中考數(shù)學復習考點分類專練：以圓為載體的幾何壓軸綜合問題（原卷版+解析）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學必刷真題考點分類專練(全國通用)

專題34以圓為載體的幾何壓軸綜合問題

一、解答題

1.(2022?四川綿陽?中考真題)如圖，AB為。。的直徑，C為圓上的一點，。為劣弧BC的中點，過點D作

。。的切線與AC的延長線交于點P,與的延長線交于點RAD與BC交于點

⑴求證:BCWPF；

(2)若。。的半徑為遙，DE=1,求AE的長度；

(3)在(2)的條件下，求ADCP的面積.

2.(2022.廣西柳州?中考真題)如圖，已知是。。的直徑，點￡是。。上異于A,2的點，點歹是E8的

中點，連接AE,AF,BF,過點P作尸CLAE交AE的延長線于點C,交AB的延長線于點。，/AOC的平

分線。G交A尸于點G,交FB于點、H.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)求sin/77/G的值；

(3)若G8=4&,HB=2,求。。的直徑.

3.(2022?廣東深圳?中考真題)一個玻璃球體近似半圓O,AB為直徑，半圓。上點C處有個吊燈EF,EF//AB,

CO14B,￡T的中點為。,。4=4.

隆—

A0MB4oMBAOMB

圖①圖②圖③

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在。B上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，”為切點,M為OB上一點，為入射光線，NH為反射光線，4OHM=

〃)HN=45°,tanzCOH==求。N的長度.

4

(3)如圖③，M是線段OB上的動點，為入射光線，NHOM=5(F,//N為反射光線交圓。于點N,在M從。運動

到B的過程中，求N點的運動路徑長.

4.(2022?江蘇常州?中考真題)(現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心，直徑4B的長是12cm,C是半

圓弧上的一點(點C與點2、B不重合)，連接AC、BC.

AOBAOB

備用圖

(1)沿4C、BC剪下AABC,貝UAABC是_____三角形(填“銳角”、“直角”或“鈍角，》

(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑4B上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個

邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段4C上的點M、線段BC上的點N和

直徑48上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm的菱形.小明的猜想是否正

確？請說明理由.

5.(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,6),M對于點P給出如下定義：將點P向右

(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(6>0)或向下(6<0)平移⑸個單位長度，得到點P',點、P'

關(guān)于點N的對稱點為Q,稱點Q為點P的“對應點”.

⑴如圖，點”(1,1),點N在線段。M的延長線上，若點P(—2,0),點Q為點P的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ,交線段ON于點7,求證：NT=}0M;

(2)0。的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段0M上，且。N=t(|<t<1),若P為O。外一點，點Q為

點P的“對應點”，連接PQ.當點M在。。上運動時直接寫出PQ長的最大值與最小值的差(用含t的式子表示).

6.(2022?貴州遵義?中考真題)探究與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組繼續(xù)利用

上述結(jié)論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段2C同側(cè)有兩點B,D,連接AD,AB,BC,CD,如果NB=AD,那么力，B,C,。四點在同

一個圓上.

圖1

探究展示:

如圖2,作經(jīng)過點力，C,。的。。，在劣弧AC上取一點E（不與4,C重合），連接4E,CE則N4EC+AD=180°

圖2

Z.B=4D

^AEC+NB=180°

.??點A,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.??點B,。在點2,C,E所確定的O0上（依據(jù)2）

.??點4,B,C,E四點在同一個圓上

（1）反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）圖3,在四邊形ABCD中，zl=Z2,43=45。，貝此4的度數(shù)為

（3）拓展探究：如圖4,已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,點D在BC上（不與BC的中點重合），連接力，作

點C關(guān)于力。的對稱點E,連接EB并延長交4。的延長線于F,連接AE,DE.

圖4

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若力B=2a,ADSF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

7.（2022.黑龍江哈爾濱.中考真題）已知是O。的直徑，點A,點B是。。上的兩個點，連接。4。3,點

。，點E分別是半徑。4OB的中點，連接CD,CE,B”，S.AAOC=2^CHB.

（1）如圖1,求證：4ODC=々OEC；

（2）如圖2,延長CE交于點足若CD_LCM,求證：FC=FH；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點G是上一點，連接力G,BG,”G,OF,若AG:BG=5:3,HG=2,求。F的

長.

