蘇科版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)：三角形（五種模型）專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）

專題02三角形（五種模型）專項(xiàng)訓(xùn)練

題型一：“8”字模型題型二：飛鏢模型

題型三：“A”字模型題型四：“老鷹捉小雞”模型

題型五：（雙）角平分線模型

題型一、“8”字模型

A

D乙----------

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

對(duì)頂角相等

一.填空題（共6小題）

1.（2022春?江都區(qū)月考）如圖所示，Zb=60°,則44+/5+/。+/。+/￡+//的度數(shù)為_240。

關(guān)BC

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到ZB與NC的和，然后在五星中求得N1與另外四個(gè)角的和，加在一起即

可.

【解答】解：由三角形外角的性質(zhì)得：N3=NA+NE,Z2=ZF+ZD,

Zl+Z2+Z3=180°,4=60。，

/.Z2+Z3=120°,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=120°,

ZB+ZC=120°,

7.ZA+NB+NC+ZD+N石+N尸=240。.

故答案為：240°.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角和三角形的內(nèi)角和的相關(guān)知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是將題目中的六個(gè)角分成

兩部分來(lái)分別求出來(lái)，然后在加在一起.

2.（2022春?東臺(tái)市月考）NA+NB+NC+NO+NE+N尸的度數(shù)=_360。_.

【分析】連接CD,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證得ZA+ZB=ZBDC+ZACD,則

ZA+ZB+Z.C+ZD+ZE+ZF=ZBDC+ZACD+ZACF+ZBDE+ZE+ZF=ZEDC+ZFCD+ZE+ZF,根據(jù)四

邊形的內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：連接8.

在ACDW和中，ZDMC=ZBMA,

:.ZA+ZB=ZBDC+ZACD,

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=ZBDC+ZACD+ZACF+ZBDE+ZE+ZF=ZEDC+ZFCD+ZE+ZF=360P

故答案為：360°

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和以及四邊形的內(nèi)角和定理，正確證明NA+NB=NBDC+NACD是關(guān)鍵.

3.（2022春?漣水縣校級(jí)月考）如圖，/4+々+/。+"+4+//的度數(shù)為_360。_

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360。可得NA+NB+NC+ND+NE+N/的度數(shù).

【解答】解:如圖,

Z1=Z2+ZF=ZB+ZE+ZF,Z1+ZA+ZC+ZD=360°,

NA+4+NC+NO+NE+NF=360°,

故答案為：360°.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形的內(nèi)角和，角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

【分析】如圖根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可知：ZDNC+ZD+ZC=18Q°,由三角形外角

性質(zhì)可知：ZAMB=ZA+ZE,ZDNC=ZB+ZAMB,根據(jù)三個(gè)等式即可求解.

【解答】解：如圖，設(shè)線段%>,3E分別與線段AC交于點(diǎn)N,M.

ZAMB=ZA+ZE,ZDNC=ZB+ZAMB,Z￡WC+ZD+NC=180°,

ZA+ZB+ZD+ZE+ZC^l80°,

故答案為：180.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記三角形的外角定理及內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

5.（2022春?蘇州月考）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=540°.

【分析】利用三角形外角性質(zhì)得到Z1=ZB+ZF+ZC,然后利用五邊形的內(nèi)角和求

ZA+ZB+NC+"+ZD+NE+NG的度數(shù).

【解答】解：如圖,

Z1=ZB+Z2,

而N2=Nb+NC,

;.Z1=ZB+ZF+Z.C,

-ZA+Z1+ZD+ZE+ZG=ZA+ZB+ZC+ZF+ZD+ZE+ZG=(5-2)x180°=540°.

故答案為540.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角：多邊形內(nèi)角和定理：（〃-2）.180（幾.3）且〃為整數(shù)），此公式推導(dǎo)的

基本方法是從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（w-3）條對(duì)角線，將n邊形分割為（附-2）個(gè)三角形，這（n-2）個(gè)三

角形的所有內(nèi)角之和正好是“邊形的內(nèi)角和.也考查了三角形外角性質(zhì).

6.（2023春?廣陵區(qū)期中）如圖所示，求Z4+NB+NC+ND+NE+Nb+NG=540度.

【分析】連接DG,根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得出NA+NAGF+N1+N2+N田C+NC+ZB=54O。，根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等求出Nl+N2=NE+Nb,代入求出即可.

