中考數(shù)學必刷題分類專練：三角形壓軸綜合問題（原卷版+解析）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題32三角形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?青海?中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點

連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若AaBC和AADE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

（2）解決問題：如圖2,若AACB和ADCE均為等腰直角三角形，N2CB=NDCE=90。，點A,D,E在同一

條直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接BE,請判斷的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量

關系并說明理由.

圖2

2.（2022?遼寧大連?中考真題）綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在△力8c中，。是48上一點，Z.ADC=乙4cB.求證乙4CD=

/.ABC.

獨立思考：

（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究：

(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長C4

至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點F,點、G,”分別在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=4BCF.在

圖中找出與BH相等的線段，并證明.“

問題解決：

(3)數(shù)學活動小組河學時上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當NH4C=90。時，若給出AZBC中任意兩邊

長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答.“如圖3,在(2)

的條件下，若NBAC=90。，AB=4,AC=2,求的長.”

3.(2022?山東青島?中考真題)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如:如圖①.在△ABC和A中,4D,4'。'分別是BC和女C'邊上的高線,且4。=40',則△48C和

△ABC，是等高三角形.

【性質探究】

如圖①，用SMBC，SAA，B，C，分別表示AABC和的面積.

則S-BC=[BCSD,S-，B，C，

'：AD=A'D'

:?S^ABC：S4A，B，C=BC:B'C'.

【性質應用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊上的一點.若BD=3,DC=4,貝IJSSB^S-DC=

(2)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和邊上的點.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,S^ABC=1,則

ShBEC=----------，S&CDE=---------；

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點，若BE:4B=1:爪，CD:BC=l:n,ShABC=a,則

S^CDE=--------------------

4.(2022?山東煙臺?中考真題)

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△AOE都是等邊三角形，連接8。，CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.連接8。，CE.請

直接寫出胃的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,AABC和△皿?都是直角三角形，ZABC=ZADE=90%且黑黑右連接血

CE.

①求差的值;

CE

②延長CE交8。于點尸，交AB于點G.求sin/BFC的值.

5.(2022.廣西?中考真題)已知NMON=a，點A,B分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①,若a=90°,取AB中點D,點A,2運動時，點D也隨之運動，點A,3,。的對應點分別為A,

連接。D,。。'.判斷。。與OD'有什么數(shù)量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側作等腰直角三角形A3C,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,2運動到什么位置時，△20B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

6.（2022?山東濰坊?中考真題）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。順

時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接力G,B”，如圖③所示，

AB交H0于E,AC交0G于尸，通過證明△OBE三△。4F,可得。E=OF.

請你證明：AG=BH.

【遷移應用】

延長G4分別交所在直線于點P,D,如圖④，猜想并證明DG與的便罩關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB,4G,如圖⑥所示,

其他條件不變，請你猜想并證明力G與B”的藜量關系.

7.（2022?遼寧錦州?中考真題）在△28C中，AC=BC,點。在線段4B上，連接CD并延長至點E,使DE=CD,

過點￡作后尸148,交直線4B于點F.

（1）如圖1,若乙4cB=120。，請用等式表示力C與EF的數(shù)量關系：

(2)如圖2.若乙4cB=90。，完成以下問題：

①當點。，點廠位于點A的異側時，請用等式表示尸之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②當點。，點尸位于點A的同側時，若DF=LAD=3,請直接寫出AC的長.

8.(2022?北京?中考真題)在A4BC中，^ACB=90°,。為△ABC內(nèi)一點，連接BD,DC,延長DC至U點E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點F,使得CF=BC,連接4F,EF,若力F1EF,求證：BD1AF；

(2)連接力E,交BD的延長線于點H,連接CH,依題意補全圖2,^AB2=AE2+BD2,用等式表示線段CD與

CH的數(shù)量關系，并證明.

9.(2022?福建?中考真題)已知AaBC三△DEC,AB=AC,AB>BC.

B

圖1

(1)如圖1,C8平分NACD,求證：四邊形A3DC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于N8AC),BC,OE的延長線相交于點R用

等式表示NACE與/EFC之間的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的ACDE繞點C順時針旋轉(旋轉角小于/ABC),若乙BAD=4BCD,求NADB的度

數(shù).

10.(2022?山東威海?中考真題)回顧：用數(shù)學的思維思考

AAA

（1）如圖1,在△ABC中，AB^AC.

①BD,CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.

②點。，E分別是邊AC,A8的中點，連接8。，CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數(shù)學的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△ABC中，AB=AC,。為邊AC上一動點（不與點A,C重合）.對于點

。在邊AC上的任意位置，在另一邊上總能找到一個與其對應的點E,使得BD=CE.進而提出問題：

若點。，E分別運動到邊AC,AB的延長線上，2D與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

如圖2,在AABC中，AB^AC,點、D,￡分別在邊AC,AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字

母），使得BD=CE,并證明.

（3）探究：用數(shù)學的語言表達

如圖3,在AA2C中，AB=AC=2,ZA=36°,E為邊A3上任意一點（不與點A,B重合），E為邊AC延長

線上一點.判斷8尸與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.

11.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形2BCD中，對角線力C與BD相交于點O,記^COD的面積為S「

△力。B的面積為52.

（1）問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：?=篙*

?J2U/i'UD

（2）探索推廣：如圖②，若與CD不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應用：如圖③，在04上取一點E,使。E=OC,過點E作EF||CD交。。于點R點H為力B的中點，

0H交EF于點G,且0G=2GH,若詈=|,求尚值.

12.(2022?湖北武漢?中考真題)已知CD是△力BC的角平分線，點E,尸分別在邊AC,BC上，4。=m,BD=n,

AADE與ABDF的面積之和為S.

(1)填空：當NACB=90。，DE1AC,DF1BC時，

①如圖1,若AB=45°,m=5V2,貝！In=，S=；

②如圖2,若NB=60°,m=4V3,貝！In=,S=；

(2)如圖3,當乙4cB=NEDF=90。時，探究S與加、九的數(shù)量關系，并說明理由：

(3)如圖4,當乙4cB=60。，ZEDF=120°,m=6,幾=4時，請直接寫出S的大小.

13.(2022?黑龍江?中考真題)AABC和AADE都是等邊三角形.

(1)將44DE繞點A旋轉到圖①的位置時，連接BDCE并延長相交于點P(點P與點A重合)，有P4+PB=PC

(或P4+PC=P8)成立；請證明.

(2)將AADE繞點A旋轉到圖②的位置時，連接8。，CE相交于點P,連接以，猜想線段9、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；

(3)將A4DE繞點A旋轉到圖③的位置時，連接BO,CE相交于點尸，連接B4,猜想線段出、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不需要證明.

14.(2022?陜西?中考真題)問題提出

(1)如圖1,AD是等邊AABC的中線，點尸在2。的延長線上，且4P=2C,貝ikAPC的度數(shù)為.

問題探究

(2)如圖2,在△力BC中，C4=CB=6/C=120。.過點A作4P||8C,5.AP=BC,過點尸作直線Z1BC,

分別交ZB、BC于點。、E,求四邊形。EC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△注8。型板材，乙4cB為鈍角，NBAC=45。.工人師傅想用這塊板材裁出一個△2BP型

部件，并要求N8AP=15。,42=4C.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心，以C4長為半徑畫弧，交AB于點D,連接CD；

②作CD的垂直平分線/,與CD于點E；

③以點A為圓心，以2C長為半徑畫弧，交直線/于點P,連接AP、BP,得△力BP.

請問，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？請證明你的結論.

圖1

15.(2022?湖南岳陽?中考真題)如圖，△48。和4的頂點B重合，Z_A8C=乙DBE=90°,Z.BAC=乙BDE=

30°,BC=3,BE=2.

⑴特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點D，E分別在48,BC上時，可以得出結論：矢=______,直線力D與直線CE的位

CE

置關系是;

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉，使點。恰好落在線段AC上，連接EC,(1)中的

結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展運用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點B順時針旋轉a(19。＜a＜60。)，連接40、EC,它們的延長線

交于點F,當0F=8E時，求tan(60°—a)的值.

