圓與方程講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

模塊2圓與方程

§第1節(jié)圓的方程

一、內(nèi)容提要

1.圓的方程

①標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中圓心為(a,b),半徑為r.

②一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0.

2.求圓的方程常用三種方法：

①設(shè)一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,建立關(guān)于系數(shù)D,E,F的方程組，解方程組.當(dāng)已

知圓上三點(diǎn)時(shí)，常用這種方法.

②設(shè)圓心，利用圓心到圓上點(diǎn)的距離都等于半徑建立方程求圓心.已知圓心性質(zhì)時(shí)常用此法.

③找圓心(弦的中垂線(xiàn)過(guò)圓心)、求半徑.

3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)P(x0)y。),圓C:(x-a)?+(y-b)2=/(或X?+y2+Dx+Ey+F=

0),

22

①點(diǎn)P在圓C外o(x0-a)+(y0-b)>產(chǎn)(或x]+y：+Dx0+Ey0+F>0);

222

②點(diǎn)P在圓C上o(x0-a)+(y0-b)=r(或xa+y：+Dx0+Ey0+F=0);

222

③點(diǎn)P在圓C內(nèi)(x0-a)+(y0-b)<r(或x,+y：+Dx0+Fy0+F<0).

二、考點(diǎn)題型

類(lèi)型I：圓的方程中的系數(shù)條件

【例1】若方程x2+y2+6x+m=0表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是()

A.(-8,9)B.(-8,-9)C.(9,+8)D.(-9,+°°)

【變式】若點(diǎn)P(T,2)在圓C:x2+y2-2x+4y+k=0的外部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.(-5,5)B.(-15,5)C.(-8,-15)U(5,+8)D.(-15,2)

【反思】當(dāng)圓的方程中含參時(shí)，不要忘了考慮圓的方程本身對(duì)參數(shù)的要求.

類(lèi)型II：求圓的方程

【例2】已知A⑵0),B(4,2),0為原點(diǎn)，貝!],ZXA0B的外接圓的方程為

【例3】設(shè)點(diǎn)M在直線(xiàn)2x+y-l=0上,點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在。M上，貝ijOM的方程為.

【例4】過(guò)點(diǎn)A(0,-1),且與直線(xiàn)/:x-y-3=0相切于點(diǎn)B(2,T)的圓的方程為.

【總結(jié)】求圓的方程常用三種方法：①設(shè)圓的一般式方程，并建立關(guān)于系數(shù)的方程組，已知圓上三

點(diǎn)常用此法；②利用圓上點(diǎn)到圓心距離為半徑列方程，已知圓心坐標(biāo)性質(zhì)時(shí)常用此法；③利用弦

的中垂線(xiàn)過(guò)圓心來(lái)找圓心,再求半徑.

§第2節(jié)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

一、內(nèi)容提要

1.判斷直線(xiàn)/:Ax+By+C=O與圓:(x-a)?+(y-b)?=產(chǎn)的位置關(guān)系的步驟：

①計(jì)算圓心C(a,b)到直線(xiàn)/的距離d；

②將d和r進(jìn)行比較：若d>r,則直線(xiàn)和圓相離，它們沒(méi)有交點(diǎn)，如圖1；若<1寸，則直線(xiàn)和圓

相切，它們有1個(gè)交點(diǎn)，如圖2；若d〈r,則直線(xiàn)和圓相交，它們有2個(gè)交點(diǎn)，如圖3.

2.當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，如上圖4,兩個(gè)交點(diǎn)之間的線(xiàn)段長(zhǎng)度，稱(chēng)為直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)，計(jì)算

的步驟是：

①計(jì)算圓心C到直線(xiàn)/的距離d；②弦長(zhǎng)|AB|=2尸

二、考點(diǎn)題型

類(lèi)型I：判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

【例1】直線(xiàn)y=x+6與圓*2+丫2一2丫-4=0的位置關(guān)系是()

A.相離B.相切C.相交且過(guò)圓心D.相交且不過(guò)圓心

【變式l】VkeR,直線(xiàn)/:kx-y-4k+3=0與圓C:x?+y?-6x-8y+21=0的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相切C.相離D.與k有關(guān)

【反思】判定含參直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，除了直接比較d與r外，往往還可以通過(guò)判斷直線(xiàn)是否

過(guò)定點(diǎn)來(lái)得出結(jié)論.