【解答】解:

連接DG,

Zl+Z2+ZG(9D=180o,ZE+ZF+ZEOF=180°,

又iZ.GOD=ZEOF,

.-.Z1+Z2=ZE+ZF,

ZA+ZAGF+Zl+Z2+ZEE>C+ZC+ZB=（5-2）xl80°=540°,

ZA+ZB+ZC+ZEDC+ZE+ZF+ZAGF=540°,

故答案為：540.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，能根據(jù)定理得出ZA+ZAGF+Z1+Z2+NEDC+NC+Z.B=540°

和4+N2=NE+NF是解此題的關(guān)鍵.

二.解答題（共2小題）

7.（2022春?靖江市校級(jí)月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點(diǎn)O,連結(jié)AB、CD,NZMB和NBCD

的平分線"和CP相交于點(diǎn)P.試問“與ND、NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由.

【分析】根據(jù)“8字形”可得NaLB+N3=NOCD+ND,Z1+ZP=Z2+ZD,由角平分線的定義可得

ZOAB=2Z1,NOCD=2N2,整理可得結(jié)論.

【解答】解：2ZP=ZB+ZD,理由如下：

在AAOB和NCOD中，

ZAOB=NCOD,

:.ZOAB+ZB=ZOCD+ZD,

在AAEP和ACED中，

ZAEP^ZCED,

.-.Z1+ZP=Z2+ZD,

AP.CP分別是NZMB和NBCD的角平分線,

:.ZOAB=2Z1,NOCD=2/2,

:.2ZP-ZB=2ZD-ZD,

整理得，2ZP=ZB+ZD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，多邊形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，整體

思想的利用是解題的關(guān)鍵.

8.(2023春?靖江市期末)小明在學(xué)習(xí)過程中，對(duì)一個(gè)問題做如下探究.

如圖，在AABC中，射線交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段AD上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EP/ABC交直線

于點(diǎn)直線EG與射線交于點(diǎn)G.

(1)如圖1,若Z4BC=50。，ZACB=60°,ZCBD=ZABD,ZFEG=ZCEG,則55。；

(2)如圖2,若NA=70。，NCBD=2ZABD,NFEG=2NCEG,則NBGE=°；

(3)如圖3,若NCBD=nZABD,NFEG=nNCEGQi..1),則探索NBGE與NA之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

(4)如圖4,在(3)的條件下，若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)(此時(shí)G在AABC外部)，或在線段DC的延長(zhǎng)線

運(yùn)動(dòng)(此時(shí)G在AABC內(nèi)部)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中選擇其中的一種情況畫出示意圖，探索N3GE與之間的數(shù)

量關(guān)系，并說明理由.

圖1備用圖？

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出4ED,NCBD的度數(shù)，再根據(jù)已知條件求出NEEG和N￡FG,利

用外角性質(zhì)即可求出;

(2)設(shè)NABD=x,NCEG=y,根據(jù)題意可得NCBD=2x,NFEG=2y,進(jìn)而求出NFED=3y,NABC=3x,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)于x,y的方程，求出x+y,利用外角性質(zhì)即可求出；

(3)設(shè)=NCEG=y,根據(jù)題意可得NCBD="NASD,ZFEG=nZCEG,ZCBD=m,ZFEG=ny,

從而求出NEEG和NEFG,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出關(guān)于x,y的方程，求出x+y,利用外角性質(zhì)即

可求出；

(4)設(shè)ZABD=x,ZCEG=y,根據(jù)題意可得Z.CBD=nZABD,ZFEG=nZCEG,Z.CBD=nx,ZFEG=ny,

從而求出“EG和NEFG,根據(jù)外角性質(zhì)把x+y用N3EG表示出來(lái)，利用NCEG,NFEG與NFEC的和是

周角即可求出.

