圓-2023年上海中考數(shù)學一輪復習（原卷版）

專題17圓

t

1m命題趨勢

圓的有關(guān)基礎概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓軸題；圓周角

定理、切線長的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個特色性質(zhì)：相交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的

連心線的性質(zhì)。

在知識導圖

圓有關(guān)的性質(zhì)垂徑定理及推論

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

基本性質(zhì)

圓周角定理

圓內(nèi)接四邊形

相切

相交

一點和圓的位置關(guān)系相離

三點定圓方法

反證法

判定

直線和圓的位置關(guān)系一相切

隨

相交弦定理及推論

外離

切割線定理及推論

外切

I圓和圓之間的位置關(guān)系相交

內(nèi)切

半徑、邊心距、中心角計算

〒正多邊形計算邊長、面積的計算內(nèi)含

圓周長，弧長，組合圖形的周長

正多邊形和圓圓面積，扇形,組合圖形的面積

定義

圓錐弧長及面積公式

側(cè)面積、全面積的計算

在重點考向

一、圓的有關(guān)概念垂徑定理

一、與圓有關(guān)的概念

圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓.這

個固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑.以0點為圓心的圓記作。。，讀作圓0.

特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形.

確定圓的條件：

⑴圓心；

⑵半徑，

⑶其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小.

補充知識：

1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦.

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作AB,讀作弧/氏在同圓或等

圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角.

圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

三角形的外接圓

經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三

角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

點與圓的位置有三種：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點在圓外點在圓的外部d>ro點P在0。的外部.

點在圓上&點在圓周上d=ro點P在0。的圓周上.

點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部d<rc點P在O。的內(nèi)部.

三點定圓的方法：

1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點0為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓

有無數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點0作為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A、B

的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點時：

情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在；

情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點。是唯一存在的，

這樣的圓有唯一一個.

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

二、垂徑定理

對稱性

1.圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線

2.圓是中心對稱圖形。

垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

常見輔助線做法（考點）：

1）過圓心，作垂線，連半徑，造RT△,用勾股，求長度；

半徑2=弦心距2+（T弦長）2

2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分.

典例引裾

一、單選題

1.下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最

長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.己知。4=4,以。為圓心，廠為半徑作O。.若使點/在內(nèi)，則7?的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

3.過O。內(nèi)一點〃的最長弦為10cm,最短弦長為8cm,則（W的長為（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.^41cm

4.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

5.如圖，在。。中，于點。，ND的長為3cm,則弦N8的長為（）

?

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

6.己知。。的直徑/2=10,弦CD14B于點/，若（W：OA=3：5,則弦NC的長度（）.

A.275B.4A/5C.3D.2石或46

7.如圖，已知RtA42C中，zC=90°,乙4=30。AC=6,以點2為圓心，3為半徑作02,則點C與02

的位置關(guān)系是（）

A^—--------°C

A.點C在02內(nèi)B.點。在02上C.點C在02外D.無法確定

8.如圖，48為。。的弦，點C在48上，4C=4,BC=2,CZUOC交O。于點D,則CD的長為（）

c.2V2D.372

二、填空題

9.平面直角坐標系內(nèi)的三個點/(1,—3)、B(0,-3)、C(2,-3),_確定一個圓.(填“能”或“不

能”)

10.下列說法正確的是(填序號).

①半徑不等的圓叫做同心圓；②優(yōu)弧一定大于劣?。?/p>

③不同的圓中不可能有相等的弦；④直徑是同一個圓中最長的弦.

11.A,B是半徑為3的。。上兩個不同的點，則弦42的取值范圍是.

12.如圖，直角坐標系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A,B,C,其中B點坐標為(4,4),則該圓弧所在圓的圓心

坐標為?

13.如圖，NP4c=30。,在射線AC上順次截取4D=3a〃，DB=10cm,以。8為直徑作。。交射線AP于

E、尸兩點，則線段EF的長是cm.

14.如圖，在矩形NBCD中，AB=2,AD=1,以頂點。為圓心作半徑為「的圓.若要求另外三個頂點4瓦。

中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，則『的取值范圍是.

15.如圖，半圓O的半徑為2,E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EEUAB),當被折的圓弧與

直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是

三、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應的其余各組量分別相等

典例引函

一、單選題

1.下列說法中，正確的是（）

A.等弦所對的弧相等B.等弧所對的弦相等

C.圓心角相等，所對的弦相等D.弦相等所對的圓心角相等

2.如圖，在一個圓內(nèi)有前、CD，樂，若前+麗=樂，則AB+CD與所的大小關(guān)系是（）

A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD<EFD.AB+CD>EF

3.在。。中，AB,CD為兩條弦，下列說法①若4B=CD,則/=①；②若壺=SB，則A8=2CD；

③若AB=2CD,則弧AB=2弧CD；④若NAOB=2NCOD,則28=20其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖，扇形0AB的圓心角為90。，點C、D是蕊的三等分點，半徑OC、OD分別與弦AB交于點E、

F,下列說法錯誤的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.NDFB=75°

5.如圖，C、D為半圓上三等分點，則下列說法：?AD=CD=BC^②NAOD=NDOC=NBOC；③AD=

CD=OC；④Z^AOD沿OD翻折與aCOD重合.正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.如圖，AB是。。的直徑，C、。是。。上的兩點，且點C為弧54D的中點，連接CD、CB、OD,CD

與AB交于點F.若乙4。。=100。，則ZABC的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

二、填空題

7.120。的圓心角是360。的分之一，它所對的弧是相應圓周長的分之一.

8.如圖，已知點C是。。的直徑上的一點，過點C作弦DE,使CD=CO.若石的度數(shù)為35。，則直

的度數(shù)是____.

E

9.已知，如圖以AB為直徑的OO,BC1AB,AC交。0于點D,點E在。0上，若NDEB=25。，則

ZC=.

BC

10.如圖，在平行四邊形N8C。中，NC=60。，點/,8在。。上，點。在優(yōu)弧場上，DA=DB,則々。。

的度數(shù)為.

三、解答題

11.已知：如圖，在OO中，弦AB與半徑OE、OF交于點C、D,AC=BD,求證:

⑴OC=OD：

(2)TE=BF.

12.如圖，MB,是O。的兩條弦，點。分別在弧人小，弧上，且N2=CD,點M是弧/C的中

點.

(1)求證：MB=MD；

(2)過。作OELWB于E,OE=1,。。的半徑是2,求“。的長.

13.如圖，過。。的直徑N8上兩點分別作弦斯，CDHEF,AC=BF.

求證：(1)BC^AF-

(2)AM=BN.

14.已知48是。。的直徑，點。在O。上，。為弧2c的中點.

(1)如圖①，連接NC,AD,OD,求證：OD〃AC；

(2)如圖②，過點。作DE14B交。。于點E,直徑斯交/C于點G,若G為/C的中點，。。的半徑

為2,求NC的長.

圖①圖②

15.已知。。的直徑48=4,弦/C與弦AD交于點￡.且。DL/C,垂足為點尸.

(2)如圖2,如果￡為弦AD的中點，求EF:DF

在重點考向

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系：設?。的半徑為r,圓心。到直線1的距離為d,則直線和圓的位置關(guān)系如下表:

位置

圖形定義性質(zhì)及判定

關(guān)系

相離巫直線與圓沒有公共點d>r=直線1與O。相離

直線與圓有唯一公共點,直線叫

相切d=ro直線1與0。相切

做圓的切線，公共點叫做切點

直線與圓有兩個公共點,直線叫

相交d<rQ直線1與0。相交

做圓的割線

切線的性質(zhì)及判定

切線的性質(zhì)：

定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

切線的判定

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、圓和圓的位置關(guān)系

圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設?！?、°02的半徑分別為R、r（其中R>r）,兩圓圓心距為

d,則兩圓位置關(guān)系如下表：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

兩個圓沒有公共點，并且每個

d>R+兩圓外

外離圓上的點都在另一個圓的外

離

部.

兩個圓有唯一公共點，并且除

d=R+ro兩圓外

外切了這個公共點之外，每個圓上

切

的點都在另一個圓的外部.

相交兩個圓有兩個公共點.R-r<d<R+

兩圓相交

兩個圓有唯一公共點，并且除

內(nèi)切了這個公共點之外，一個圓上d=R-r=兩圓內(nèi)切

口的點都在另一個圓的內(nèi)部.

兩個圓沒有公共點，并且一個

圓上的點都在另一個圓的內(nèi)0Wd<R-r=兩圓

內(nèi)含

部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一內(nèi)含

種特例.

【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外

離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況.

