中考數(shù)學函數(shù)專項復習：反比例函數(shù)中的面積問題（含答案及解析）

專題15反比例函數(shù)中的面積問題

知識對接

考點一、反比例函數(shù)中的面積問題

類型2雙曲線上不在同一象限上兩點兩垂線形成的三角形或四邊形的面積

SJAPP，=2|k|S=AMBN=2|k|

類型2兩條雙曲線與一條平行于坐標軸的直線所形成的幾何圖形的面積

園專項訓練

一、單選題

3

1.如圖，在直角坐標系中,點A是1軸正半軸上的一個定點，點3是雙曲線>=-(x>0)上的一個動點,

x

當點B的橫坐標逐漸增大時，△OAB的面積將會(

A.逐漸增大

C.逐漸減小D.先增大后減小

k

2.如圖所示，點A在反比例函數(shù)y=一是的圖象上，軸于點尸是x軸上一動點，當△APM的面

x

積是2時，左的值為（）

A.4B.-2.C.-4D.-2

3.某?？萍夹〗M進行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過了一片爛泥濕地.當人和木板對濕地的壓力一定

時，人和木板對地面的壓強尸（尸〃）是木板面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖，點A在反比例函數(shù)

圖象上，坐標是（8,30）,當壓強尸（尸。）是4800尸〃時，木板面積為（）n?

A.0.5B.2C.0.05D.20

k

4.如圖，平行四邊形0ABe的頂點A在x軸的正半軸上，點。（4,3）在對角線08上，反比例函數(shù)y=-Qk

x

>0,x>0）的圖象經(jīng)過C、D兩點.已知平行四邊形O48C的面積是寸，則點5的坐標為（）

921

A.(5,B.(6,-)

5

124

5.如圖，點A,5分別是反比例函數(shù)y=——（x<0）和y=—（x<0）圖象上的點，且A8〃x軸，點。

xx

在x軸上，則△A5C的面積是（）

y.

A.4

2k

6.如圖，點A在曲線到必=一（%＞0）上，點5在雙曲線%=—（xv。）上，AB〃工軸，點。是x軸上一點,

連接AC、BC,若△ABC的面積是6,則女的值（）

A.-6B.-8

7.在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)＞=?（尤＞0）的圖象經(jīng)過點A（3,根），過點A的直線丁=丘+人與％軸、y

軸分別交于8、C兩點若△A03的面積為△50。的面積的2倍，則左+匕的值為（）

84

A.B.

33

8.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形O48C的頂點A在反比例函數(shù)上，頂點8在反比例函數(shù)

x

上，點C在x軸的正半軸上，則平行四邊形0ABe的面積是（）

X

22

9.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形Q4BC的頂點8在反比例函數(shù)y=9上，頂點C在反比例函數(shù)y=2

XX

上，點A在1軸的正半軸上，則平行四邊形Q4BC的面積是（）

A.3B.4C.5D.6

k

10.如圖，過反比例函數(shù)y=—（兀＜0）的圖像上的一點尸作軸，垂足為。，連接尸O.若△。尸。的面

X

二、填空題

2

11.如圖，邊長為4的正方形ABC。的對稱中心是坐標原點0,AB〃x軸，5C〃y軸，反比例函數(shù)y二—與

x

2

y=-4的圖像均與正方形ABCD的邊相交，則圖中陰影部分的面積之和是

x

12.如圖，菱形A2C。中，ZABC=120°,頂點A,C在雙曲線y=勺化>0)上，頂點8,。在雙曲線

%

y=?(&<0)上，且8。經(jīng)過點O.若匕+自=2,則菱形ABCQ面積的最小值是.

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形A05C的一個頂點。在坐標原點，一邊在x軸的正半軸上,

448

sinZAOB=-f反比例函數(shù)y=，在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點A,與3C交于點R則4AO尸的面積等于

5x

9

14.如圖，已知A,8是反比例函數(shù)y=—(x>0)圖象上的兩點，軸于點C,08交AC于點。，若

x

AOCD的面積是4BCD的面積的2倍，貝必AOD的面積是.

15.如圖，尸是反比例函數(shù)y=&圖象上一點，矩形OAP8的面積是6,則左=

X

三、解答題

16.如圖，與。。2的直徑為2,反比例函數(shù)y=’的圖像與兩圓分別交于點A,B,C,D,求圖中陰影

X

部分的面積.

17.如圖，一次函數(shù)>=丘+。（厚0）與反比例函數(shù)>=一（加加）的圖像交于點A、3,點5的橫坐標為-4.直

x

線A8交x軸于點C,交y軸于點。，過點A作AE_Lx軸于點區(qū)且OE=2OC=4OZ）=8.

（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

（2）根據(jù)函數(shù)圖像直接寫出不等式依+%〈依的解集；

X

（3）求△A05的面積

18.如圖，一次函數(shù)y=x-7與反比例函數(shù)y=:的圖象交于4（1,°）和8（4-1）兩點.

(1)直接寫出°=,b=,k=；

(2)結(jié)合圖象直接寫出關(guān)于x的不等式尤-7V-人的解集是；

(3)點。(力,2)在反比例函數(shù)y=A的圖象上，連接AC、BC,求AABC的面積.

X

19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線A8與反比例函數(shù)>=個交于4(-2,3),川4,冷兩點.

(1)求直線AB和反比例函數(shù)的表達式；

(2)連接AO,求AAOB的面積.

20.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A(-6,-3)和8(m,直線

交y軸于點C,連接。4,OB.

(1)求AAOB的面積；

(2)根據(jù)圖象直接寫出，當x的取值在什么范圍內(nèi)時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值.

21.如圖，一次函數(shù)y=^+b的圖象與反比例函數(shù)y=—的圖象交于A(-2,1),B(1,力)兩點.

x

(1)試確定上述反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)當尤為何值時反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)的值；

(3)求4AOB的面積.

22.如圖，反比例函數(shù)丁=勺4*0,》＞0)的圖象與直線y=2尤相交于點C,過直線y=2x上一點A(a,8)作

ABLy軸，垂足為點B,交反比函數(shù)圖象于點D,且AB=43￡＞.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若點C(2,6),求四邊形OCDB的面積.

23.如圖，在平面直角坐標系xOv中，一次函數(shù)＞=%+》的圖象經(jīng)過點C(0,2),與反比例函數(shù)＞=幺(x＞0)

X

的圖象交于點A(l，a).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)一次函數(shù)y=%+Z?的圖象與x軸交于B點，求“80的面積;

k

(3)設(shè)M是反比例函數(shù)y=—(x>0)圖象上一點，N是直線A3上一點，若以點0、M,C、N為頂點的

x

四邊形是平行四邊形，求點N的坐標.

專題15反比例函數(shù)中的面積問題

知識對接

考點一、反比例函數(shù)中的面積問題

類型2雙曲線上不在同一象限上兩點兩垂線形成的三角形或四邊形的面積

類型2兩條雙曲線與一條平行于坐標軸的直線所形成的幾何圖形的面積

圖專項訓練

一、單選題

3

1.如圖，在直角坐標系中,點A是X軸正半軸上的一個定點，點5是雙曲線>=-(x>0)上的一個動點,

x

當點B的橫坐標逐漸增大時，△OAB的面積將會(

A.逐漸增大

C.逐漸減小D.先增大后減小

【答案】C

【分析】

過點2作軸于點。，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知無論2點怎樣變化△的面積不變，當點2的橫坐

標逐漸增大時縱坐標減小，故△A3。的面積減小，所以△的面積將會減小.

【詳解】

解：過點8作BOLx軸于點。，

3

是雙曲線上的點，

X

無論B點怎樣變化△OBD的面積不變，

???當點B的橫坐標逐漸增大時縱坐標減小，

...△A3。的面積減小，

的面積將會減小.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，即反比例函數(shù)y=&（6為常數(shù)，#0）的圖象是雙曲線，圖

X

象上的點（X,y）的橫縱坐標的積是定值鼠即孫=&.

k

2.如圖所示，點A在反比例函數(shù)y=一是的圖象上，軸于點",尸是x軸上一動點，當△APM的面

X

積是2時，k的值為（）

ir

A.4B.-2.C.-4D.-2

【答案】c

【分析】

設(shè)點A的坐標為：（x,白），根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

X

【詳解】

解：設(shè)點A的坐標為：（x,—

x

由題意得，|x|x|x||=2,

解得，因=4,

k

:反比例函數(shù)丁=生的圖象在第四象限，

X

k=-4,

故選：C.