8.（2022?黑龍江綏化?中考真題）如圖所示，在。。的內(nèi)接A4MN中，乙MAN=90°,AM=24V,作4B1MN

于點尸，交O。于另一點8,C是AM上的一個動點（不與A,M重合），射線MC交線段84的延長線于點。，

分別連接4C和BC,BC交MN于點E.

(1)求證：ACMAs^CBD.

(2)若MN=10,MC=NC,求BC的長.

(3)在點C運動過程中，當tan/MD8=：時，求器的值.

4NE

9.(2022?湖北鄂州?中考真題)如圖1,在平面直角坐標系中，的直角邊。4在y軸的正半軸上,

(2)若動點P滿足/POB=45。，求此時點P的坐標；

(3)如圖2,若點E為線段的中點，連接PE,以PE為折痕，在平面內(nèi)將AAPE折疊，點A的對應點為

A,當刑」。8時，求此時點P的坐標；

(4)如圖3,若歹為線段A。上一點，且4廣=2,連接尸尸，將線段"繞點/順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得線段FG,

連接OG,當OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段尸尸掃過的面積.

10.(2022?廣西?中考真題)已知NMON=a，點A,8分別在射線OM,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①,若a=90。,取AB中點D,點A,B運動時，點。也隨之運動，點4,2,。的對應點分別為A,8',。'，

連接。D,。。'.判斷。。與OD'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,8運動到什么位置時，△40B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

11.(2022.湖北荊州?中考真題)如圖1,在矩形A3C。中，AB=4,AD=3,點。是邊AB上一個動點(不

與點A重合)，連接O。，將△OAO沿。。折疊，得到△。即；再以。為圓心，0A的長為半徑作半圓，交

射線A8于G,連接AE并延長交射線BC于R連接EG,設(shè)。A=尤.

DCDC

(1)求證：OE是半圓。的切線；

(2)當點E落在8。上時，求x的值；

(3)當點E落在8。下方時，設(shè)△AGE與△AFB面積的比值為y,確定y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式;

(4)直援號出：當半圓。與△BCD的邊有兩個交點時，x的取值范圍.

12.(2022?四川廣元?中考真題)在放A4BC中，AC=BC,將線段CA繞點C旋轉(zhuǎn)a(0。<6(<90。)，得到線

段C。，連接A。、BD.

(1)如圖1,將線段CA繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a,則/AQB的度數(shù)為:

(2)將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)a時

①在圖2中依題意補全圖形，并求NAOB的度數(shù);

②若/BCD的平分線CE交8。于點R交D4的延長線于點E,連結(jié)BE.用等式表示線段A。、CE、BE

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

13.(2022?山東泰安?中考真題)問題探究

(1)在△力BC中，BD,CE分另IJ是Z718C與NBC2的平分線.

①若N4=60°,AB=AC,如圖，試證明BC=CD+BE；

A

②將①中的條件"48=AC”去掉，其他條件不變，如圖，問①中的結(jié)論是否成立？并說明理由.

(2)若四邊形4BCD是圓的內(nèi)接四邊形，且乙4cB=2Z.ACD,ACAD=2^CAB,如圖，試探究線段4。，BC,

AC之間的等量關(guān)系，并證明.

14.(2022?湖南婁底?中考真題)如圖，以BC為邊分別作菱形BCDE和菱形BCFG(點C,D,F共線)，動點4在

以BC為直徑且處于菱形BCFG內(nèi)的圓弧上，連接EF交BC于點0.設(shè)NG=①

(1)(2)

(1)求證：無論。為何值，EF與8C相互平分；并請直接寫出使EF1BC成立的。值.

(2)當8=90。時，試給出tan乙4BC的值，使得EF垂直平分AC,請說明理由.

15.(2022?浙江溫州?中考真題)如圖1,48為半圓。的直徑,C為B4延長線上一點,CD切半圓于點。,BE1CD,

交CD延長線于點E,交半圓于點R已知8c=5,8E=3.點、P,。分別在線段A8,BE上(不與端點重合)，

且滿足蕓=設(shè)BQ=x,CP=y-

BQ4

EE

圖1

(1)求半圓。的半徑.

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

(3)如圖2,過點P作PR1CE于點R,連結(jié)PQ,RQ.

①當APQR為直角三角形時，求x的值.

②作點產(chǎn)關(guān)于QR的對稱點F',當點尸'落在BC上時，求名的值.

Br

16.(2022.浙江舟山?中考真題)如圖1.在正方形48CD中，點RX分別在邊4D,4B上，連結(jié)AC,FH交

DC

F

H

圖2圖3

(1)線段力C與垂直嗎？請說明理由.