16.(2022?湖北十堰?中考真題)已知NABN=90。，在乙4BN內(nèi)部作等腰△ABC,AB=AC,Z.BAC=

a((T＜aW90。).點。為射線BN上任意一點(與點8不重合)，連接2D,將線段4。繞點4逆時針旋轉a得到

線段4E,連接EC并延長交射線BN于點F.

(1)如圖1,當a=90。時，線段8F與CF的數(shù)量關系是；

(2)如圖2,當0。＜。＜90。時，(1)中的結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3)若a=60。，AB=4V3,BD=m,過點E作EPlBN,垂足為P,請直接寫出PD的長(用含有小的式子表

示）.

17.（2022.湖南湘潭?中考真題）在ATIBC中，Z.BAC=90°,AB=AC,直線I經(jīng)過點4,過點B、C分別作［的

垂線，垂足分別為點。、E.

（1）特例體驗：

如圖①，若直線"Be,AB=AC=5分別求出線段BD、CE和。E的長；

（2）規(guī)律探究：

①如圖②，若直線Z從圖①狀態(tài)開始繞點4旋轉a（0<a<45。），請?zhí)骄烤€段BD、CE和OE的數(shù)量關系并說明

理由；

②如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點A順時針旋轉。（45。<戊<90。），與線段BC相交于點H,請再探線

段B。、CE和DE的數(shù)量關系并說明理由；

（3）嘗試應用：

在圖③中，延長線段BD交線段2C于點F,若CE=3,DE=1,求SABF「

18.（2022.江蘇揚州?中考真題）如圖1,在A48C中，NBAC=90。,4。=60。，點。在BC邊上由點C向點B運

動（不與點B、C重合），過點。作DE12D,交射線A8于點E.

（1）分別探索以下兩種特殊情形時線段4E與BE的數(shù)量關系，并說明理由;

①點E在線段的延長線上且BE=BD-,

②點E在線段AB上且EB=ED.

⑵若48=6.

①當空=宜時，求4E的長；

AD2

②直接寫出運動過程中線段AE長度的最小值.

19.（2022?河北?中考真題）如圖，四邊形ABC。中，AD^BC,ZABC=90°,ZC=30°,AD=3,AB=2<3,

DHLBC于點H.將AP。/與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點P與A重合，點8在上，其

中NQ=90°,NQPM=30°,PM=4V3.

（1）求證：APQM冬ACHD；

（2）APQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著3c方向向右平移（圖2）,當點尸到達點D后立刻繞點。逆時針旋轉

（圖3）,當邊旋轉50。時停止.

①邊尸。從平移開始，到繞點。旋轉結束，求邊尸。掃過的面積；

②如圖2,點K在8H上，且BK=9-4次.若△尸。〃右移的速度為每秒1個單位長，繞點。旋轉的速度

為每秒5。，求點K在區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時長；

③如圖3.在4尸?！ㄐD過程中，設尸。，PM分別交2C于點E,F,若BE=d,直接寫出CF的長（用含

d的式子表示）.

20.（2022?山西?中考真題）綜合與實踐

問題情境：在MAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EZ加中/即尸=90。，將三角板的直角頂

點。放在RdABC斜邊的中點處，并將三角板繞點。旋轉，三角板的兩邊。E,OF分別與邊AB,AC

交于點M,N,猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點〃為邊A8的中點時，試判斷四邊形AMDV的形狀，并說明理由;

問題解決：

（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當=時，求線段CN的長；

（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當時，直接寫出線段AN的長.

21.（2022?湖北武漢?中考真題）問題提出：如圖（1）,A/IBC中，AB=AC,。是力C的中點，延長BC至點E,

Ap

使=延長ED交4B于點尸，探究”的值.

(1)⑶

（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當NBAC=60。時，直接寫出器的值；

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展：如圖⑶，在△ABC中，AB=AC,。是AC的中點，G是邊BC上一點，^-=-（n<2）,延長BC至

BCn

點E,使DE=DG,延長ED交4B于點F.直接寫出笠的值（用含n的式子表示）.