【點睛】

本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂

足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是;陽，且保持不變.

3.某?？萍夹〗M進行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過了一片爛泥濕地.當人和木板對濕地的壓力一定

時，人和木板對地面的壓強尸（Pa）是木板面積S（m?）的反比例函數(shù)，其圖象如圖，點A在反比例函數(shù)

圖象上，坐標是（8,30）,當壓強尸（Pa）是4800P。時，木板面積為（）m2

A.0.5B.2C.0.05D.20

【答案】C

【分析】

由圖可知8x30=240為定值，即仁240,易求出解析式，再把尸的值代入即可得到S的值.

【詳解】

解：設(shè)S與P的函數(shù)關(guān)系式為尸=!，

將點（8,30）代入，可得30=：,

O

解得：耐240.

故反比例函數(shù)解析式為：P-

把尸=4800代入得，4800=—

S

解得，5=0.05

故選：C

【點睛】

此題主要考查反比例函數(shù)在實際生活中的應用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出函數(shù)模型，用反比例函

數(shù)的知識解決實際問題，同學們要認真觀察圖象得出正確的結(jié)果.

4.如圖，平行四邊形0ABe的頂點A在x軸的正半軸上，點。(4,3)在對角線08上，反比例函數(shù)y=&(k

x

>0,尤>0)的圖象經(jīng)過C、D兩點.已知平行四邊形0ABe的面積是手，則點2的坐標為()

9

A.(5,小B.(6,-)

【答案】C

【分析】

12312

根據(jù)點0(4,3)先分別求出反比例函數(shù)丁=一,直線03的解析式為設(shè)。(〃，一)，且〃>0,由

x4a

平行四邊形的性質(zhì)得5c7/04,S平行四邊形OABC=2SAO3C,則B(—，—),BC=-—。，代入面積公式即可

aaa

得出結(jié)果.

【詳解】

解：:反比例函數(shù)(Z>0,x>0)的圖象經(jīng)過點。(4,3),

x

：.3=~,

4

:?k=12,

12

，反比例函數(shù)y=一，

x

???。3經(jīng)過原點O,

???設(shè)OB的解析式為y=iwcf

?二OB經(jīng)過點0(4,3),

則3=4m,

.3

??m=—,

4

3

OB的解析式為y=-x,

12

??,反比例函數(shù)y=一經(jīng)過點C,

x

12

???設(shè)C(〃，—)，且〃>0,

a

???四邊形OABC是平行四邊形，

=28

：.BC//OAfS平行四邊形OA8C=2SAOBC9

)214

=

???點B的縱坐標為一，SAOBC--，

a3

3

OB的解析式為y=-x,

123

，將代入得：

a4

123

—=二x,

a4

解得：x=—,

a

解得：〃=3或a=-3(舍去),

B(—,4),

3

故選：C.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、三角形

面積計算等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

一124

5.如圖，點A,B分別是反比例函數(shù)y=-----(x<0)和,=--(x<0)圖象上的點，且軸，點。

xx

在x軸上，則4ABC的面積是()

A.4B.5C.6D.8

【答案】A

【分析】

先將△ABC的面積轉(zhuǎn)化成△ABO的面積，再通過輔助線得SAABO=SAADO~SABDO.

【詳解】

解：連接A。，BO,延長AB交y軸于點。，

軸，

??SAABO=SAABC，

?__124

SAABO=SAADO—54BDO=~T~~=4

22

??SAABC=4.

故選：A.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題關(guān)鍵是熟練掌握添加輔助線方法.

2k

6.如圖，點A在曲線到y(tǒng)=—（x>0）上，點5在雙曲線%=一（％<。）上，AB〃九軸，點。是x軸上一點,

連接AC、BC,若"IBC的面積是6,貝IJZ的值（

A.—6B.-8

【答案】c

【分析】

根據(jù)AB〃X軸可以得到工ABC=S44°B=6,轉(zhuǎn)換成反比例函數(shù)面積問題即可解題.