(2)如圖2,過點A,H,尸的圓交CF于點P,連結(jié)PH交4C于點K.求證：箸=靠

(3)如圖3,在(2)的條件下，當點K是線段4c的中點時，求？的值.

17.(2022?四川涼山?中考真題)如圖，已知半徑為5的。M經(jīng)過x軸上一點C,與y軸交于A、8兩點，連

接AM、AC,AC平分NOA",AO+CO=6

⑴判斷0M與無軸的位置關(guān)系，并說明理由；

⑵求AB的長；

(3)連接并延長交圓M于點Z),連接C。，求直線CO的解析式.

18.（2022?四川德陽?中考真題）如圖，是。。的直徑，CD是。。的弦，AB1CD,垂足是點H,過點C作

直線分別與48,4。的延長線交于點E,F,且=

⑴求證：CF是。。的切線;

(2)如果2B=10,CD=6,

①求力E的長;

②求AAEF的面積.

19.（2022?湖南長沙?中考真題）如圖，四邊形A3。內(nèi)接于。。，對角線AC,8。相交于點E,點尸在邊

AD上，連接ER

(1)求證：AABEs4DCE；

(2)當DC=CB,NDFE=24CDB時，則變一絲?A-F--,--FE-=

BECE'ABAD'ABAD

1.（直接將結(jié)果填寫在相應的橫線上）

AF

（3）①記四邊形ABC。，AABE,△CDE的面積依次為S,S],S2，若滿足我=店+店，試判斷，4ABE,

△CDE的形狀，并說明理由.

②當DC=CB,AB=m,AD=n,CD=p時，試用含機，n,p的式子表水

20.（2022?湖北宜昌?中考真題）已知，在△ABC中，乙4c8=90。，BC=6,以8C為直徑的。。與A8交于點

H,將AABC沿射線4C平移得到ADEF,連接BE.

（1）如圖1,DE與。。相切于點G.

①求證：BE=EG；

②求BE-CD的值;

（2）如圖2,延長H。與。。交于點K,將ADEF沿DE折疊，點F的對稱點F'恰好落在射線BK上.

①求證：HKWEF'；

②若KF'=3,求AC的長.

21.(2022?浙江寧波?中考真題)如圖1,。。為銳角三角形4BC的外接圓，點。在BC上，AD交BC于點E,

點P在4E上，滿足N4FB-ABFD=/.ACB,FG||AC交BC于點G,BE=FG,連結(jié)BD,DG.設(shè)NACB=a.

圖1圖2

(1)用含a的代數(shù)式表示NBFD.

(2)求證：ABDE經(jīng)&FDG.

(3)如圖2,4。為。。的直徑.

①當2B的長為2時，求4C的長.

②當。F:OE=4:11時，求cosa的值.

22.(2022?浙江麗水?中考真題)如圖，以A8為直徑的O。與2H相切于點A,點C在48左側(cè)圓弧上,弦CD1AB

交。。于點。，連接AC,4D.點A關(guān)于CD的對稱點為E,直線CE交。。于點尸，交4H于點G.

⑴求證：/.CAG=Z.AGC；

(2)當點E在AB上，連接4F交CD于點P,若,=|，求詈的值；

(3)當點E在射線力B上，AB=2,以點A,C,O,尸為頂點的四邊形中有一組對邊平行時，求4E的長.

23.(2022?重慶?中考真題)如圖，在銳角A/IBC中，〃=60。，點D,E分別是邊力B,4C上一動點，連接BE交

直線CD于點F.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若AB>AC,且BD=CE,乙BCD=4CBE,求Z_CFE的度數(shù);

(2)如圖2,若AB=AC,且BD=AE,在平面內(nèi)將線段AC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段CM,連接MF,

點N是MF的中點，連接CN.在點。，E運動過程中，猜想線段BF,CF,CN之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你

的猜想；

(3)若AB=4C,且BD=4E,將△ABC沿直線AB翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△4BP,點H是力P的中點，

點K是線段PF上一點，將APHK沿直線HK翻折至AP/ZK所在平面內(nèi)得到AQ/ZK,連接PQ.在點。，E運動

過程中，當線段PF取得最小值，且QK1PF時，請直接寫出震的值.

DL

24.(2022?重慶?中考真題)在AABC中，Z.BAC=90°,AB=AC=2<2,。為BC的中點，E,尸分別為4C,

4D上任意一點，連接EF,將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,連接FG,AG.