22.（2022?江西?中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大

的直角三角板PEFQP=90。,"=60。）的一個頂點放在正方形中心。處，并繞點。逆時針旋轉，探究直角

三角板PEF與正方形力BCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點尸放在點。處，在旋轉過程中，當OF與0B重合時，重疊部分的面

積為;當OF與BC垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在旋轉

過程中，重疊部分的面積Si與S的關系為；

(2)類比探究：若將三角板的頂點/放在點。處，在旋轉過程中，。E,OP分別與正方形的邊相交于點N.

①如圖2,當8M=CN時，試判斷重疊部分AOMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當CM=CN時，求重疊部分四邊形。MCN的面積(結果保留根號);

(3)拓展應用：若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心。處，該銳角記為NGOH(設NGOH=a),將NGOH

繞點。逆時針旋轉，在旋轉過程中，NGOH的兩邊與正方形48CD的邊所圍成的圖形的面積為S2,請直接寫

出S2的最小值與最大值(分別用含a的式子表示)，

(參考數(shù)據(jù)：sinl50=X,cosl5。=匹,tanl5。=2—百)

44

23.(2022?重慶?中考真題)在AABC中，ABAC=90°,AB=AC=2五,。為BC的中點，E,尸分別為4C,

4。上任意一點，連接EF,將線段EF繞點￡順時針旋轉90。得到線段EG,連接FG,AG.

(1)如圖1,點E與點C重合，且GF的延長線過點B,若點尸為FG的中點，連接PD,求PD的長；

(2)如圖2,EF的延長線交4B于點點N在4c上，4AGN=N&EG且GN=MF,求證：AM+AFV2XE;

(3)如圖3,尸為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE,H為直線BC上一動點，連接EH,將△BEH沿EH

翻折至AABC所在平面內(nèi)，得到△8'EH,連接B'G,直接寫出線段B'G的長度的最小值.

24.(2022?浙江寧波?中考真題)

⑴如圖1,在AABC中,，E,尸分別為上的點,DE||BC,8F=交DE于點G,求證:DG=EG.

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接CD,CG.若CG=6,4E=3,求常的值.

DC

(3)如圖3,在團4BCD中，NADC=45。,4。與3￡?交于點。，E為力。上一點，EG||BD交力。于點G,EF1EG交

BC于點F.若NEGF=40°,FG平分NEFC,FG=10,求BF的長.

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學必刷真題考點分類專練(全國通用)

專題32三角形壓軸綜合問題

一、解答題

1.(2022.青海?中考真題)兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把

它們的底角頂點連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”

圖形.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若A4BC和AADE是頂角相等的等腰三角形，BC,OE分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

⑵解決問題：如圖2,若DCE均為等腰直角三角形，4ACB=乙DCE=90°,點A,

D,E在同一條直線上，CM為ADCE中。E邊上的高，連接BE,請判斷/AE8的度數(shù)及線

段CM,AE,之間的數(shù)量關系并說明理由.

圖2

【答案】(1)見解析

Q)乙DCE=90°；AE=AD+DEBE+2CM

【解析】

【分析】

(1)先判斷出ZBAD=ZCAE,進而利用SAS判斷出ABAD名△CAE,即可得出結論；

(2)同(1)的方法判斷出ABA。g得出/ADC=NBEC,最后用角的差,

即可得出結論.

(1)

證明：,「△ABC和△ZDE是頂角相等的等腰三角形，

：.AB=AC,AD=AE,^LBAC=^DAE,

：.Z.BAC-ACAD=Z.DAE-Z.CAD,

：.Z-BAD=2LCAE.

在△840和△CAE中，

AB=AC

/-BAD=Z-CAE，

.AD=AE

：.LBAD=△CAE(SAS),

：.BD=CE.

(2)

解：^AEB=90°,AE=BE+2CM,

理由如下：由(1)的方法得，AACDWABCE,

：.AD=BE,乙ADC=LBEC,

,「△CDE是等腰直角三角形，

???乙CDE=乙CED=45°,

：.Z.ADC=180°-Z.CDE=135°,

"BEC=/-ADC=135°,

J./-AEB=乙BEC-MED=135°-45°=90°.