【詳解】

連接。A、0B,設(shè)與y軸交點為M,

AB//X軸

軸，SxABC=S&AOB=6

S450M=/|無|,SJOM=/x|2|二l

??V=Q=VV—u6

T

?°AABC一一°ROM°hAOM—

||fc|+l=6

解得左=±10

..?點8在雙曲線%=￡k（無<。）上，且B在第二象限

X

：.k<Q

：.k=-1Q

故選。

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)問題，熟記反比例函數(shù)面積與k的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象經(jīng)過點A(3,〃。，過點A的直線y=Ax+6與無軸、y

軸分別交于8、C兩點若AAOB的面積為ABOC的面積的2倍，則上+6的值為()

【答案】C

【分析】

求出點A坐標，然后分兩種情況，分別畫出相應的圖形，根據(jù)三角形的面積比和相似三角形進行解答即可.

【詳解】

12

解：?..點A(3,m)在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上,

x

.12.

??m=——=4,

3

二?A(3,4),

分兩種情況進行解答，

(1)如圖1,過點A作軸，垂足為

*?*SAAOB=2SABOC，

SAAOC=5ABOC，

：.BC=AC,

又?：/ACM=/BCO,ZBOC=ZAMC=90°

：.AACM^ABCO(A4S),

：.0B=AM=3f

：.B(-3,0),

把A(3,4),5(-3,0)代入y=fcv+b得,

3k+b=4

-3k+b=0

2

解得左=§,b=2,

2Q

k^~b=—F2=一；

33

(2)如圖2,過點A作軸，垂足為N,

,**SAAOB=2S^,BOC,

,BC1

??=一，

AB2

u：ZBOC=ZANB=90°,40BC=/NBA,

:?△BOCsXBNA,

.OC5cl

??麗一瓦一5'

口nOC1

即——=-，

42

???OC=2,

：.C(0,-2),

把A(3,4),C(0,-2)代入〉=區(qū)+。得，

(3k+b=4

\b=-2，

解得，k=2,b=-2,

：.k+b=2-2=0f

Q

Hittk+b的值為§或0,

故選：C.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點的坐標代入函數(shù)關(guān)系式是常用的方法，掌握相

似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OA8C的頂點A在反比例函數(shù)y=L上，頂點B在反比例函數(shù)

X

y=S上，點C在x軸的正半軸上，則平行四邊形042c的面積是（）

x

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得.

【詳解】

解：如圖作BOLx軸于。，延長54交y軸于E,

,/四邊形0ABe是平行四邊形，

AB//OC,0A=BC,

：.軸，

/.OE=BD,

Rt4A0E〈Rt4CBD(HL),

根據(jù)系數(shù)k的幾何意義，S矩形BDOE=5,SAAOE^,

四邊形。48c的面積=5-9=4,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)，正確作圖，求出矩形BOOE和

三角形A0E的面積是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形Q46C的頂點2在反比例函數(shù)y=9上，頂點C在反比例函數(shù)y=2

XX

上，點A在％軸的正半軸上，則平行四邊形Q4BC的面積是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求得.

【詳解】

解：如圖，作3D，無軸于。，延長3C交y軸于E,

V四邊形0A2C是平行四邊形，

C.CB//OA,OC=AB,

軸，

OE=BD,

:.RmCOE/RtAABD（HL）,

根據(jù)系數(shù)k的幾何意義，S矩形B￡>OE=6,SACOE=1,

：.四邊形OABC的面積=6-l-l=4,

故選：B.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)上的幾何意義、平行四邊形的性質(zhì)等，有一定的綜合性.

k

10.如圖，過反比例函數(shù)y=—。<0）的圖像上的一點尸作軸，垂足為。，連接尸O.若△OPQ的面

x

積是2,則k的值是（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)左的幾何意義，可知人的絕對值為2SAOP°,反比例函數(shù)的圖象在第二象限，即可判斷

出左的值.

【詳解】

解：??,△。尸。的面積是2,

的絕對值為4,

V反比例函數(shù)的圖象在第二象限，

”的值為-4,

故選：B.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義，理解人與△0P。的面積的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題

,.一，一22

11.如圖,邊長為4的正方形ABCD的對稱中心是坐標原點0,46〃%軸，8C〃y軸，反比例函數(shù)y=—與y=--

無x

的圖像均與正方形A3。的邊相交，則圖中陰影部分的面積之和是.