【變式2](多選)已知直線(xiàn)I:ax+by-產(chǎn)=0與圓(？*2+丫2=產(chǎn)，點(diǎn)A(a,b),則下列說(shuō)法正

確的是()

A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線(xiàn)/與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)/與圓C相離

C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線(xiàn)/與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線(xiàn)/上，則直線(xiàn)/與圓C相切

類(lèi)型II:用垂徑定理計(jì)算弦的方程

【例2】若圓(：建2+丫2一2*+4丫+1=0的弦1^的中點(diǎn)為A(2,-3),則直線(xiàn)MN的方程是()

A.2x-y-7=0B.x-y-5=0C.x+y+l=OD.x-2y-8=0

類(lèi)型ni：直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)

［例3］直線(xiàn)/:x-y+2=0被圓C:x2+(y-I)2=4截得的弦長(zhǎng)為.

【變式】若直線(xiàn)x-y+m=O(m〉O)與圓(x-I)2+(y-I)2=3相交所得的弦長(zhǎng)為m,則m=.

【反思】從例3和它的變式可以看出，求弦長(zhǎng)基本都會(huì)轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到直線(xiàn)的距離d上來(lái).

類(lèi)型IV：由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍

［例4］直線(xiàn)/:y=kx+l-2k與函數(shù)y=6耳的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍為()

A.k>-B.0<k<3C.0<k<-D.-3Wk<0

33

【反思】①解析幾何中出現(xiàn)根式，可嘗試通過(guò)平方變形成圓、橢圓等二次曲線(xiàn)，由于根號(hào)的范圍

限制，曲線(xiàn)往往只能取一半；②原題其實(shí)為“若方程kx+l-2k=有2個(gè)實(shí)數(shù)根，求

k的范圍”，你會(huì)做嗎？只需數(shù)形結(jié)合，即可轉(zhuǎn)化為本題的公共點(diǎn)問(wèn)題.

§第3節(jié)圓的切線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算

一、內(nèi)容提要

1.求圓C:(x-a)?+(y-by=/過(guò)點(diǎn)P(x()，yo)的切線(xiàn)：

①若點(diǎn)P在圓上，如圖1,可由，PC11找到切線(xiàn)/的斜率(斜率可能不存在，此時(shí)切線(xiàn)即為x

=X。),結(jié)合點(diǎn)P可求得切線(xiàn)方程.

②若點(diǎn)P在圓外，如圖2,可設(shè)切線(xiàn)斜率為k(需先考慮斜率不存在的情況)，結(jié)合點(diǎn)P寫(xiě)出切線(xiàn)

的方程，并由圓心到直線(xiàn)的距離d=r?來(lái)解k.

2.計(jì)算切線(xiàn)長(zhǎng)：如圖2,切線(xiàn)長(zhǎng)|PA|=|PB|=V|PC|2-r2.

3.計(jì)算切點(diǎn)弦方程：如圖3,點(diǎn)P(x()，yo)在圓C:(x-a/+(y-b)?=產(chǎn)外，PA,PB是兩條切

線(xiàn)，A,B是切點(diǎn)，貝ljPAIAC,PB1BC,,所以P,A,C,B四點(diǎn)都在以PC為直徑的圓上(如圖4),

AB恰好為該圓與圓C的公共弦，故可由兩圓的方程作差求得直線(xiàn)AB的方程.

4.切線(xiàn)和切點(diǎn)弦方程的結(jié)論:設(shè)點(diǎn).P(x()，yo),將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)?+(y-bp=產(chǎn)變成(x

一a)(x()-a)+(y-b)(y()-b)=產(chǎn),或在圓的一般式方程x?+y?+Dx+Ey+F=0中，用x°x

2

替換x,用yoy替換y)用等替換x,用等替換y,可以得到一個(gè)新方程，當(dāng)P在圓上時(shí)，

如圖1,該方程表示切線(xiàn)/；當(dāng)P在圓外時(shí)，如圖3,該方程表示切點(diǎn)弦AB所在直線(xiàn)的方程.