【解答】解：(1)EF//BC,

:.NFED=ZACB=6O0,

ZABC^5O°,ZACB=G0°,ZCBD=ZABD,ZFEGZCEG,

ZCBD=ZABD=-ZABC=25°,ZFEG=ZCEG=-ZFED=30°,

22

EF!IBC

:.AEFG=NCBD=25°,

ZBGE=ZFEG+ZEFG=300+25。=55。,

故答案為55；

(2)設(shè)=NCEG=y,貝ljNC60=2x,ZFEG=2y,

ZCEG+ZFEG=ZFED=3y,ZABD+Z.CBD=ZABC=3x,

ZABC+ZACB=180°-ZA,ZA=70°,

/.3x+3.y=110°,

x+y=(^)°，

EF/IBC,

:.ZEFG=ZCBD=2x,

NBGE=NFEG+ZEFG=2x+2y=2(x+y)=(冒)。,

故答案為(2|2)；

(3)T^ZABD=X,ZCEG=y,

Z.CBD=nZABD,AFEG=nZ.CEG,

:.Z.CBD=nx,NFEG=ny,

EF//BC,

:.NEFG=/CBD=nx,

/.ZCEG+NFEG=ZFED=(〃+l)y,ZABD+ZCBD=ZABC=(〃+l)x,

EFIIBC,

/.ZFED=ZACB=(〃+l)y,

ZBGE=/FEG+NEFG=nx+=心+y),

ZBGE

x+y=--------,

n

ZABC+ZACB=180°-ZA,

(n+I)x+(n+l)y=180°—ZA,

.'.x+y=l80°—ZA—(nx+ny),

180°-ZA-NBGE=ZBGE,

n

..〃GE="(180-A)；

(4)如圖所示：若點(diǎn)E在線段DC上運(yùn)動(dòng)(此時(shí)G在AABC外部),

圖1

設(shè)=NCEG=y,

Z.CBD=nZABD,ZFEG=n/CEG,

Z.CBD=nx,/FEG=ny,

/.ZABC=(n+T)x,

ZA+ZABC+ZC=180°.

/.ZC=180°-(n+l)x-ZA,

EFIIBC,

ZFEC+ZC=180°,ZEFG=/CBD=nx,

o

.?.ZJFEC=180°-ZC=180-180°+(n+l)x+ZA=ZA+(n+l)x,

ZBGF+ZEFG+NFEG=180。,

Z.BGF+nx+=180°,

180°-ZBEG「廠

,\x+y=-----------------,nx+ny=118O0MQ—NBGF,

n

NCEG+/FEG+ZFEC=(〃+l)y+y+180°-ZC=360°,

/.y+ny+ZA+(n+l)x=360°,

:.nx-\-nyx+y+ZA=360°,

nZA~(n+1)ZBEG=180°(n-1).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)，解題關(guān)鍵是識(shí)別圖形，找出角與角之間的相互關(guān)

系.

題型二、飛鏢模型

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等子與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

選擇題（共2小題）

1.（2021春?鹽湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，ZBDC=98°,ZC=38°,ZA=3T,NB的度數(shù)是（)

【分析】延長(zhǎng)8交加于E,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出N1,再利用

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【解答】解:如圖，延長(zhǎng)CD交于E,

NC=38°,ZA=37°,

.?.Nl=NC+ZA=38°+37°=75°,

ZBDC=98。,

NB=ZBDC-Z1=98°—75°=23°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，AABC中，Z4=3O。，。為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)E,

ZD=40°,則/。為（）

【分析】由于點(diǎn)E,ZD=40°,由三角形內(nèi)角和定理可求出NABO=50。，再由三角形外角定理可

得NC=ZASD—ZA=50°—30°=20°.

【解答】解：DEYAB,

:.ZDEB=9Q°,

ZD=40°,

ZABD=180°-ZD-ZDEB=50°,

ZABD=ZA+ZC,ZA=30°,

ZC=ZABD-ZA=50°-30°=20°.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】這道題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角定理，一定要熟記定理.

填空題（共1小題）

3.（2023春?高新區(qū)校級(jí)期中）如圖，作CELAF于點(diǎn)E,CE與斯相交于點(diǎn)。，若NF=45。，ZC=30°,

則Z4=60。,ZDBC=°.

【分析】首先利用垂直的定義和三角形的內(nèi)角和定理可以求出N4,然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可

以求出ND3C.

【解答】解：CEYAF,

ZAEC^ZFEC=90°,

ZC=30°,

,-.ZA=90°-30°=60°,

y.ZDBC=ZF+ZA,"=45°

ZDBC=60°+45°=105°

故答案為：60；105.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)

鍵.