定理1：相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點。

共倒引穆

一、單選題

1.（2023春?上海?九年級專題練習）己知圓a、圓a的半徑不相等，圓Q的半徑長為5,若圓a上的點A

滿足/a=5,則圓。與圓Q的位置關(guān)系是（）

A.相交或相切B,相切或相離C.相交或內(nèi)含D.相切或內(nèi)含

2.（2022春?上海青浦?九年級?？计谥校┤绻麅蓤A的半徑長分別為6與2,圓心距為4,那么這兩個圓的位

置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

3.（2023春?上海?九年級專題練習）已知同一平面內(nèi)有和點/與點8,如果的半徑為6cm,線段

OA=10cm,線段OB=6cm,那么直線與。。的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

4.（2023春?上海?九年級專題練習）在直角坐標系中，點P的坐標是（2,6）,圓尸的半徑為2,下列說法

正確的是（）

A.圓P與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點

B.圓尸與x軸有兩個公共點，與〉軸有一個公共點

C.圓尸與x軸、了軸都有兩個公共點

D.圓P與x軸、了軸都沒有公共點

5.（2022春?上海閔行?九年級?？计谥校┤鐖D，在RtZ\23C中，ZC=90°,AC=4,BC=7,點。在邊

BC上,CD=3,的半徑長為3,。。與相交，且點3在。。外，那么。。的半徑長廠的取值范圍是

（）

A.l<r<4B.2<r<4C.l<r<8D.2<r<8

6.（2022?上海?九年級專題練習）在四邊形48co中，AD//BC,ZABC=90°f48=4,BC=4,AD=1

（如圖）.點。是邊。。上一點，如果以。為圓心，0。為半徑的圓與邊5。有交點，那么0。的取值范圍是

（）

B.竺MOD/

92

D.也。?？?/p>

926

二、填空題

7.（2023秋?上海?九年級校考期末）已知。Q與。Q兩圓外切，。。2=5,0a的半徑為3,那么。a的半

徑r為.

8.（2023春?上海?九年級專題練習）在Rt“8C中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,分別以點4C為圓心

畫圓，如果點B在GL4上，0c與ON相交，且點A在。C外，那么QC的半徑長廠的取值范圍是

9.（2023春?上海?九年級專題練習）已知4〃4，4、4之間的距離是5cm,圓心。到直線4的距離是2cm,

如果圓。與直線4、4有三個公共點，那么圓。的半徑為cm.

10.（2022春?上海?九年級?？茧A段練習）如圖，在中，ZC=90°,BC=9,4C=12,點。在

邊4B上，且80=204,以點。為圓心，：?為半徑作圓，如果。。與Rt448C的邊共有4個公共點，那么

半徑廠取值范圍是.

11.（2023春?上海?九年級專題練習）如圖，直線48,CD相交于點。，N/OC=30。，圓P的半徑為1c加,

動點P在直線AB上從點O左側(cè)且距離O點6cm處，以lcm/s的速度向右運動，當圓尸與直線CD相切時,

圓心尸的運動時間為s.

12.（2021?上海閔行?九年級期末）如圖，在RM/8C中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,點P在邊AC上,

0P的半徑為1,如果。P與邊BC和邊AB都沒有公共點，那么線段PC長的取值范圍是.

13.（2022?上海?九年級專題練習）如圖，在直角梯形/BCD中，AD//BC,ZA=90°,￡是4D上一定點，

/2=3,3C=6,4D=8,/E=2.點尸是8c上一個動點，以P為圓心，pc為半徑作。尸.若與以￡為圓

心，1為半徑的OE有公共點，且。尸與線段ND只有一個交點，則PC長度的取值范圍是

A,―------------7D

B

三、解答題

14.(2023春?上海?九年級專題練習)已知：如圖，與OQ外切于點7，經(jīng)過點7的直線與。。八OQ

分別相交于點/和點區(qū)

(1)求證:。/〃。赤；

(2)若?！?2,。速=3,AB=7,求/T的長.

15.(2022春?上海?九年級?？计谥?已知：如圖，。。與OQ相交于點/和點8,ACHOtO,,交O。/于

點C,的半徑為5,O。?的半徑為舊，AB=6.

(1)弦ZC的長度；

⑵四邊形NCO/Q的面積.

16.(2022春?九年級單元測試)如圖，半徑為1的。。與過點。的OP相交，點/是。。與O尸的一個公

共點，點2是直線4P與O。的不同于點/的另一交點，聯(lián)結(jié)CM,OB,OP.

(1)當點2在線段/P上時,

①求證：^AOB=7-APO；

②如果點3是線段/P的中點，求必。尸的面積；

（2）設點C是OP與。。的不同于點/的另一公共點，聯(lián)結(jié)PC,BC.如果"C3=a,乙4P。=|3,請用含a

的代數(shù)式表示P.