(1)如圖1,點E與點C重合，且GF的延長線過點8,若點尸為FG的中點，連接PD,求PD的長；

(2)如圖2,EF的延長線交AB于點點N在4C上，乙AGN=NAFG且GN=MF,求證：AM+AF=立AE；

(3)如圖3,P為線段4。上一動點，E為2C的中點，連接BE,X為直線BC上一動點，連接EH,將△BEH沿EH

翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'E",連接B'G,直接寫出線段B'G的長度的最小值.

25.(2022?山東淄博?中考真題)已知AA8C是。。的內(nèi)接三角形，/B4C的平分線與。。相交于點。，連接

DB.

⑴如圖1,設(shè)/A8C的平分線與相交于點/,求證：BD=DI；

BD

圖1

圖1

(2)如圖2,過點。作直線。EIIBC,求證：OE是。。的切線;

圖2

圖2

(3)如圖3,設(shè)弦8。，AC延長后交。。外一點尸，過尸作的平行線交BC的延長線于點G,過G作。。

的切線G8(切點為X),求證：GF=GH.

圖3

圖3

26.(2022?湖北黃石?中考真題)如圖CD是。。直徑，A是。。上異于C,。的一點，點8是DC延長線上一

點，連接AB、AC,AD,5.Z.BAC=^ADB.

(1)求證：直線48是O。的切線；

(2)若BC=20C,求tanN/WB的值；

(3)在(2)的條件下，作NC4D的平分線4P交O。于P,交CD于E,連接PC、PD,若AB=246,求AE?ZP的

值.

27.(2022?甘肅蘭州?中考真題)綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車喜范、芯組

成的（如圖1）,它的端面是圓形，如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角

尖端A沿圓周移動，直到4B=4C,在圓上標記A,B,C三點；將“矩”向右旋轉(zhuǎn)，使它左側(cè)邊落在A,B

點上，"矩''的另一條邊與圓的交點標記為。點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A,B,C,。四點，連

接AD,相交于點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A,B,C,。四點，鏈接AD,BC相較于點。，

即。為圓心.

圖3圖4圖5

（1）問題解決：請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板您愿我國古代幾何作圖確定圓心。如圖3,點

A,B,C在。。上，AB1AC,且2B=4C,請作出圓心。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）類比遷移：小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn)，如果

AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心0.如圖4,點A,B,C在O0上，AB1AC,請作出圓心。.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

（3）拓展探究：小梅進一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的用那年圖

的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點A,B,C是上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)作出

圓心。.（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：.

28.（2022廣西梧州?中考真題）如圖，以為直徑的半圓中，點。為圓心，點C在圓上,過點C作CDIIAB,

且CD=OB.連接AD,分別交OC,BC于點E,F,與。。交于點G,若N4BC=45。.

(1)求證：①XABFMDCF；

②8是。。的切線.

⑵求霽的值.

29.(2022.江蘇泰州?中考真題)如圖①，矩形ABCD與以EP為直徑的半圓。在直線/的上方，線段AB與

點E、尸都在直線/上，且AB=7,EF=10,BC>5.點2以1個單位/秒的速度從點E處出發(fā)，沿射線所方

向運動矩形A8CD隨之運動，運動時間為/秒

(2)在點B運動的過程中，當AD,8C都與半圓。相交，設(shè)這兩個交點為G、H連接OG,OH.若/GOH為

直角，求此時t的值.

30.(2022?江蘇宿遷?中考真題)如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格

點，點4B、C、D、M均為格點.

【操作探究】在數(shù)學活動課上，佳佳同學在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段48、

CD,相交于點P并給出部分說理過程，請你補充完整：

解：在網(wǎng)格中取格點E,構(gòu)建兩個直角三角形，分別是AABC和

在RtAABC中，tan/-BAC—1

在Rt^CDE中，,

所以tanNBAC=tanzDCF.

所以NB4C=NDCE.

因為NACP+ZDCE=ZACB=90°,

所以/2CP+ZBAC=90°,

所以N4PC=90°,

(1)【拓展應用】如圖②是以格點。為圓心，為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在用W上找出一點P,

使砸=病，寫出作法，并給出證明：

(2)【拓展應用】如圖③是以格點。為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦上找出一點P.使4M2=4P/B,

寫出作法，不用證明.

