y=-4x-1與二次函數(shù)＞=X2+MX表達(dá)式并整理得：/+（加+4）x+i=o,

由A=0,即可求解；

（2）由拋物線的表達(dá)式知，其頂點為（1,-1）,當(dāng)x=0時，＞=0,當(dāng)x=3時，y=x2-2x—3,進(jìn)而求

解；

（3）求出直線的表達(dá)式為y=-x+2,而NOBC=/OB4,則直線8c的表達(dá)式中的左值為1,進(jìn)而

求解.

解：（1）聯(lián)立一次函數(shù)y=-4x-1與二次函數(shù)^二^+如:表達(dá)式并整理得：x2+（m+4）x+l=0,

???稱該直線與此拋物線相切于點a

貝！|A=（機(jī)+4）2-4=0,解得：m=-2或-6,

當(dāng)加=-2時，由｛二者/解得：戲/

當(dāng)加=-6時，由限之解得：｛y=-5（舍去），

故點4（-1,3）,二次函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x；

（2）由拋物線的表達(dá)式知，其頂點為（1,-1）,

當(dāng)x=0時，y=0,當(dāng)x=3時，y=x2-2x=3,

故函數(shù)值的取值范圍是：-l〈y<3；

（3）設(shè)直線45的表達(dá)式為：y=kx+b,

則建產(chǎn)",解得｛憶/

即直線48的表達(dá)式為：y=-x+2,

'：ZOBC=ZOBA,

則直線5c的表達(dá)式中的左值為1,

故直線2c的表達(dá)式為：y=x-2,

則限左產(chǎn)則1-2x=x-2,

解得：x=2（舍去）或1,

故點C（l,-1）.

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，理解“切點”的定

義，并利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

14.（2022?天寧區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點/與點2的坐標(biāo)分別是。，0）與

（什6,0）.對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點尸，給出如下定義：若