5.如圖3,四邊形PACB的面積S=SiPAC+SiPBC=1|PC|-|AD|+||PC|-|BD|=||PC|■(|AD

|+|BD|)=||PC|-|AB|.

二、考點(diǎn)題型

類(lèi)型I：求圓的切線(xiàn)方程

【例1】圓C:(x—I)?+y2=4過(guò)點(diǎn)P(2,V3)的切線(xiàn)方程為.

【變式】過(guò)P(0,2)作與圓C:x2+y2-2x=0相切的直線(xiàn)/,貝心的方程為.

類(lèi)型II:切線(xiàn)長(zhǎng)有關(guān)計(jì)算

【例2】已知圓C:(x-iy+(y—1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(3,3)作直線(xiàn)與圓C相切于點(diǎn)A,則|PA|=

【變式1】已知直線(xiàn)/：x+2y-l=o和圓C:(x+iy+(y+2)2=4,過(guò)直線(xiàn)/上的動(dòng)點(diǎn)P作圓C的切

線(xiàn)PA,A為切點(diǎn)，則|PA|的最小值為()

A4V5o2V5「4V70「2V70

A.--D.--C.---L).---------

【變式2](多選)已知點(diǎn)P在圓(x—5y+(y—5)2=16上，點(diǎn)A(4,0),B(0,2),貝!]()

A.點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|PB|=3&D.當(dāng)NPBA最大時(shí)，|PB|=3企

【反思】從例2及兩個(gè)變式可以看出，算切線(xiàn)長(zhǎng)，關(guān)鍵是算圓外的點(diǎn)與圓心的距離.

類(lèi)型m：切點(diǎn)弦相關(guān)計(jì)算

【例3】過(guò)點(diǎn)P⑶1)作圓C:(x-l)2+y2=l的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,則直線(xiàn)AB的方程

為()

A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0

【反思】上述解法1的過(guò)程中，為什么用兩圓方程作差就能得到公共弦AB所在直線(xiàn)的方程？因

為作差得到的必為直線(xiàn)方程，且兩交點(diǎn)A,B都滿(mǎn)足該方程，故該方程即為公共弦AB所在直線(xiàn)的

方程.

【變式l】若圓C:(x-l)2+(y-2)2=2,過(guò)原點(diǎn)作C的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,則|AB|=

【變式2](多選)已知圓M:(x+l)2+y2=2,直線(xiàn)/:x-y-3=0,點(diǎn)P在直線(xiàn)/上運(yùn)動(dòng)，直線(xiàn)PA,

PB分別與圓M相切于點(diǎn)A和B,貝1)()

A.四邊形PAMB的面積的最小值為百B.|PA|最短時(shí),直線(xiàn)AB的方程為x-y-l=O

C[PA|最短時(shí),|AB|=V6D.直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(一],-0

【反思】切點(diǎn)弦的結(jié)論在選填題中用起來(lái)很方便，但例3解法1給出的推導(dǎo)方法，也需要掌握.

若遇到解答題，則可用該方法來(lái)求切點(diǎn)弦方程.

§第4節(jié)圓與圓的位置關(guān)系

一、內(nèi)容提要

1.設(shè)圓品和圓C2的半徑分別為則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下表:

2.公共弦方程：當(dāng)兩圓相交時(shí)，它們的公共弦所在直線(xiàn)的方程可用兩圓方程作差消去平方項(xiàng)獲

得.因?yàn)樽鞑畹玫降谋貫橹本€(xiàn)方程，且兩交點(diǎn)都滿(mǎn)足該方程，故該方程即為公共弦的方程.