VCD=CE,CM1DE,

：.DM=ME.

■:乙DCE=90°,

：.DM=ME=CM,

：.DE=2CM.

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

【點睛】

此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形，等邊三角形，等

腰直角三角形的性質，判斷出△ACO名ZXBCE是解本題的關鍵.

2.(2022.遼寧大連.中考真題)綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在△4BC中，。是上一點，Z.ADC=

乙ACB.求證4ACD=/-ABC.

獨立思考：

(1)請解答王老師提出的問題.

實踐探究：

(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如

圖2,延長C4至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點F,點G,X分別在上，

BG=CD,^BGH=Z.BCF.在圖中找出與相等的線段，并證明.”

問題解決：

(3)數(shù)學活動小組河學時上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當NB4C=90。時，若給出△

4BC中任意兩邊長,則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求，該小組提出下面的問題,

請你解答.“如圖3,在(2)的條件下，若NB4C=90。，AB=4,AC=2,求的長.”

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)BH="

3

【解析】

【分析】

(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；

(2)如圖，在8c上截取BN=CF,證明ACEF三△BDN,再證明EF=DN,NEFC=ADNB,

證明△GHB三^CND,可得BH=DN,從而可得結論；

(3)如圖，在8C上截取8N=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解=

722+42=2V5,證明AADC^AACB,可得4。=1,CD=V5,可得BG=CD=底證明△

BGHBCF,可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即

可得到答案.

【詳解】

證明：(1)???Z4DC=^ACB,Z4=",

而N2CD=180°-Z-A-/-ADC,Z-ABC=180°-zX-乙ACB,

■.AACD=/.ABC,

(2)BH=EF,理由如下：

如圖，在8c上截取BN=CF,

BD=CE,Z-ACD—/.ABC,

??.ACEF=ABDN,

???EF=DN,4EFC=乙DNB,

E

,-,乙BGH=乙BCF,乙GBN=乙FBC,

:?乙BHG=Z.BFC,

,:乙EFC=乙BND,

?"BFC=乙DNC,

:?乙BHG=乙DNC,

BG=CD,

GHBSACND,

BH=DN,

???BH=EF.

（3）如圖，在BC上截取8N=C尸,

同理可得：BH=DN=EF,

E

<'-BC=V22+42=2V5,

/.DAC=^BAC,z.ACD=/.ABC,

???△ADCACB,

.AP__AC_CD

ACAB~BC‘

?.?-A。=-2=-C-D

242VS/

??.AD=1,CD=倔

???BG=CD=y/5,

???Z.GBH=(FBC,乙BGH=乙BCF,

???△BGHBCF,

BG_GH_BH_V5_1

"BC-CF~BF~2V5-2’

BF=2BH,而EF=GH,

??.BE=3BH,

??.AB=4fAD=lfBD=CE,

BD=CE=3,

.-.AE=3-2=1,而MAE=乙BAC=90。，

BE=yjAB2+AE2=717,

V17

BH=~

【點睛】

本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應用，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，相

似三角形的判定與性質，作出適當?shù)妮o助線構建全等三角形是解本題的關鍵.

3.(2022.山東青島?中考真題)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如:如圖①.在A4BC和A4B'C'中,如分別是BC和夕C，邊上的高線,且4。=A'D',

則4ABC^AAB'C'是等高三角形.

【性質探究】

如圖①，用S-BC，S“B，C，分別表示AABC和△48。的面積.

-11

則S-BC=~BC-A2S-，B，C，=*U,4D'，

9：AD=ArDr

??^LABC'-t^A'B'C=BC：B'C'.