三.解答題（共4小題）

4.（2022春?衡山縣期末）RtAABC中，NC=90。，點(diǎn)￡＞、E分別是AA5c邊AC、3c上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一

動(dòng)點(diǎn).令NPDA=NI,NPEB=N2,ZDPE=a.

（1）若點(diǎn)尸在線段回上，如圖（1）所示，且Na=60。，則4+/2=_150。_；

（2）若點(diǎn)尸在線段至上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則/a、/I、N2之間的關(guān)系為—；

（3）若點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到邊他的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則/&、Nl、N2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由;

（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AA5c形外，如圖（4）所示，則/o、N1、N2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由.

c

圖1圖2

【分析】(1)由平角的定義得出，ZCDP=180-Zl,ZCEP=180-Z2,最后用四邊形CDPE的內(nèi)角和是

360。即可求得4+N2.

(2)同(1)的方法.

(3)利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

(4)利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)由平角的定義知，

Zl+NCDP=180°,Z2+ZCEP=180°,

在四邊形CD尸E中，NCDP+Ne+NPEC+NC=360。，

即(180。-Zl)+Z?+(180°-Z2)+ZC=360°,

180°-Zl+Za+180°-Z2+90°=360°,

.?.Zl+Z2=90°+a.

當(dāng)ct=60。時(shí)，Zl+Z2=150°.

故答案為：150°.

(2)由(1)知，Zl+Z2=90°+cr.

故答案為：90°+?.

(3)Zl=90°+Z2+Z?.理由如下：

由三角形的外角的性質(zhì)知，

ZDMC=Z2+Za,

Z1=ZC+ADMC,

.-.Zl=ZC+(Z2+Za),

SPZl=90o+Z2+Za.

(4)Z2=90°+Zl-Z?.理由如下：

由三角形的外角的性質(zhì)知，

Z2=Z.CFE+ZC,

Z1=ZPFD+Za,

■ZCFE=ZPFD,

.-.Z2-ZC=Zl-Za,

.-.Z2=ZC+Z1-Z?,

即Z2=90°+Zl-Za.

【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理，主要考查了三角形的內(nèi)角和、四邊形的內(nèi)角和、三角形的外角的

性質(zhì)、平角的定義，解本題的關(guān)鍵是把/I,N2,4轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形或四邊形中.

5.（2022春?樂平市期末）在AABC中，兩條高3D、CE所在的直線相交于點(diǎn)O.

（1）當(dāng)4L4c為銳角時(shí)，如圖1,求證：ZBOC+Zfi4C=180o.

（2）當(dāng)N54C為鈍角時(shí)，如圖2,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？

不需證明.

圖1圖2

【分析】（1）利用直角三角形的兩個(gè)余角相等、同角的余角相等，得出NBAC=NBOE,把NBOC+44c

轉(zhuǎn)化為平角NCOE.

（2）根據(jù)題意，分別作出AB、AC邊上的高，根據(jù)（1）的證明思路得出（1）的結(jié)論在㈤C為鈍角時(shí)依

舊成立.

【解答】解：（1）證明：BD、CE是AABC的兩條高，

:.ZADB=ZCEB=90°

ABAC+ZABD=90°,

ZBOE+ZABD=90°,

;.ZBAC=ZBOE（同角的余角相等），

ZBOC+ZBAC=ZBOC+Z.BOE（等量代換），

ZBOC+ZBOE=180°（平角的定義），

ZBOC+ZBAC=1SQ0.

（2）

、/

力s

B

成立.

理由:

BD、CE是AABC的兩條高，

:.NOEB=ZBDC=90。

:.ZBOC+ZOBE=90°,

ZDAB+ZOBE=90°

:.ZBOC=ZDAB（同角的余角相等），

ABOC+ZBAC=ZDAB+ABAC（等量代換），

ZDAB+ABAC=180°（平角的定義），

:.ZBOC+ZBAC=\SO°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用了直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、平角的

定義.

6.（2021秋?安寧市校級(jí)期中）如圖，求證：ZBDC=ZA+ZB+ZC.

