高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第22講專題8-3向量的極化恒等式與等和線

專題83向量的極化恒等式TOC\o"13"\h\u題型1極化恒等式 2◆類型1基礎(chǔ)運(yùn)用 3◆類型2兩向量共同的起點(diǎn)為動點(diǎn) 4◆類型3兩向量終點(diǎn)為動點(diǎn) 9◆類型4兩向量起點(diǎn)和終點(diǎn)均為動點(diǎn) 11題型2等和線 12知識點(diǎn)一：極化恒等式1.平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:|a+b2.極化恒等式：a3.如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.知識點(diǎn)二.平面向量等和線定理平面內(nèi)一組基底OA,OB及任一向量OP，OP=λOA+μ（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k=1，（2）當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時，k∈（0，1）；（3）當(dāng)直線AB在點(diǎn)O和等和線之間時，k∈（1，+∞）；（4）當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時，k=0；（5）若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對稱，則定值k互為相反數(shù).等和線原理：OAOF=λ題型1極化恒等式【方法總結(jié)】a在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則AB·◆類型1基礎(chǔ)運(yùn)用【例題11】設(shè)向量a,b滿足a+b=A．1 B．2 C．3 D．5【答案】A【詳解】因?yàn)閨a+b|2=(a+b考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量知識，熟練基礎(chǔ)知識與基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵．【變式11】1．在△ABC中(2CA?CB【答案】3【分析】直接構(gòu)造極化恒等式的結(jié)構(gòu)，即可求解.【詳解】【解析】CB+CA即為CB和CA的和向量；AB=CB?CA即為CB和CA的差向量，所以原問題可轉(zhuǎn)化成兩向量和向量模與兩向量差向量模的比.再觀察條件，若利用極化恒等式可將原條件轉(zhuǎn)化如下：(2CA?CB故答案為：3【變式11】2．如圖，在平面四邊形ABCD中，AC=AD=2，∠DAC=120°，∠ABC=90°，則BD?【答案】1【分析】利用轉(zhuǎn)化法求出BD?BC=【詳解】取CD的中點(diǎn)E，連接EA，EB，由AC=AD=2，∠DAC=120°?AE⊥CD,DE=ADsin由∠ABC=∠AEC=90°，得A,B,C,D四點(diǎn)共圓，且直徑為AC．則BD?所以BD?故答案為：1.◆類型2兩向量共同的起點(diǎn)為動點(diǎn)【例題12】在面積為2的平行四邊形ABCD中，點(diǎn)P為直線AD上的動點(diǎn)，則PB?【解析】取BC的中點(diǎn)O，則PB?如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)H且使HO⊥BC與HO=32【變式12】1.已知△ABC中，AB=4，AC=2，且|λAB+(2?2λ)AC∣(λ∈R)的最小值為23，若P【解析】令A(yù)D=λAB+(2?2λ)AC=λAB+(1?λ)AE（其中AE=2AC），則D，B，E三點(diǎn)共線（如圖），從而∣λAB+(2?2λ)AC∣?23取BC的中點(diǎn)M，則由向量極化恒等式可得PB?其中d為點(diǎn)M到邊AB的距離．即當(dāng)點(diǎn)P在垂足H（非端點(diǎn)）處時，PB?【變式12】2.在銳角△ABC中，已知∠B=π3【解析】考慮到題中的形式，學(xué)生一般是想通過極化恒等式進(jìn)行處理．由題意，取BC的中點(diǎn)為M，立即可得等式AB?如圖，取BC的中點(diǎn)M，可得AB?AC=AM2?MB2=AM2?1過點(diǎn)C作CA2⊥BC，垂足為C，此時∠因此AM2∈(1，13)，故AB反思：破解這類問題，因通過極化恒等式轉(zhuǎn)化后，線段的最值求解沒有一定的現(xiàn)成條件可以推理，對學(xué)生往往會造成困惑，突破的關(guān)鍵是“化一般為特殊，破極限之惑”，要注意從極限位置入手，理解極限時的特殊狀態(tài)，問題的化解會有意想不到的效果．【變式12】3．設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)A．∠ABC=90° B．∠BAC=90° C．AB=AC D．AC=BC【答案】D【分析】取BC的中點(diǎn)D，由極化恒等式可得PB?PC=PD2?BD【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)D，由極化恒等式可得：PB?同理，P0B?則PD≥P0因?yàn)镻0B=14AB，D故選：D.【變式12】4．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA·(PB+PCA．?2 B．?32 C．?4【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A(0,3)，B(?1,0)，設(shè)P(x,y)，則PA=(?x,3?y)，PB則PA∴當(dāng)x=0，y=32時，取得最小值故選：B．【變式12】5．在銳角三角形△ABC中，已知B=60°，BC=2，則【答案】(0,12)【分析】因?yàn)锽C=2，故以B為原點(diǎn)，BA所在的直線為x軸建立坐標(biāo)系，則C(1,3)，設(shè)點(diǎn)A(x,0)，分析圖象可得x的取值范圍，則根據(jù)數(shù)量積的公式可得AB→【詳解】以B為原點(diǎn)，BA所在的直線為x軸建立坐標(biāo)系，如圖.因?yàn)锽=60°，BC=2，所以C(1,3)，設(shè)點(diǎn)又△ABC是銳角三角形，所以A+C=120°，所以30°<A<90°，即A在如圖的線段DE上（不與D，E重合），所以1<x<4.則AB→所以AB→?AC故答案為：0,12.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面向量的數(shù)量積計(jì)算問題，往往有兩種形式：一是利用數(shù)量積的定義式；二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式.涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用.利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).◆類型3兩向量終點(diǎn)為動點(diǎn)【例題13】已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△ABC為圓M：(x?1)2+(y?【解析】取BC的中點(diǎn)N，連結(jié)AN，取其中點(diǎn)D，如圖所示，則：OA?(當(dāng)正△ABC沿圓周運(yùn)動時，點(diǎn)D在以M圓心，以DM為半徑的小圓上運(yùn)動．由△ABC外接圓半徑為1，可求得AN=32，AD=34，AM=1，從而DM=1【變式13】1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，若點(diǎn)A、B分別在直角坐標(biāo)系的兩坐標(biāo)軸上運(yùn)動時，OA【解析】初看此題，學(xué)生一般想通過極化恒等式進(jìn)行處理，不妨取AC的中點(diǎn)為M，得等式OA?OC=OM2?AM2，但在如何處理如圖所示，不妨取AC的中點(diǎn)為M，AB的中點(diǎn)為N，則由極化恒等式可得OA?OC=【變式13】2．如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，P是以C為圓心、1為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則AP?【答案】[?【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接PD,CD，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律有(PA+PB)2【詳解】如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接PD,CD.∵PA+PB=2PD，∴PA?∴AP?BP=∴AP?BP的取值范圍為故答案為：[?1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律得(PA+PB◆類型4兩向量起點(diǎn)和終點(diǎn)均為動點(diǎn)【例題14】如圖，已知△ABC是邊長為23的正三角形，EF為△ABC的外接圓O的一條直徑，M為△ABC的邊上的動點(diǎn)，則ME【解析】由已知易求得外接圓半徑為2．因?yàn)閳A心O是EF的中點(diǎn)，所以：ME?當(dāng)M為正三角形ABC三邊的中點(diǎn)時，MO最小值均為1，故ME?題型2等和線【方法總結(jié)】等和線定理是專門解決向量中系數(shù)之和的秒殺方法，對于系數(shù)之和以及系數(shù)類有關(guān)問題，均可以嘗試使用向量等系數(shù)和線原理。適用題型：解決共起點(diǎn)向量系數(shù)和取值范圍。【解題步驟及說明】1、確定等和線為1的線；2、平移（旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線，結(jié)合動點(diǎn)的可行域，分析何處取得最大值和最小值；3、從長度比或者點(diǎn)的位置兩個角度，計(jì)算最大值和最小值；說明：平面向量共線定理的表達(dá)式中的三個向量的起點(diǎn)務(wù)必一致，若不一致，本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平移固定的向量；若需要研究的兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和?！纠}2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若AP=xAB+yAC，則A．83 B．2 C．43【答案】A【分析】等和線的問題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)AP=λAE+μ∵BC//EF，∴設(shè)AEAB=∴AE=kAB∴x=λk,y=μk∴2x+2y=故選：A.【變式21】1．如圖，延長正方形ABCD的邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運(yùn)動一周后回到點(diǎn)A，若AP=λAB+μA．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)B．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個C．滿足λ+μ=3的點(diǎn)P有且只有一個D．λ+μ=32的的點(diǎn)P【答案】C【分析】建立坐標(biāo)系，討論P(yáng)∈AB，P∈BC，P∈CD，P∈AD四種情況，依次求出λ+μ的范圍，再判斷每個選項(xiàng)的正誤，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖建系，取AB=1，∵AE=∴AP=λ動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，當(dāng)P∈AB時，有0≤λ?μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，當(dāng)P∈BC時，有λ?μ=1且0≤μ≤1，則λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，當(dāng)P∈CD時，有0≤λ?μ≤1且μ=1，則μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，當(dāng)P∈AD時，有λ?μ=0且0≤μ≤1，則λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，綜上，0≤λ+μ≤3，選項(xiàng)A，取λ=μ=1，滿足λ+μ=2，此時AP=AB+AE=選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P取B點(diǎn)或AD的中點(diǎn)時，均滿足λ+μ=1，此時點(diǎn)P有兩個，故B錯誤；選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)P取C點(diǎn)時，λ?μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ為3，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P在BC,CD,AD上時，均可能滿足λ+μ=32，此時點(diǎn)故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)題中所給條件，利用建系的方法，討論P(yáng)的位置，根據(jù)AP=λAB+μ【變式21】2．如圖，在△ABC中，AD=DB，AE=EC，CD與BE交于點(diǎn)F．設(shè)AB=a，AC=b，AF=xA．12,12 B．23,【答案】C【分析】利用向量線性運(yùn)算表示出AF，由此求得x,y，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意可知F是三角形ABC的重心，AF=1所以x=y=13，即故選：C【變式21】3．如圖，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點(diǎn)）上運(yùn)動，P是圓Q上及內(nèi)部的動點(diǎn)，設(shè)向量AP=mAB+nAF（m，A．1,2 B．5,6 C．2,5 D．3,5【答案】