【答案】8

【分析】

根據(jù)題意，觀察圖形可得圖中的陰影部分的面積是圖中正方形面積的一半，且AB〃x軸，BC〃y軸，而正

方形面積為16,由此可以求出陰影部分的面積.

【詳解】

解：根據(jù)題意：觀察圖形可得，圖中以8、。為頂點的小陰影部分，繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，正好和以A、

C為頂點的小空白部分重合，所以陰影的面積是圖中正方形面積的一半，

29

且AB〃x軸，2C〃y軸，反比例函數(shù)y=—與y=--的圖象均與正方形A8CZ）的邊相交，

xx

而邊長為4的正方形面積為16,

所以圖中的陰影部分的面積是8.

故答案為：8.

【點睛】

本題主要考查反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的應用，關(guān)鍵是要分析出其圖象特點，再結(jié)合性質(zhì)作答.

k

12.如圖，菱形中，ZABC=120°,頂點A,C在雙曲線y=?（勺>0）上，頂點3,。在雙曲線

>=?（心<。）上，且3D經(jīng)過點。若勺+網(wǎng)=2,則菱形面積的最小值是.

【答案】4班

【分析】

先構(gòu)造出COMS^OBN,得出也=生=空，再判斷出ABC。是等邊三角形，得出OC=若02,進而

BNONOB

得出0M=6BN,CM=y/30N,設(shè)點8的坐標為（相，旦）,求出C（-立心，右根），進而得出質(zhì)=-3左2,

mm

進而求出左1=3,左2=1,進而求出。3,OC,最后得出S菱形4"￡>=2有（加-工）2+46，即可得出結(jié)論.

m

【詳解】

解：如圖，過點C作。"Lv軸于M,過點5作BNLy軸于N,連接0C,

ZOMC=ZBNO=90°,

：.ZCOM+ZOCM=90°f

???四邊形A5CO是菱形，

JOCLBD,

：.ZBOC=90°,

：.ZCOM+ZBON=90°,

：.ZOCM=ZOBN,

SMsAOBN,

.OMCMPC

…BN~ON~OB'

???四邊形ABC。是菱形，

:.CD=CB,AB//CD,

/.ZBCD=180°-ZABC=60°,

...△BCD是等邊三角形，

"JOCLBD,

：.OC=yf3OB,

.OM_CM「心

,?BN一ON-，

：.OM=y/3BN,CM=60N,

設(shè)點B的坐標為5,占)，

m

：.BN=m,0N=--,

m

：.0M=y/3m,CA/=V3x(--)=-2^1,

mm

.c上曲,

m

???點c在反比例函數(shù)產(chǎn)區(qū)圖象上，

X

...一y[3k2x6m=k1,

m

左i=-3左2,

*/而+左2=2,

.??女1二3,女2二-1,

C(—,y/3m),B(m,,

mm

OC=J(―)2+(y/3m)2,0B=.Q+二,

Vmvm

S菱形ABCD=2XgBD?0C=20B?0C

-2、(-^-)2+(V3m)2xIm2+—y

VmVm

=2^/3(Z712H----z-).

m

=2V3(m-—)2+4A/3,

m

??當m=時,S菱形ABC。最小二4，

m

故答案為：4G.

V

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法，構(gòu)造出相似三角形是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形A08C的一個頂點。在坐標原點，一邊。B在x軸的正半軸上,

448

sinZAOB=-,反比例函數(shù)y=，在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點4與BC交于點F,則AAO尸的面積等于

5x

【答案】40

【分析】

先求出OA直線解析式，聯(lián)立直線與曲線方程求出點A坐標及0A長度即可求出菱形面積，△AOF的面積

為菱形面積的一半.

【詳解】

作于點

設(shè)AD長為4m,

4

sinZAOB=—

5

.\OA=5m,

由勾股定理得0D=3m,

?二點A坐標為(3m,4m),

設(shè)。4所在直線解析式為y=kx,

將(3m,4m)代入可得4m=3版,

4

解得z=§,

4

■-y=-xf

4

y=-X

3

聯(lián)立方程

48

，=一

X

.\3m=6,即m=2,

點A坐標為(6,8),

OA=5m=10,

??§菱形0ABe=10x8=80,

VBC//OA,點尸在BC上，

一SAAOF=~S菱形0ABe=40,

故答案為：40.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)與圖形的綜合應用，解題關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)及解直角三角形的方法.