二、考點(diǎn)題型

類(lèi)型I：圓與圓的位置關(guān)系

【例1】圓Cd+yz—2y=0與圓0:x?+y?=4的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.內(nèi)含

【變式1】若圓Cl：(X-1)2+(y-a)2=4與圓C2：(x+2尸+(y+1尸=a?相交，則正實(shí)數(shù)a的

取值范圍是()

A.(3,+8)B.(2,+8)c.(|，+8)D.(3,4)

【變式2】已知圓Cl：(x-3)2+(y+2)2=1與圓C2：(x-7)2+(y_I)2=50-a有且僅有一個(gè)公

共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a=()

A.14B.34C.14或45D.34或14

類(lèi)型II：兩圓公切線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題

【例2】?jī)蓤AJ:x2+y2=l與?2：儀+3尸+丫2=4的公切線(xiàn)的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【反思】判斷圓與圓公切線(xiàn)的條數(shù)，本質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系.

【變式1】若圓CiX?+y2-2mx+m?=4和圓Cz：x?+y2+2x-4my=8-4m,沒(méi)有公切線(xiàn),

則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

【變式2】已知圓Ci：（x+2a）2+y2=4與圓C2：x?+（y-曠=1只有一條公切線(xiàn)，若a,beR且

abWO,則*+上的最小值為.

【例3】寫(xiě)出與圓x2+y2=1和（x—3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線(xiàn)的方程.

【反思】求兩圓公切線(xiàn)方程的步驟：①判斷兩圓的位置關(guān)系，確定公切線(xiàn)條數(shù)；②設(shè)公切線(xiàn)方程

為y=ka+b（要討論斜率不存在的情形）；③利用兩圓圓心到公切線(xiàn)的距離等于各自半徑，建

立方程組求k和b.

類(lèi)型in：公共弦相關(guān)問(wèn)題

【例4】圓Ci：x『+y2=4和圓Cz：(x-I)?+(y-2)2=9交于A、B兩點(diǎn),則直線(xiàn)AB的方程為

【反思】當(dāng)兩圓相交時(shí)，直接用兩圓的方程作差，消去X。和y2,化簡(jiǎn)即得兩圓公共弦所在直線(xiàn)

的方程.

【變式】若圓X?+y2=4與圓X?+y2+2ax+4ay-9=0相交，且公共弦長(zhǎng)為則a=___.

【反思】計(jì)算兩圓的公共弦長(zhǎng)，可先求公共弦所在直線(xiàn)的方程，再按直線(xiàn)被其中一個(gè)圓截得的弦

長(zhǎng)來(lái)算.

§第5節(jié)圓中最值問(wèn)題

一、內(nèi)容提要

圓中的最值問(wèn)題一般有兩種處理方法：幾何法、代數(shù)法.

1.幾何法：五個(gè)基本模型(下述r均為圓C的半徑)

①模型1：如圖1,M為圓C外一定點(diǎn)，P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則|MC|—rW|PM|W|MC|+r,當(dāng)P

分別位于圖中Pi和Pz處時(shí)，左右兩邊分別取等號(hào).

②模型2：如圖2,M為圓C內(nèi)一定點(diǎn)，P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則偌黑明，所以

喘I<\pc\；黑二;圖故ICMWIPM<r+1CMI,當(dāng)P分別位于圖中R和B處時(shí),左

-

1111*1|11|I|C?ivlI"T"|L?LVL|

右兩邊分別取等號(hào).

③模型3：如圖3,設(shè)直線(xiàn)/與圓C相離，圓心C到直線(xiàn)/的距離為d,則圓上動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)/的

距離的取值范圍為[d-r,d+r],其中d-r和d+r分別在圖中的R、B處取得.

④模型4：如圖4,設(shè)直線(xiàn)/與圓C相交，圓心C到直線(xiàn)/的距離為d,則圓上動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)/的

距離的最大值在P處取得，且最大值為d+r.