【分析】作射線AD,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到N3=N3+N1,Z4=ZC+Z2,兩式相加即可得到結(jié)論;

【解答】證明：作射線AD,如圖，

Z3=ZB+Z1,Z4=ZC+Z2,

Z3+Z4=ZB+ZC+Z1+Z2,

:.ZBDC=ZB+ZC+ZA.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)：三角形的任一外角等于與之不相鄰的兩內(nèi)角的和.也考查了三角形

內(nèi)角和定理.

7.（2020春?錫山區(qū)期中）探究與發(fā)現(xiàn)：

如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)

簡(jiǎn)單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究N叨C與N4、NB、NC之間的關(guān)系，并說明理由；

(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題:

①如圖2,把一塊三角尺X1Z放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊XT、AZ恰好經(jīng)過點(diǎn)3、C,若

ZA=50°,則NA￡X+NACX=40。；

②如圖3,DC平分NAD3,EC平分ZAEB,若NZME=5O。，ZDBE=130°,求NDCE■的度數(shù)；

③如圖4,ZABD,NACD的10等分線相交于點(diǎn)GrG?…、G,,若N3DC=14O。，ZBG1C=77°,求

的度數(shù).

圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)

【分析】(1)根據(jù)題意觀察圖形連接4)并延長(zhǎng)至點(diǎn)P，由外角定理可知，一個(gè)三角形的外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，則容易得到NeOF=NS4T>+Nfi,ZCDF=ZC+ZCAD,相加即可得結(jié)論；

(2)①由(1)的結(jié)論可得NABX+NACX+NA=/BXC,然后把NA=50。，N5XC=90。代入上式即可得

到NABX+NACX的值.

②結(jié)合圖形可得NDBE=NZME+/4QB+/4EB,代入NZME=5O。，NDBE=13O。即可得到Z4DB+N/回

的值，再利用上面得出的結(jié)論可知ZDCE=g(NAD8+ZAEB)+NA,易得答案.

③由(2)的方法，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：(1)連接4)并延長(zhǎng)至點(diǎn)

由外角定理可得NBDF=/a4￡>+NB,Z.CDF=AC+ACAD

且ZBDC=ZBDF+/CDF及ZBAC=ZBAD+ACAD；

相加可得NBDC=44C+NB+NC；

(2)①由(1)的結(jié)論易得：ZABX+ZACX+ZA^ZBXC,

又因?yàn)镹A=50。，ZBXC=90°,

所以ZABX+ZACX=90°-50°=40°；

故答案為：40.

②由(1)的結(jié)論易得NDBE=/4+/4DB+NAEB,易得/403+//回=80。；

而NDCE=1(ZADB+ZAEB)+ZA,

代入NZME=50°,ZDBE=130°,易得4>CE=90°；

③NBG、C=看(^ABD+ZACD)+ZA,

N3Gle=77。，

二.設(shè)NA為工。，

ZABD+ZACD=lAO°-jf

「?吃(140—x)+x=77,

14-----x+%=77,

10

x=70

:.ZA^J7O0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系.

題型三、“A”字模型

A

/\

BC

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.

一.選擇題（共1小題）

1.（2023春?吳江區(qū)月考）已知如圖，AABC為直角三角形，NC=90。，若沿圖中虛線剪去NC,則N1+N2

等于（）

B

二

CA

A.315°B.270°C.180°D.135°

【分析】利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和解答.

【解答】解：N2是ACDE的外角，

.-.Z1=Z4+ZC,Z2=Z3+ZC,

即Z1+Z2=2ZC+(Z3+Z4),

Z3+Z4=180°-ZC=90°,

Z1+Z2=2x90°+90°=270°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

二.填空題（共4小題）

2.（2023春?常熟市期末）如圖，在AABC中，點(diǎn)。、E分別是他，AC的中點(diǎn)，若AABC的面積為2,則

四邊形DBCE的面積是-.

-2-

【分析】由三角形中位線定理可得DE//BC,BC=2DE,通過證明AABC^^ADE,可得黑些=（―）2=-,

S*BC4

即可求解.

【解答】解：D、E分別是鉆、AC的中點(diǎn)，

:.DE//BC,BC=2DE,

AABC^AADE,

.5AAp月_2_1

~BC-"

AABC的面積為2,

?S-2」」，

…0AA￡>￡一,4一2

/.四邊形NCE的面積=2——=-,

22

故答案為：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握相似三角形的面積比=相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?天寧區(qū)校級(jí)期中）如圖，在AA5c中，ZA=irf,NABC和NACD的平分線交于點(diǎn)兒，得幺,

幺2C和）的平分線交于點(diǎn)為，得N4,…，4％203c和N&ozoC。的平分線交于點(diǎn)A?！?，得N&m，

N4⑼BC和乙42MCD的平分線交于點(diǎn)&儂，得乙421H2,則4/22=一3—度?