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題34以圓為載體的幾何壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?四川綿陽?中考真題）如圖，為。。的直徑，C為圓上的一點，。為劣弧BC的中

點，過點。作。。的切線與AC的延長線交于點P,與的延長線交于點RAD與BC交

于點E.

⑴求證：BCWPF；

（2）若的半徑為花，DE=\,求AE的長度;

⑶在（2）的條件下，求ADCP的面積.

【答案】（1）見解析

⑵3

【分析】（1）連接。D,利用垂徑定理可得。D1BC,由PF為。O的切線可得。D1PF,由

平行線的判定定理可得結(jié)論；

2

（2）連接。D,BD,設(shè)4E=x,則AD=x+l,由△DCED4C可得CD?=x+i,BD=

CD2=x+l,在RtAADB中，利用勾股定理可得x=3,即2E=3；

（3）連接OD,BD,設(shè)。。與BC交于點H,利用cos/EDH=cos/DAB=手可得DH=學,

在RtAOHB中利用勾股定理可得BH=￥，所以CH=2H=W，又證明四邊形HDPC為矩

形，所以ADCP面積為矩形HDPC面積的一半，進而可得ADCP的面積.

【詳解】（1）解：證明：如圖，連接。。，

???O為劣弧BC的中點，

???CD=BD,

???0D1BC,

又???PF為。。的切線，

???0D1PF,

??.BC//PF；

設(shè)/E=%,貝！J/O=%+1,

???0為劣弧的中點，

???CD=BD,

???CD=BD,Z.DCE=Z.DAC,

又???Z.CDE=/.ADC.

DCE~&DAC,

?D?E二_CD,

CDAD

CD2=DE-AD=lx(x+l)=x+l,

BD2=CD?=%+i,

???AB為OO的直徑，

???乙ADB=90°,

又.；。。的半徑為武，

AB=2A/5,

2

由力￡12+BD2=力B2得(X+I)+(%+1)=(2西)2,

解得x=3或久=—6(舍)，

???AE=3；

(3)解：如圖，設(shè)0D與BC交于點H,

由(2)知4E=3,

,-.AD=3+1=4,BD=V3TI=2,

在Rt△4DB中，

…nAD42A/5

cosZ-DAB=—=—p=——,

AB2V55

???OA=OD,

???乙EDH=Z.DAB,

???cos乙EDH=cosZ-DAB=—,

又DE=1,

n”“、,2遍2^5

*'?DH=DEx—=—,

55

：.OH=OD-DH=西-誓==,

■：OH1BC,

???CH=BH=y/OB2-OH2=誓，

???AB為。。的直徑，

Z.ACB=90°,

由（1）可知。D_LPD,OH1BC,

二四邊形"DPC為矩形，

CP=DH=―,DP=CH=—,

55

【點睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理及其推論，勾股定理，相似三角

形的判定與性質(zhì)，圓的切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練

掌握這些性質(zhì)并能靈活運用是解題的關(guān)鍵.

2.(2022?廣西柳州?中考真題)如圖，已知是。。的直徑，點E是。。上異于A,8的點，

點尸是EB的中點，連接AE,AF,BF,過點尸作PCLAE交AE的延長線于點C,交A3的

延長線于點。，NAOC的平分線。G交AP于點G,交尸B于點H.

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)求sin/FHG的值；

(3)若GH=4&,HB=2,求。。的直徑.

【答案】(1)見解析

若

(3)。。的直徑為6西

【分析】(1)連接0凡先證明OFIIAC,則/OFD=/C=90。，根據(jù)切線的判定定理可得

出結(jié)論.

(2)先證NDFB=/OAF,ZADG=ZFDG,根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩

個內(nèi)角之和得出NFGa=/FHG=45。，從而可求出sin/F”G的值.

(3)先在△GfW中求出口的值為4,根據(jù)等積法可得竺=—=2,再證△DFBs/\DAF,

DBHB

根據(jù)對應邊成比例可得蕓=蕓=2,又由角平分線的性質(zhì)可得器=若，從而可求出AG、

DFDBDFGF

AF.在RtZkAbB中根據(jù)勾股定理可求出A3的長，即。。的直徑.

(1)

證明：連接

??Q=OR

：.ZOAF=ZOFA,

'：EF=FB,

：.ZCAF=ZFABf

：.ZCAF=ZAFOf

：.OF\\AC,

VAC±CZ),

???OFLCD,

???0尸是半徑，

???CO是。。的切線.