在_重點考向

.

五、正多邊形和圓

正多邊形和圓

正多邊形

正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形的相關(guān)概念：

>正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

>正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

>正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

>正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：

半徑2=邊心距2+4邊長）2

畫圓內(nèi)接正多邊形方法：

1）量角器

（作法操作復雜，但作圖較準確）

2）量角器+圓規(guī)

（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）

3）圓規(guī)+直尺

（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…?.）

共倒引穆

一、填空題

1.（2023春?上海?九年級專題練習）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為.

2.（2023春?上海?九年級專題練習）如圖，如果/仄/C分別是圓。的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條

邊，2c一定是圓。的內(nèi)接正〃邊形的一條邊，那么/.

3.（2021?上海?統(tǒng)考二模）如圖，的半徑為6,如果弦N8是內(nèi)接正方形的一邊，弦/C是。。內(nèi)接

正十二邊形的一邊，那么弦2C的長為

4.（2021?上海?九年級專題練習）如圖，正六邊形4BCDE戶的頂點3,C分別在正方形?WP的邊4W,

MN上.若48=4,則CN=.

5.（2022?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，已知點G是正六邊形/8CDE/對角線”上的一點，滿足

BG=3FG,聯(lián)結(jié)尸C,如果AMG的面積為1,那么AEBC的面積等于.

6.（2021?上海?九年級專題練習）公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這

個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積，如圖，

。。是正十二邊形的外接圓，設正十二邊形的半徑CM的長為1,如果用它的面積來近似估計。。的面積，

那么。。的面積約是—.

7.（2023春?上海?九年級專題練習）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的

“聯(lián)絡四邊形”，已知圓的半徑長為5,這個圓的一個聯(lián)絡四邊形是邊長為2石的菱形，那么這個菱形不在圓

上的頂點與圓心的距離是.

8.（2021?上海?九年級專題練習）如圖，下列正多邊形都滿足A4尸C3”在正三角形中，我們可推得：

O

乙4。2/=60。；在正方形中，可推得：ZJOS7=90；在正五邊形中，可推得：乙4。2/=108。，依此類推在正八

邊形中，AOB]=°,在正"（此3）邊形中，ZJOS7=°.

二、解答題（圓內(nèi)接四邊形練）

9.（2022秋?江蘇蘇州?九年級校考期中）如圖，“ABC與。。交于D,E兩點，48是直徑且長為12,

OD//BC.

⑵若4。=4,求CE的長度.

10.（2022秋?浙江杭州?九年級?？计谥校┮阎鐖D，是。。的直徑，弦CDL/3于點E,G是北上

一點，/G與。C的延長線交于點尸，設半徑為R.

⑴若CD=8,BE=2,求：

①OE=（用R的代數(shù)式表示）；

②。。的半徑長.

（2）求證：ZFGC=ZAGD.

在模擬檢測

.

一、解答題

1.（2021?上海楊浦?統(tǒng)考二模）己知：如圖，是半圓。的直徑，C是半圓上一點（不與點/、8重合）,

過點/作NO〃OC交半圓于點。，￡是直徑N8上一點，且聯(lián)結(jié)CE、CD.

（1）求證：CE=CD；

（2）如果25=3而，延長EC與弦的延長線交于點尸，聯(lián)結(jié)。。，求證：四邊形OCFD是菱形.

2.（2020?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，已知AB、AC是OO的兩條弦，且AO平分NBAC.點M、N分別在

弦AB、AC上，滿足AM=CN.

（1）求證：AB=AC；

（2）聯(lián)結(jié)OM、ON>MN,求證：---=----.

ABOA

3.（2023春?上海?九年級專題練習）已知：如圖，。。與OP相切于點/,如果過點/的直線8c交O。于

點、B,交。尸點C,ODL4B于點、D,PEL4C于點￡.

（2）如果。。和OP的半徑比為3:5,求其的值.

AC

4.（2023秋?上海?九年級校考期末）已知：如圖，N8是。。的直徑，C是。。上一點，CD1AB,垂足為

點、D,尸是灰的中點，。尸與/C相交于點E,NC=12,EF=3.

⑴求40的長；

(2)求cosC的值.

5.(2023春?上海?九年級專題練習)已知為。。的直徑，A、2為。。上兩點，點C為劣弧中點，連

接D4BA、AC,且23=30。.

⑴求證：/。=30