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得N&CD=,ZAlBD=^ZABC,再根據(jù)外角的性質(zhì)可得幺=；NA,

找出規(guī)律即可求出乙為必.

【解答】解：3平分NABC,A。平分NACD,

:.ZAlCD=^ZACD,幺SD=gzABC,

.-.ZA=ZAlCD-ZAlBD^^ZACD-^ZABC=^ZA,

同理可得N4=g44,=（g）2ZA,

"4。22=§產(chǎn)4,

ZA=jrf，

?/\=1n。

一0門2022—22022，

故答案為：縈.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)與規(guī)律的綜合，涉及三角形外角性質(zhì)，找出乙4,和NA之間的規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

4.（2023春?江陰市期中）如圖所示，AABC中，D、E為BC,上的兩點(diǎn)，且AB=3BE,,

若AABC面積為30,則四邊形ODBE的面積為」

A

;

BDC

【分析】過E作所//CD交AD于尸，連接DE,首先利用已知條件求出ABEC的面積，然后利用

SMBD=無(wú)皿得到BD=CD,接著證明AAEF^AABD.,AEFO^ACDO,利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：過E作EF//CD交/1D于尸，連接DE,

AABC面積為30,AB=3BE,

'''SmEC=1。，

:.BD=CD,

一S岫ED=S&EDC=5

AB=3BE,BD=CD,EF//CD,

:.AAEF^AABD,A￡F*ACDO,

,EF_AE_2

而一花一W'

.EF_EO_2

”而一次-3'

22

'''S皿D=《0c=《x5=2,

四邊形ODBE的面積=S^ED+S^OD=5+2=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的面積，同時(shí)也利用了相似三角形的性質(zhì)與判定，有一定的綜合性，對(duì)于學(xué)

生的能力要求比較高.

5.（2023春?南京期末）如圖，四邊形ABOC中，44c與NBOC的角平分線相交于點(diǎn)P,若NB=16。，

ZC=42°,則/P=13°.

【分析】本題求々的度數(shù)需構(gòu)造三角形，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示角同時(shí)根據(jù)內(nèi)

角和定理進(jìn)而作答.

【解答】解：延長(zhǎng)CO交至于點(diǎn)D,OC與AP交于點(diǎn)E,

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，

ZBDC=ZC+ZBAC=42?+2ZBAP,

ZBOC=ZB+ZBDC=58°+2ZBAP則ZCOP=29°+ZBAP,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，

ZCOP+ZP=ZC+ZBAP,

所以NP=NC+NH4P-NCO尸=13°,

故答案為：13.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形并根據(jù)等量變換進(jìn)行

計(jì)算.

三.解答題(共3小題)

6.(2023春?丹陽(yáng)市校級(jí)期末)【問題背景】

AA5c中，班>是角平分線，點(diǎn)E是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn).

【初步探索】

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，ZBED的平分線交于點(diǎn)O.

(1)若44C=50。，ZABC=60°,則N￡OD=55。；

圖1圖2圖3

【變式拓展】

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，連接ED,設(shè)NADE=(z,ZACB=J3.

(1)如圖2,/BED的平分線交8D于點(diǎn)O.

①當(dāng)<z=50°,￡=80°時(shí)，ZEOD=°；

②用￡、尸的代數(shù)式表示/￡OD=；

(2)如圖3,NACB的平分線與BD相交于點(diǎn)O,與的平分線所在的直線相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)、F與點(diǎn)、E

不重合)，直接寫出點(diǎn)尸在不同位置時(shí)NF與NCOD之間的數(shù)量關(guān)系.(用含，、￡的代數(shù)式表示)

【分析】【初步探索】

(1)根據(jù)已知條件，求出NABO,ZBEO,再利用外角性質(zhì)求出即可；

(2)方法如(1),把度數(shù)換成〃即可；

【變式拓展】

(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理把NABC+NACB用NA表示出來(lái)，再利用外角性質(zhì)，把/跖D用表示出

來(lái)，求出NEOD即可；

②方法如①，把度數(shù)換成C,力即可；

(2)分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AABC內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)尸在AABC的外部時(shí)，利用角平分線的性質(zhì)和三

角形外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，把NCOD,NF用含有ZADE,NACB的式子表示出來(lái)，再進(jìn)行

代換即可.