(2)

9：AB是直徑，

???ZAFB=90°,

???OFLCD,

：.ZOFD=ZAFB=90°,

：.ZAFO=ZDFB,

,：ZOAF=ZOFAf

：.NDFB=NOAF,

???GO平分NAOR

???ZADG=ZFDG,

ZFGH=ZOAF-^ZADG,ZFHG=NDFB+/FDG,

：./FGH=ZFHG=45°,

.,.sinZFHG=sin45°=—2

(3)

解：過點”作尸于點M,HN1AD于點、N.

平分NAOR

:,HM=HN,

SJ）HF:SADHB=FH：HB=DF:DB

?/△/GH是等腰直角三角形，GH=442

:?FH=FG=4,

.?,空=￡=2

DB2

設(shè)。B=A,DF=2k,

,?ZFDB=ZADF,ZDFB=ZDAF,

:.△DFBsXDAF,

:.DF2=DB>DA,

：.AD=4k,

平分/ADB

.FG_DF_1

"AG~AD~2

；.AG=8,

VZAFB=90°,A尸=12,FB=6,

.-.AB=Ja-2+BF2="22+622=6A/5

；.。。的直徑為64

【點睛】本題是一道綜合性題目，考查了圓的相關(guān)性質(zhì)、切線的判定、相似三角形的判定和

性質(zhì)、角平分線性、勾股定理等知識，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?廣東深圳?中考真題）一個玻璃球體近似半圓。,48為直徑，半圓。上點C處有個吊

燈EF,EF//AB,CO1AB,EF的中點為D,。4=4.

c

圖①圖②

圖③

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在。B上，0M=1.6,。尸=0.8,求CD的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點，M為OB上一點,為入射光線，NH為反射

光線，乙OHM=乙OHN=45°,tanzCOW=+求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段上的動點，為入射光線，NHOM=5(r,HN為反射光線交圓。于

點N,在M從。運動到B的過程中，求N點的運動路徑長.

【答案】⑴2

20

⑵。N=y

(3)4+募兀

【分析】(1)由DF=0.8,OM=1.6,DF||0B,可得出DF為△COM的中位線，可得出Q為CO

中點，即可得出CD的長度；

(2)過N點作ND1OH,交。月于點，可得出ANH。為等腰直角三角形，根據(jù)tan/COH=：,

可得出tan/NOD=絲=三，設(shè)ND=3x=貝UOD=4x,根據(jù)。D+DH=。"，即可求

OD4

得X=i,再根據(jù)勾股定理即可得出答案；

(3)依題意得出點N路徑長為：0B+lBT,推導得出NB07=80。，即可計算給出％7，即

可得出答案.

【詳解】(1)'.'DF=0.8,0M=1.6,DF||0B

為ACOM的中位線

二。為CO的中點

:CO=4。=4

CD=2

(2)過N點作ND1OH,交?！庇邳cD,

:乙0HN=45°,

△N/W為等腰直角三角形，即ND=DH,

又「tanNCOH=1

4

AtanZ/VOZ)=

4

?'.tanzJV。。=—=一，

OD4

：.ND-,OD=3:4,

設(shè)ND=3x=DH,貝！J。。=4%,

VOD+DH=OH,

3%+4%=4,

4

解得X--

7

-。D-

.,.在RMNOD中，ON=7ND2+0D2=J(y)2+(y)2=y;

(3)如圖，當點M與點O重合時，點N也與點O重合.當點M運動至點A時，點N運

動至點T,故點N路徑長為：0B+lBT.

'：ANHO=/-MHO,ATHO=乙MHO,乙HOM=50°.

：.^LOHA=AOAH=65°.

：.^THO=65。,ZT。"=50°.

：.Z.BOT=80°,

.,c.80016

??IRT=27rx4x-----=—7i,

口1360°9

點的運動路徑長為：。8+lBT=4+—7T,

故答案為：4+苫兀.

【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，弧長公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角

函數(shù)，掌握以上知識，并能靈活運用是解題的關(guān)鍵.

4.(2022.江蘇常州.中考真題)(現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點。是圓心，直徑的長是

12cm,C是半圓弧上的一點(點C與點2、B不重合)，連接AC、BC.

AOBAOB

備用圖

⑴沿ac、BC剪下AaBC,則A/IBC是_____三角形(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)；

(2)分別取半圓弧上的點E、F和直徑48上的點G、H.已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成

的四邊形是一個邊長為6cm的菱形.請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形(保留

作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點C,一定存在線段4C上的點M、線段

BC上的點N和直徑4B上的點P、Q,使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為4cm

的菱形.小明的猜想是否正確？請說明理由.