【性質應用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊BC上的一點.若8。=3,DC=4,貝抹》附:=；

(2)如圖③，在△ABC中，D,￡分別是BC和邊上的點.若BE:AB=1:2,CD:BC=1:3,

S&ABC=1>貝IS&BEC=----------，S&CDE=---------------；

(3)如圖③，在AABC中，D,E分別是BC和4B邊上的點，若BE:4B=l:m,CD:BC=l:n,

SAABC=A,貝USACDE=---------

【答案】(1)3:4

⑵*2

【解析】

【分析】

(1)由圖可知AABD和△ADC是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質即可得到答案；

(2)根據(jù)BE:48=1:2,SMBC=1和等高三角形的性質可求得SABEC，然后根據(jù)CD：BC=

1：3和等高三角形的性質可求得SACDE；

(3)根據(jù)=l-.m,ShABC=a和等高三角形的性質可求得S△BEC,然后根據(jù)CD:BC=

l：n,和等高三角形的性質可求得SACDE-

⑴

解：如圖，過點A作AEL8C,

-1-1

則S-B。=-BD-AEfS“DC=~DC-AE

9：AE=AE,

?9^^ABD-^^ADC=BD：DC=3:4.

(2)

解：?「△BEC和△ABC是等高三角形,

,,S^BEC:^LABC=BE:AB=1:2,

.iii

??S^BEC=5s=3X1=3;

VACDE^DABEC是等高三角形,

,?SRCDE：SABEC=CD:BC=1:3,

:.S^CDE=蘆ABEC=3X2=6,

(3)

解：?「△BEC和△ABC是等高三角形,

??S^BEC：ABC=BE:AB=1:m,

1a

??S〉BEC=~=—xa=一

mm

VACDE^ABEC是等高三角形,

*.S^CDE：S"EC=CD：BC=1：71,

1C1aa

=:SABEC=￡X/=

mn

【點睛】

本題主要考查了等高三角形的定義、性質以及應用性質解題，熟練掌握等高三角形的性質并

能靈活運用是解題的關鍵.

4.(2022?山東煙臺?中考真題)

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接灰),CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】如圖2,△ABC和△?!￡)￡都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE^90°.連

接8。，CE.請直接寫出的值.

(3)【拓展提升】如圖3,△A8C和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZAZ)￡=90°,且嚼=券

BCDE

=-.連接8。，CE.

4

①求穿的值；

CE

②延長CE交3。于點憶交于點G.求sin/BFC的值.

【答案】(1)見解析

⑵手

(3)①|；?1

【解析】

【分析】

(1)證明從而得出結論；

(2)證明ABADs進而得出結果；

(3)①先證明△ABCs^AQE,再證得△CAESABAD,進而得出結果；

②在①的基礎上得出NACE=NAB。，進而N2FC=NA4C,進一步得出結果.

(1)

證明：:△ABC和△AOE都是等邊三角形，

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

：.ZDAE-ZBAE=ABAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAE,

.'.△BAD經(jīng)ACAE(SAS),

:.BD=CE；

(2)

解：???△?15c和后都是等腰直角三角形,

嚶=泮專，ZDAE=ZBAC=45°,

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAEf

：.ABAD^ACAE,

BD_AB_1_V2,

''CE~AC~y[2~2'

(3)

解：①第=祟=3^ABC=ZADE=90°,

：.AABC^AAD￡,

：.ZBAC=ZDAE,-=—=

ACAE5

：.ZCAE=ZBAD,

：.ACAE^/\BAD,

.BD_AD_3

''CE~AE~5；

②由①得：△CAE^ABAD,

：.ZACE=/ABD,

NAGC=/BGF,

：.ZBFC=ZBAC,

nr4

sinZBFC=—=

AC5

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質等知識,

解決問題的關鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形.

5.(2022?廣西?中考真題)已知NMON=a,點A,8分別在射線。M,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90。，取AB中點。，點A,8運動時，點。也隨之運動，點A,B,。的

對應點分別為連接。。,。》.判斷。。與。。有什么數(shù)量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最

大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,2運動到什么位置時，△408的面積最大?請說明理由，并

求出△力。B面積的最大值.