【解答】解：【初步探索】

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，

是角平分線，N3ED的平分線交于點(diǎn)O,NBEC=50。,NABC=60。，

ZABO=-ZABC=30°,ZBEO=-ZBEC=25°,

22

ZEOD=ZABO+ZBEO=30°+25°=55°；

故答案為：55°；

(2)ZABC+ZC+ZBAC=180°,ZC=nf,

ZABC+ABAC=(180-m)°,

BD,EO平分NABC和44C,

ZABO=-ZABC,ZBAO=-ABAC,

22

NEOD=ZABO+ZBEO=1(ZABC+ZBAC)=1(180-m)°=(90-1m)°；

故答案為：(90-grri)°;

【變式拓展】

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，

①。BD,EO平分NABC和NBAC,

NEBO=|ZABC,NBEO=|ABED,

NC=￡=80。，

ZA+ZABC=180°-ZC=100°,

:.ZABC=100°-ZA,

ZBED=ZA+ZADE,ZADE=a=50°,

:.ZBED=ZA+5Q0,

ZEOD=ZEBO+ZBEO=1ZABC+1ABED=1(100°-ZA)+1(ZA+50°)=75°,

故答案為：75°;

②-BD,EO平分NABC和NfiAC,

NEBO=~ZABC,NBEO=|ABED,

/C=B,

.\ZA+ZABC=180°-^,

ZABC=180°-^-ZA,

XBED=XA+AADE,XADE=a，

/.ABED=ZA+a,

ZEOD=ZEBO+ZBEO,

=g(ZABC+ZBEO),

=1(18O°-/7-ZA+ZA+a),

故答案為：(90-1^+|a)°;

(2)分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)尸在AABC內(nèi)部時(shí)，如圖所示:

BO,CO分別平分NABC,ZACB,

ZOBC=-ZABC,NOCB=-ZACB,

22

ZCOD=ZOBC+Z.OCB,

=-ZABC+-ZACB,

22

=^(ZABC+ZACB),

=1(180°-ZA),

=90°--ZA,

2

ZA=180°-2ZCOD,

EF平分ZAED,

:.ZFEG=-ZAED,

2

ZF=180°-ZFEG-ZFGE,

NFGE=NDGE,ZDGE=ZADE-ZACG=ZADE--ZACB,

ZF=180°--ZAED-ZADE+-ZACB,

22

=180°--(180°-ZA-ZADE)-ZAD￡,+-ZACB,

22

=9Q°+-ZA--ZADE+-ZACB,

222

=90°+1(180°-2ZCOD)-1?+|^,

=180°-ZCOD--a+-G,

22

ZF+ZCO￡>=180°-1(?-/?)；

②當(dāng)點(diǎn)P在AABC的外部時(shí)，如圖所示：

CO平分NACB,EG平分

ZOCD=-ZACB=~B,ZAEG=-ZAED,

222

在ACOD中，

ZCOD+ZDCO+ZODC=180°,

ZCOD=180°-NOCD—NODC,

=180°-1^-(ZA+ZABD)

=180°-1^-ZA-|zABC

=180°--^-ZA--(180°-ZA-ZACB)

22

=180°--^-ZA-90°+-ZA+-^

222

=90°--ZA,

2

在AC尸G中，,N尸+NFCG+NFGC=180。，

ZF=180°-ZFCG-ZFGC

=180°-1zACB-(ZA+ZAEG)

=18O°-1y0-ZA-ZAEG

=180°--/?-ZA--ZAED

22

=18O°-1/7-ZA-1(18O0-ZA-ZAEr))

=180°--^-ZA-90°+-ZA+-a

222

=90°+-a--/7--ZA,

222

ZCOD-ZF=90°-1zA-(90°+|a-1/7-|zA)

=90°--ZA-90°--?+-^+-ZA

2222

=：('-")，

綜上可知：/尸與NCOE>之間的數(shù)量關(guān)系為：ZF+ZCO￡>=180°-1(6Z-7?)^4ZCOD-ZF=.1(/?-?)；

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是識(shí)別圖形，能夠找出角與角之

間的關(guān)系.