_9

14.如圖，已知A,5是反比例函數(shù)y=—(x>0)圖象上的兩點，軸于點C,08交AC于點O,若

x

△0CD的面積是△5CQ的面積的2倍，則△AO。的面積是.

【答案】2.5

【分析】

如圖，過點8作無軸于E,根據(jù)反比例函數(shù)上的幾何意義可得SAAOC=SAOEB=4.5,根據(jù)△。8的面積

是△8?！辏┑拿娣e的2倍可得0。=22￡）,可得生=2,根據(jù)AC_Lx軸可得AC//BE,可得△OCDS/XOEB,

OB3

S4

根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得一=3,即可得出AOC。的面積，進而可得答案.

【詳解】

如圖，過點5作軸于區(qū)

9

???已知A,5是反比例函數(shù)（x>0）圖象上的兩點，

x

?'-SAAOC=S^BOE=gx9=4.5,

???△OCD的面積是^BCD的面積的2倍，

OD=2BD,

?OD二

??=一,

OB3

：AC_L無軸，

J.ACIIBE,

:.△OCDsMOEB,

?LQCD_=（型）2=（奪=f

,?S.OEBOBV9'

.44

??SAOCD~-SAOEB~-x4.5=2,

99

?SAAOD=S^AOC~S^OCZ>=4.5-2=2.5.

故答案為：2.5

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)的系數(shù)上的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的

垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)左；相似三角形面積比等于相似比的平方；熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵.

k

15.如圖，尸是反比例函數(shù)y=—圖象上一點，矩形O4PB的面積是6,則上=—.

【答案】6

【分析】

k

根據(jù)“P是反比例函數(shù)>=勺圖象上一點，矩形OAPB的面積是6”可得S矩彩OAPB=|川=6,由此可得上值.

X

【詳解】

k

解：???尸是反比例函數(shù)y二—圖象上一點，四邊形OAP8是矩形，

X

??S矩形OAPB=|左|，

???矩形OAP5的面積是6,

.??因=6,

由圖象可知，k>0,

:?k=6

故答案為6.

【點睛】

此題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)k的幾何含義.

三、解答題

16.如圖，與。。2的直徑為2,反比例函數(shù)y=」的圖像與兩圓分別交于點A,B,C,D,求圖中陰影

X

部分的面積.

【答案】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)的圖像是中心對稱圖形，那么陰影部分的面積可看作半徑為1的半圓的面積.

【詳解】

解：由題意得：圖中陰影部分的面積為5=工%、［2丫=_1/.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的對稱性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的圖形的對稱性得到陰影部分的面積為一個半圓

的面積.

ryi

17.如圖，一次函數(shù)>=丘+。(原0)與反比例函數(shù)>=一(加加)的圖像交于點A、3,點5的橫坐標為-4.直

x

線A3交x軸于點C,交y軸于點。，過點A作AE_Lx軸于點且OE=2OC=4O￡)=8.

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；

(2)根據(jù)函數(shù)圖像直接寫出不等式fcc+bV上的解集；

(3)求△AOB的面積

【答案】⑴一次函數(shù)解析式為-2,反比例函數(shù)解析式為尸號⑵或。＜x＜8；⑶S“B=12

【分析】

（1）由題意易得C（4,0）,0（0,-2）,然后代入一次函數(shù)解析式進行求解，進而可得點2的坐標，最后再把點

B代入反比例函數(shù)進行求解即可；

（2）由（1）可得點A、8的坐標，然后再結(jié)合圖象可得不等式的解集；

（3）由（2）及割補法可直接進行求解三角形的面積.

【詳解】

解：⑴OE=2OC=WD=S,

：.OE=8,OC=4,OD=2,

：.C（4,0）,D（0,-2）,

把點C、。代入一次函數(shù)解析式得：

[4k+b=0.,k=L

,°，解得：2,

[b=~2[八.2

，一次函數(shù)的解析式為y=；x-2,

???點2的橫坐標為-4,

y=1x（-4）-2=-4,即點3（T,T）,

把點8代入反比例函數(shù)得：左=（T）x（T）=16,

二反比例函數(shù)解析式為＞=3；

X

(2)???AE_Lx軸于點E,且0E=8,

y=]x8-2=2,

A(8,2),

:點以T,-4),

由圖象可知當不等式Ax+6V—時，x的取值范圍為x<Y■或0<x<8；

x

(3)由(2)可得:點A(8,2),B(T,T),

'：OC=4,

S"=S?AOC+S"=gx4x2+：x4x4=12.

