2025年二次函數(shù)知識點(diǎn)

二次函數(shù)I.定義與定義體現(xiàn)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)體現(xiàn)式的右邊一般為二次三項(xiàng)式。II.二次函數(shù)的三種體現(xiàn)式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線]注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函數(shù)的圖像在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。IV.拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。尤其地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一種頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P[-b/2a，(4ac-b^2;)/4a]。當(dāng)-b/2a=0時，P在y軸上；當(dāng)Δ=b^2-4ac=0時，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c）6.拋物線與x軸交點(diǎn)個數(shù)Δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)。Δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。V.二次函數(shù)與一元二次方程尤其地，二次函數(shù)（如下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c，當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為有關(guān)x的一元二次方程（如下稱方程），即ax^2;+bx+c=0此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。答案補(bǔ)充畫拋物線y＝ax2時，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最終連線。列表選用自變量x值時常以0為中心，選用便于計算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。二次函數(shù)解析式的幾種形式(1)一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).(3)兩根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個根，a≠0.闡明：(1)任何一種二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h＝0時，拋物線y＝ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k＝0時，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h＝0且k＝0時，拋物線y＝ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)答案補(bǔ)充假如圖像通過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；假如對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k定義與定義體現(xiàn)式一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）則稱y為x的二次函數(shù)。二次函數(shù)體現(xiàn)式的右邊一般為二次三項(xiàng)式。x是自變量，y是x的函數(shù)二次函數(shù)的三種體現(xiàn)式①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)]：y=a(x-h)^2+k③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac