高中數(shù)學(xué)2.2《基本不等式》第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

《基本不等式》第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)《基本不等式》第2課時(shí)。從內(nèi)容上看是對(duì)基本不等式在實(shí)際問題中應(yīng)用的學(xué)習(xí)，通過問題解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在學(xué)法上要指導(dǎo)學(xué)生：從實(shí)際問題中列出數(shù)量關(guān)系式，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式解應(yīng)用題，數(shù)學(xué)建模能力也是本節(jié)要體現(xiàn)的重要素養(yǎng)。對(duì)例題的處理可讓學(xué)生先思考，然后師生共同對(duì)解題思路進(jìn)行概括總結(jié)，使學(xué)生更深刻地領(lǐng)會(huì)和掌握解應(yīng)用題的方法和步驟。教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A．能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題；B．圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意．設(shè)未知量．找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。例題的安排從易到難．從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平；C．進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及思維的創(chuàng)新性和深刻性．a(chǎn)．?dāng)?shù)學(xué)抽象：在實(shí)際問題中抽象出不等式；b．邏輯推理：運(yùn)用基本不等式求最值的條件；c．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算：靈活運(yùn)用基本不等式求最值；d．直觀想象：運(yùn)用圖像解釋基本不等式；e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；教學(xué)重難點(diǎn)1．重點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立不等關(guān)系，并能正確運(yùn)用基本不等式求最值；2．難點(diǎn)：注意運(yùn)用不等式求最大（小）值的條件課前準(zhǔn)備多媒體教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)（一）、小試牛刀1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)對(duì)任意的a，b∈R，若a與b的和為定值，則ab有最大值．()(2)若xy＝4，則x＋y的最小值為4.()(3)函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(2,x2＋1)的最小值為2eq\r(2)－1.()答案：（1）×（2）×（3）√2．已知x＋y＝1且x>0，y>0，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值是()A．2B．3C．4D．6解析：法一：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋y,xy)＝eq\f(1,xy)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2)＝4。當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)。法二：eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(x＋y,y)＝2＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．答案：C（二）、探索新知問題1.用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？AABDC解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為m,寬為m,則籬笆的長(zhǎng)為2（）m由?？傻?，2（）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為10m時(shí)。所用籬笆最短，最短籬笆為40m結(jié)論1：兩個(gè)正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時(shí)取最值.簡(jiǎn)記“積定和最小”.問題2.用段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為m,寬為m,則2（）=36，=18，矩形菜園的面積為。由可得.可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81結(jié)論2：兩個(gè)正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時(shí)取最值.簡(jiǎn)記“和定積最大”.（三）典例解析均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例1、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800深為3m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？分析：若底面的長(zhǎng)和寬確定了，水池的造價(jià)也就確定了，因此可轉(zhuǎn)化為考察底面的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，水池的總造價(jià)最低。解：設(shè)底面的長(zhǎng)為m,寬為m,水池總造價(jià)為元。根據(jù)題意，有由容積為4800可得由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得即，可得等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)所以,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低造價(jià)為297600元跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000m2，其中場(chǎng)地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2m，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地(其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為S平方米．(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多少？[解析](1)由已知xy＝3000,2a＋6＝y(tǒng)。則y＝eq\f(3000,x)(6<x<500)。S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a＝(2x－10)·eq\f(y－6,2)＝(x－5)(y－6)＝3030－6x－eq\f(15000,x)(6<x<500)．(2)S＝3030－6x－eq\f(15000,x)≤3030－2eq\r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430．當(dāng)且僅當(dāng)6x＝eq\f(15000,x)，即x＝50時(shí)，“＝”成立，此時(shí)x＝50.y＝60。Smax＝2430.即設(shè)計(jì)x＝50m，y＝60m時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2430m2．2．某商品進(jìn)貨價(jià)為每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷售價(jià)格為每件x(50≤x≤80)元時(shí)，每天銷售的件數(shù)為eq\f(105,x－402)，若想每天獲得的利潤(rùn)最多，則銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？解析：方法一：設(shè)當(dāng)銷售價(jià)格為每件x元時(shí)，獲得的利潤(rùn)為y，由題意知，y＝(x－50)·eq\f(105,x－402)＝(x－50)·eq\f(105,x－502＋20x－50＋100)＝eq\f(105,x－50＋\f(100,x－50)＋20).∵x－50≥0，∴x－50＋eq\f(100,x－50)≥20?！鄖≤eq\f(105,20＋20)＝2500。當(dāng)且僅當(dāng)x－50＝eq\f(100,x－50)，即x＝60或x＝40(舍去)時(shí)，等號(hào)成立，ymax＝2500.方法二：由題意知，y＝(x－50)·eq\f(105,x－402)。令x－50＝t，x＝t＋50(t≥0)。則y＝eq\f(105t,t＋102)＝eq\f(105t,t2＋20t＋100)＝eq\f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq\f(105,20＋20)＝2500。當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(100,t)，即t＝10時(shí)，等號(hào)成立。此時(shí)x＝60，ymax＝2500.答：當(dāng)銷售價(jià)格定為60元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最多，最多利潤(rùn)為2500元．【歸納總結(jié)】求實(shí)際問題中最值的一般思路(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式．(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮基本不等式，當(dāng)基本不等式求最值的條件不具備時(shí)，再考慮函數(shù)的單調(diào)性．(4)正確寫出答案．利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式例2已知a,b都是正數(shù),且a+b=1.求證:1+1分析:結(jié)合條件a+b=1,將不等式左邊進(jìn)行適當(dāng)變形,然后利用基本不等式進(jìn)行證明即可.證明:因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1.所.同.故5+2ba+ab≥5+4所以跟蹤訓(xùn)練1.已知：a，b，c∈R＋，求證：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.證明：由基本不等式：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c。同理：eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2a，eq\f(ab,c)＋eq\f(bc,c)≥2b.三式相加即得：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”)．【歸納總結(jié)】利用不等式a2＋b2≥2ab和a＋b≥2eq\r(ab)(a＞0，b≥0)時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)式子恰當(dāng)?shù)刈冃?。合理造成“和式”與“積式”的互化，必要時(shí)可多次應(yīng)用．