【答案】(1)。。=0D',證明見解析

(2)373+3

(3)當。4=。8時，△408的面積最大；理由見解析，AAOB面積的最大值為9a+9

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD'^A'B',進而得出結論；

(2)作AAOB的外接圓1,連接C/并延長，分別交。/于O,和D,當O運動到。時，OC

最大，求出CD和等邊三角形A。方上的高07),進而求得結果；

(3)作等腰直角三角形A/2,以/為圓心，A/為半徑作。/,取的中點C,連接C/并延

長交。/于O,此時AAOB的面積最大，進一步求得結果.

(3)以AB為斜邊在其右側作等腰直角三角形4BC,連接0C交A3于點T,在0T上取點

E,使OE=BE,連接BE,由(2)可知，當。時，0C最大,當。4=0B時，此時0T

最大，即AAOB的面積最大，由勾股定理等進行求解即可.

(1)

解：0D=0?,證明如下：

/.AOB=a=90°,AB中點為D,

1

???OD=-AB,

2

D'為48'的中點，/.A,OB,=a=90°,

???0Df=-A'B',

2

VAB=A'B',

：.OD=OD'；

(2)

解：如圖1,

作AAOB的外接圓/,連接C7并延長，分別交。/于。和

當。運動到。'時，OC最大，

此時AAOB是等邊三角形，

：.B0'=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'=lAB+^-BO'=3+3y[3;

(3)

解：如圖2,作等腰直角三角形A/B,以/為圓心，4為半徑作。/,

圖2

，A/=&8=3&,ZAOB=-ZAIB=45°,

22

則點。在。/上，取AB的中點C,連接C/并延長交。/于。，

此時AAOB的面積最大，

-1

??OC=C/+OZ=|AB+3V2=3+3V2,

C.SLAOB^|X6X(3+3V2)=9+9V2.

【點睛】

本題考查了直角三角形性質，等腰三角形性質，確定圓的條件等知識，解決問題的關鍵是熟

練掌握“定弦對定角”的模型.

6.(2022?山東濰坊?中考真題)【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，

將甲繞點。順時針旋轉一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖,

并連接如圖③所示，AB交H0于E,AC交0G于F,通過證明△OBE三△。4尸，可

得。E=OF.

請你證明：AG=BH.

H

【遷移應用】

延長G4分別交HO,H8所在直線于點P,D,如圖④，猜想并證明。G與的住置關系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接H8,4G,

如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明4G與的藜量關系.

【答案】證明見解析；垂直；BH=WAG

【解析】

【分析】

證明AB。"三AAOG,即可得出結論；通過NB”O(jiān)=NAG。，可以求出NDG”+NB”。+

^OHG=90°,得出結論4GIB“；證明ABOHs△力。G,得出絲="=漁，得出結論;

BHOB3

【詳解】

證明：???AB=AC,AO1BC,

??.OA=OB/AOB=90°,

???乙BOH+乙AOH=90°fL.AOG+乙AOH=90°,

??.Z.BOH=Z-AOG,

???OH=OG,

**.△BOH=△AOG

AG=BH；

遷移應用：AG1BHf

證明：???ABOH公△ZOG,

Z.BHO=Z.AGO,

???乙DGH+乙4G。=45°,

???Z.DGH+乙BHO=45°,

???乙OHG=45°,

???乙DGH+乙BHO+乙OHG=90°,

???乙HDG=90°,

???AG1BH；

拓展延伸：BH=V3AG.

證明：在Rt△408中，tan30°=—=

OB3

在HOG中，tan30°=—=^,

OH3

.OA_OG

??OB-OH9

由上一問題可知，（BOH=幺AOG,

△BOH?△AOG,

.AGOAV3

..==—f

BHOB3

BH=43AG.

【點睛】

本題考查旋轉變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質、銳

角三角函數(shù)、等角的余角相等，解題關鍵結合圖形靈活應用相關的判定與性質.

7.（2022?遼寧錦州?中考真題）在AABC中，AC=BC,點。在線段4B上，連接CD并延長

至點、E,使DE=CD,過點E作EF1AB,交直線4B于點F.

⑴如圖1,若"CB=120°,請用等式表示4c與EF的數(shù)量關系：.

（2）如圖2.若乙4cB=90。，完成以下問題：

①當點D,點、尸位于點A的異側時，請用等式表示4C,4。。F之間的數(shù)量關系，并說明理由；

②當點。，點廠位于點A的同側時，若。F=1,4。=3,請直接寫出AC的長.

【答案】（l）EF=號2。

（2）?AD+DF=^AC-,②4/或2&;

【解析】

【分析】

（1）過點C作CGLAB于G,先證明△EDF94CDG,得到EF=CG,然后等腰三角形的

性質和含30度直角三角形的性質，即可求出答案；

(2)①過點C作C7/，A3于//,與(1)同理，證明△瓦甲絲△88,然后證明AACH是

等腰直角三角形，即可得到結論；

②過點C作CGLA8于G,與(1)同理，得△EDF咨ACDG,然后得到△4CG是等腰直角

三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

(1)

解：過點C作CGLA8于G,如圖，

"：EF1AB,

:.乙EFD=乙CGD=90°,

■:乙EDF=/-CDG,DE=CD,

:.AEDF學4CDG,

：.EF=CG；

:在△ABC中，AC=BC,Z.ACB=120°,

；.乙4=zB=|x(180°-120°)=30°,

1

ACG=-AC,

2

1

：.EF=^AC；

故答案為：EF=^AC-

(2)

解：①過點C作SLAB于X,如圖，

與(1)同理，可證△應用絲△CD”，

：.DF=DH,

：.AD+DFAD+DH=AH,

在△ABC中，AC=BC,^ACB=90°,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

：.^CAH=45°,

.??△AC”是等腰直角三角形，

：.AH=—AC,

2

-'?AD+DF=—AC;

2

②如圖，過點C作CGLA8于G,

與（1）同理可證，△瓦/烏△COG,

：.DF=DG=1,

'：AD=3,

當點尸在點A、。之間時，有

?*?AG=1+3=4,

與①同理，可證AACG是等腰直角三角形,

"'?AC=^2AG=4>/2;

當點。在點A、尸之間時，如圖：

：.AG=AD-DG=3-1=2,

與①同理，可證AACG是等腰直角三角形，

-"-AC=V2XG=2V2;

綜合上述，線段4C的長為4/或2/.

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理解直角三角

形，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出輔助線，正確得

到三角形全等.

8.（2022?北京?中考真題）在△力BC中，乙4。8=90。，。為△注8。內(nèi)一點，連接80,DC,

延長DC到點E,使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點尸，使得CF=BC,連接4F,EF,若AF1EF,求證：BD1.AF；

(2)連接AE,交BD的延長線于點H,連接CH,依題意補全圖2,^AB2=AE2+BD2,用等

式表示線段CD與CH的數(shù)量關系，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)CD=CH-,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)先利用已知條件證明AFCE三△BCD(SAS)，得出NCFE=NCBD,推出EFIIBD,再由

AF1EF1即可證明B。1AF-,

(2)延長8C到點使CM=CB,連接先證AMEC三△BDC(SAS)，推出ME=BD,

通過等量代換得到4史=AE2+ME2,利用平行線的性質得出NBHE=^AEM=90°,利用

直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到CD=CH.

⑴

證明：在AFCE和ABC。中，

CE=CD

乙FCE=4BCD,

CF=CB

△FCE=A8CZ)(SAS)，

，乙CFE=ACBD,

：.EF||BD,

,：AF1EF,

：.BDLAF.

(2)

解：補全后的圖形如圖所示，CD=CH,證明如下：

A

—>M

使

延長5c到點CM=CB,連接AMf

V^ACB=90°,CM=CB,

：.AC垂直平分

：.AB=AM,

在△MEC和△BDC中，

CM=CB

乙MCE=乙BCD，

CE=CD

**?△MEC=△BDC（SAS），

???ME=BD,乙CME=LCBD,

9：AB2=AE2+BD2,

：.AM2=AE2+ME2,

：.乙AEM=90°,

VzCME=乙CBD,

：.BH||EM,

：.乙BHE=乙AEM=90°,即乙DUE=90°,

VCE=CD=-DE

2f

：.CH=-DE,

2

CD