【點睛】

本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，熟練掌握一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，一次函數(shù)y=x-7與反比例函數(shù)y的圖象交于A(l,a)和80,-1)兩點.

(1)直接寫出己=,b=,k=；

(2)結(jié)合圖象直接寫出關(guān)于x的不等式x-7V-*的解集是；

X

(3)點C(〃,2)在反比例函數(shù)y=上的圖象上，連接AC、BC,求AABC的面積.

X

【答案】(1)-6,6,-6；(2)或x<0；(3)AABC的面積=30.

【分析】

[a=—6

(1)先將4、8坐標代入一次函數(shù)求出，夫，再用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)即可;

0=6

(2)觀察函數(shù)圖象找出一次函數(shù)圖像位于反比例函數(shù)圖像下方的取值范圍即可求解；

(3)根據(jù)反比例函數(shù)表達式求出點C坐標，求出CG的表達式，得到點G坐標，從而求出G”,過點G作

GNLAB于點、N,根據(jù)CG和AB的表達式的特征證明△GNH為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可得GN,

利用勾股定理兩點距離公式求出AB,由AAfiC的面積=(ABXGN,即可求解.

【詳解】

解：(1)將點A、B的坐標分別代入一次函數(shù)表達式得：

p=l-7

1-l=Z?-7，

[a=—6

解得，K,

[力=6

故點A、3的坐標分別為(1,-6)、(6,-1),

將點A的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：-6=1,

解得上=—6,

則反比例函數(shù)的表達式為>=-￡,

X

故答案為：-6,6,6；

(2)從圖象看不等式x-7滿足一次函數(shù)y=x-l圖像在反比例函數(shù)y=-一圖像下方，y軸左側(cè)與AB之

間，

k

?,?不等式％-7<一的解集是：1W%W6或x<0,

x

故答案為或x<0；

(3)將點C的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：2=--,

n

解得n=-3,

.,.點C(-3,2),

設(shè)直線A3交V軸于點H(0,-7),過點C作直線CG〃/交y軸于點G,

設(shè)直線CG的表達式為y=x+t,

將點C的坐標代入上式得：2=-3+t,

解得7=5,

???點G（o,5）,

貝?。?5+7=12,

過點G作GNJ_AB于點N,

由直線CG和AB的表達式知，兩條直線和％軸坐標軸的夾角為45°,

：.△GNH為等腰直角三角形，

GN=HN,

在RtAGNH中

根據(jù)勾股定理GH=y/GN2+HN2=叵GN

?/AB=^（6-1）2+（-6+1）2=5近

則MBC的面積=LA3XGN=LX5&X6忘=30.

22

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，利用函數(shù)圖像解不等式，

等腰直角三角形判定，勾股定理，三角形面積公式，掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題的解法，待定

系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式方法，利用函數(shù)圖像解不等式方法，等腰直角三角形判定，勾股定理應用，三

角形面積公式應用，以及方程思想，綜合性能力是解題關(guān)鍵.

19.如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與反比例函數(shù)y=2交于A（-2,3）,8（4,九）兩點.

（1）求直線和反比例函數(shù)的表達式;

（2）連接AO,求AAOB的面積.

【答案】(1)直線48：y=

【分析】

(1)將點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式即可求得機的值,即可得反比例函數(shù)解析式，將點B的坐標代

入反比例函數(shù)解析式求得"的值，然后運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可;

(2)設(shè)一次函數(shù)與x軸的交點為則AAOB的面積的面積的面積，計算即可.

【詳解】

解：(1)???直線A3與反比例函數(shù)y=:交于4(-2,3),8(4,")兩點,

將4(-2,3)代入〉=竺中得：3=三,

X一2

解得：加=—6,

反比例函數(shù)解析式為：y=a,

X

將3(4,〃)代入y=3中得：〃

設(shè)一次函數(shù)解析式為：y=kx+b,

,3

3=-2k+bk=——

4

貝I」347/解得,

——=4k+b3

[2b7=—

2

33

..一次函數(shù)的解