⑤模型5：如圖5,過(guò)圓C內(nèi)一定點(diǎn)P作圓的弦，則最長(zhǎng)的弦為圓的直徑，那最短的弦呢?我們知

道弦長(zhǎng)L=2s'2-d2,所以要使/最小,則需d最大，此時(shí)的弦應(yīng)與PC垂直，如圖中的AB,因

為若弦不與PC垂直，如圖中的AB1則圓心到弦A，B，的距離d是圖中陰影三角形的一條直角邊,

必定小于斜邊PC,而對(duì)于弦AB,圓心C到它的距離即為|PC|,所以當(dāng)弦垂直于PC時(shí)，d最大，

弦長(zhǎng)/最小.

2.代數(shù)法：設(shè)圓C:(x—a)2+(y—b)2=r2(r)0),可將其方程變形成(牛丫+(寧丫=1,在三

-=COS0

角函數(shù)那部分，我們知道cos20+sin20=1,所以可據(jù)此進(jìn)行三角換元，令3=sin。'從而

二;吃，故對(duì)于圓C上的動(dòng)點(diǎn)P,可將其坐標(biāo)設(shè)為((a+rcosO，b+rsinO)(這種設(shè)法中

y=D十rsinu

9的幾何意義可參考下圖)，將求最值的目標(biāo)表示成關(guān)于9的三角函數(shù)，借助三角函數(shù)求最值.

二、考點(diǎn)題型

類(lèi)型I:圓上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題

【例1】設(shè)P為圓：(X—l￥+(y—1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，。為原點(diǎn)，則|0P|的取值范圍為.

【變式】已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

類(lèi)型II：圓上動(dòng)點(diǎn)與直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題

【例2】若P為圓C:(x-I)?+(y-I)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)/：x+y+l=O的距離的取值

范圍為.

【變式1】直線(xiàn)x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2±,則4

ABP的面積的取值范圍是()

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2-3V2]D.[2&,3注]

【反思】本題也可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2+V^cosO,esine),用三角的方法來(lái)求h的取值范圍，不妨

試試.

【變式2】設(shè)P為圓C:(x—1尸+(y—1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，Q為直線(xiàn)/:x+y+l=O上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ

的最小值為

【變式3】設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=-J4一(x-l)2圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q(2a，a—3)(aeR),則

|PQ|的最小值為()

A.^-2B.V5C.V5-2D.誓-2

【反思】當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)含參時(shí)，例如P(f(a),g(a)),則可設(shè)P(x,y),由e!消去參數(shù)a

(y=g(a)

得到關(guān)于X和y的方程，從而找到點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡.

類(lèi)型皿：圓內(nèi)過(guò)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)最值

【例3】設(shè)圓x?+y2—6x=0,過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線(xiàn)被該圓截得的弦的長(zhǎng)度的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

【變式】若直線(xiàn)/：kx+y-k=O與圓C:x?+y2-4x-2y-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則△ABC的面積

的最大值為()

A.4B.8C.2V3D.4V3

【反思】圓中涉及弦長(zhǎng)、面積等相關(guān)的范圍問(wèn)題都可以考慮轉(zhuǎn)化成圓心到直線(xiàn)的距離d的范圍來(lái)

處理.

類(lèi)型IV：三角換元求最值

【例4】已知圓0:x2+y2=4,點(diǎn)P(x,y)是圓0上一點(diǎn).⑴x-y的取值范圍是;

(2)|x+V3y-51的最小值是.

【反思】看到動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.x2+y2=aBt,可考慮三角換元，將目標(biāo)式表示成關(guān)于0的單變量三

角函數(shù)來(lái)分析.

§第6節(jié)隱圓問(wèn)題

一、內(nèi)容提要

本節(jié)歸納高考中幾類(lèi)常見(jiàn)的隱圓問(wèn)題：

1.定長(zhǎng)對(duì)定點(diǎn)：平面上到定點(diǎn)C(a,b)的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)P的軌跡是圓，如圖1.

2.定長(zhǎng)對(duì)定角：

①平面上過(guò)兩定點(diǎn)A和B的直線(xiàn)/2互相垂直，則它們交點(diǎn)P的軌跡為圓，如圖2.

②平面上與兩定點(diǎn)A和B所成視角為固定銳角或鈍角的點(diǎn)的軌跡為一段圓弧，如圖3.

3.