【答案】(1)直角

(2)見詳解

(3)小明的猜想正確，理由見詳解

【分析】(1)是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知/ACB=90。，即可作答；

(2)以A為圓心，AO為半徑畫弧交。。于點E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于。O

點/連接EF、FO、EA,G、〃點分別與A、。點重合，即可；

(3)當點C靠近點A時，設(shè)CN=mCB,可證MN||AB,推出MN=(4B=4cm,

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交A8于點P,Q,可得MN=MP=NQ=4cm,進

而可證四邊形MN。尸是菱形；當點C靠近點2時，同理可證.

【詳解】(1)解：如圖，

AOB

「AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZACB是直角，

即△ABC是直角三角形，

故答案為：直角；

(2)解:以A為圓心，A。為半徑畫弧交。。于點E,再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于

。。點/連接ERFO、EA,G、H點分別與4。點重合，即可，

作圖如下:

AB

由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=^AB=6,

即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；

(3)解：小明的猜想正確，理由如下：

如圖，當點C靠近點A時，設(shè)CM=(C4,CN=)B,

,CM_CN_1

??CA~CB~35

/.MN\\AB,

.MN_CM_1

??AB~CA~3?

1I

.??MN=-AB=-x12=4cm.

33

分別以M,N為圓心，MN為半徑作弧交A3于點尸，。，作MD148于點。，NE14B于點

E,

：.MN=MP=NQ=4cm.

MN\\AB,MDLAB,NELAB,

：.MD=NE,

在RtAMOP和RtANEQ中,

(MP=NQ

iMD=NE'

RtAMDP仝RtANEQ(HL),

乙MPD=LNQE,

：.MP//NQ,

又：MP=NQ,

：.四邊形MNQ尸是平行四邊形，

又；MN=MP,

???四邊形"NQ尸是菱形；

同理，如圖，當點?？拷c5時，采樣相同方法可以得到四邊形MN。尸是菱形，

故小明的猜想正確.

【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運用上述知識解決問題.

5.(2022?北京?中考真題)在平面直角坐標系xOy中，已知點M(a,b),M對于點P給出如下定

義：將點P向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(6>0)或向下(b<0)平移

⑶個單位長度，得到點P,點P'關(guān)于點N的對稱點為Q,稱點Q為點P的“對應點”.

⑴如圖，點點N在線段。"的延長線上，若點P(—2,0),點Q為點P的“對應點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接PQ,交線段ON于點7.求證：NT=^OM;

⑵。。的半徑為1，”是。。上一點，點N在線段OM上，且。N=tG<t<l),若P為。。外

一點，點Q為點P的“對應點”，連接PQ.當點M在。。上運動時直接寫出PQ長的最大值與最小

值的差(用含t的式子表示).

【答案】⑴見解析

(2)4t-2

【分析】(1)①先根據(jù)定義和求出點P的坐標，再根據(jù)點P'關(guān)于點N的對稱點為Q求

出點。的坐標；②延長ON至點4(3,3),連接A0,利用AAS證明A4QT=ROPT,得到T4=

TO=|OX,再計算出OA,OM,ON即可求出NT=ON—OT=￥=^OM；

(2)連接PO并延長至S,使。P=OS,延長SQ至T,使ST=0M,結(jié)合對稱的性質(zhì)得出

NM為AP,QT的中位線，推出NM=Rr,得出SQ=ST-TQ=l-(2-2t)=2t-L則

PQmax-PQmin=(PS+QS)一(PS—QS)=2QS.

【詳解】(1)解：①點。如下圖所示.

7點

...點P(-2,0)向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點P',

"(一1,1),

;點P'關(guān)于點N的對稱點為Q,N(2,2),

...點Q的橫坐標為：2*2-(-1)=5,縱坐標為：2x2-1=3,

.?.點Q(5,3),在坐標系內(nèi)找出該點即可；

②證明：如圖延長ON至點4(3,3),連接A。，

???AQ//OP,

，乙AQT=4OPT,

在A4QT與AzOPT中，

ZAQT=乙OPT

乙4TQ=Z.OTP,

、AQ=OP

：.LAQT=AOPT(AAS),

1

：.TA=TO=-OA,

2

4(3,3),N(2,2),

OA=V32+32=3V2,OM=Vl2+l2=V2,ON=V22+22=2V2,

:?TO=-0^4=-V2,

22

.,.NT=ON-OT=2V2--V2=—,

22

1

：.NT=-OM；

2

(2)解：如圖所示，

連接PO并延長至S,使。P=OS,延長S。至T,使ST=0M,

?：M(a,b),點P向右(a>0)或向左(a<0)平移|a|個單位長度，再向上(b>0)或向下(b<0)

平移聞個單位長度，得到點P',

：.PP'=OM=1,

,/點P'關(guān)于點N的對稱點為Q,

：.NP'=NQ,

又=OS,

：.OM\\ST,

.?.NM為的中位線，

J.NM//QT,NM=^QT,

；NM=OM-ON=1-t,

：.TQ=2NM=2-23

：.SQ=ST-TQ=1-(2-2t)=2t-1,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS,

結(jié)合題意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS—QS,

，PQmax-PQmin=*+QS)—(PS-QS)=2QS=4t—2,

即PQ長的最大值與最小值的差為4t-2.

【點睛】本題考查點的平移，對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點間距離，中位線的性質(zhì)

及線段的最值問題，第2問難度較大，根據(jù)題意，畫出點。和點P'的軌跡是解題的關(guān)鍵.

6.(2022.貴州遵義.中考真題)探究與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結(jié)論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該

小組繼續(xù)利用上述結(jié)論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段4C同側(cè)有兩點B,D,連接ZD,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么4,B,

C,D四點在同一個圓上.

圖1

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點力，C,。的。。，在劣弧力C上取一點E(不與4,C重合)，連接4E,CE則

^AEC+Z￡>=180°(依據(jù)1)

D.

O

E

圖2

乙B=Z.D

/-AEC+zB=180°

.,.點a,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.,.點B,。在點4C,E所確定的O。上（依據(jù)2）

???點4B,C,E四點在同一個圓上

（1）反思歸納：上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：;依據(jù)2：.

（2）圖3,在四邊形ABCD中，zl=Z2,Z3=45°,貝吐4的度數(shù)為

⑶拓展探究：如圖4,已知△力BC是等腰三角形，4B=AC,點D在BC上（不與BC的中點重

合），連接4D.作點C關(guān)于4D的對稱點E,連接EB并延長交AD的延長線于F,連接AE,DE.

圖4

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2/，力DSF的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

【答案】（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等

（2）45°

⑶①見解析；②不發(fā)生變化，值為8

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等作答即可；

（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等即可求解；

（3）①根據(jù)（1）中的結(jié)論證明乙4ED=乙48。即可得證；②證明△84。-△凡4B,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)即可求解.

（1）

如圖2,作經(jīng)過點4C,。的O。，在劣弧4C上取一點E（不與4C重合），連接4E,CE則

N4EC+ND=180。（圓內(nèi)接四邊形對角互補）

圖2

???乙B=乙D

???AAEC+乙8=180°

???點a,B,C,E四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

.?點B,。在點a,C,E所確定的。。上（同圓中，同弧所對的圓周角相等）

二點力，B,C,E四點在同一個圓上

故答案為：圓內(nèi)接四邊形對角互補；同圓中，同弧所對的圓周角相等

（2）

?.?在線段CD同側(cè)有兩點4,8,乙1=42

4B,C,D四點共圓,

AD=AD

N4=43=45°

故答案為：45°

（3）

@'：AB=2C,

Z.ABC=Z.ACB,

???E點與C點關(guān)于4。對稱，

Z.ACD=Z.AED,

:.Z.AED=乙ABD,

4D,B,E四點共圓；

@AD-AF=8,理由如下，

如圖，???42BE四點共圓,

???乙FBD=Z.DAE,

???4瓦ZC關(guān)于40對稱，

???Z.DAE=Z.DAC,

Z.DAC=乙DBF,

???Z-ADC=Z-BDF,

Z.F=Z.ACD,

???AB=AC,

???乙ABD=Z-ACD,

???Z-F=4ABD,

5LZ.BAD=/.FAB,

???△BADFAB,

AB_AD

“AF-AB9

???AD-AF=AB2,

AB=2s/2,

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角相等，軸對稱的性質(zhì)，相似

三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知CH是。。的直徑，點A,點8是。。上的兩個點，

連接。4,。8,點。，點E分別是半徑。4,0B的中點，連接CD,C民BH,且乙4。。=2/CHB.

c