7.(2023春?南京期末)如圖，D、E、F、G是AABC邊上的點(diǎn)，DE//BC,Z1=Z2.求證：DG//FC.

【分析】先由DE//3C得NAED=NACB,再利用三角形的外角性質(zhì)證明NAGD=NACF即可.

【解答】證明：DE//BC,

:.ZAED=ZACB,

ZAGD=ZAED-Z1,ZACF=ZACB-Z2,Z1=Z2,

:.ZAGD=ZACF,

:.DG//FC.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2023春?南京期中）如圖，在AABC和AFBC中，幺,/尸.點(diǎn)尸與A位于線段BC所在直線的兩側(cè),

若=時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：

（1）當(dāng)尸在內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫出NECF、NDB尸與NA的數(shù)量關(guān)系為_NECF+NDB尸=2NA_；

（2）當(dāng)尸在外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出NECF、NDB尸與NA的數(shù)量關(guān)系為；

（3）若CG平分ZECF,BH平分■NFBD.無(wú)論點(diǎn)P在NA內(nèi)部（如圖③）還是44外部（如圖④）時(shí)，都

有CGIIBH,請(qǐng)選擇一幅圖進(jìn)行證明；

說明：選擇圖③證明得3分，選擇圖④證明得4分.

【一般化探究】

若/時(shí)，請(qǐng)嘗試探究：

（4）若射線CG、BH分別是ZECF,/DB廠的〃等分線（“為大于2的正整數(shù)），且NECG=L/ECF,

n

ZHBD=~ZDBF.當(dāng)CG//3”時(shí)，直接寫出Z4與NF需滿足的條件：.

n

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到NECF+NDBA=NA+N/，再根據(jù)4=NB,即可

得出結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到NECF-NDB/=NA+N尸，再根據(jù)NA=NR,即可得出結(jié)

論；

（3）選圖3證明，根據(jù)角平分線的定義及（1）中的結(jié)論得出NGCF+NHB尸=”,再根據(jù)平行線的性質(zhì)

與判定證明即可；

（4）先根據(jù)平行公理的推論得到F7W//9,再根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可得出與々的

關(guān)系.

【解答】解：(1)在AA5c中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

在AFBC中，"+〃BC+NFC5=180。，

/.ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZA+ZF),

ZECF+ZACB+ZFCB=180。,ZDBF+ZABC+ZFBC=180°,

/.ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZECF+/DBF),

二ZECF+ZDBF=ZA+NF,

ZA=ZF,

:.NECF+ZDBF=2ZA,

故答案為：ZECF+ZDBF=2ZA；

(2)在AABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°,

在AFBC中，ZF^ZFBC^-ZFCB=180o,

ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZA+ZF),

ZECF+ZACB+ZFCB=184。,ZFBC-ZDBF+ZABC=180°,

/.ZABC+ZACB+ZFBC+ZFCB=360°-(ZECF-/DBF),

ZECF-ZDBF=ZA+ZFf

ZA=ZF,

:.ZECF-ZDBF=2ZA,

故答案為：AECF-ZDBF=2ZA^

(3)選擇圖③，

證明：如圖，

E

③

過點(diǎn)尸作EA///CG,

ZGCF=ZCFM,

CG平分NECF,BH平分NDBF,

ZGCF=-ZECF,ZHBF=-ZDBF,

22

由(1)知ZECF+ZDBF=2ZA=2NF,

ZGCF+ZHBF=1(ZECF+/DBF)=ZF,

:.ZCFM+ZHBF=ZF,

ZCFM+ZBFM=ZF,

:.ZHBF=ZBFM,

:.CG//BH;

選擇圖④，

證明：如圖，設(shè)班'與CG交于點(diǎn)N,

CG平分NECF,BH平分ZDBF,

ZGCF=-ZECF,ZHBF=-ZDBF,

22

同(2)可得：ZDBF-ZECF=2ZA,

ZA=ZF,

ZDBF-ZECF=2ZF,

ZHBF-ZGCF=1(ZDBF-ZECF)=ZF,

NRVG是AFCN的一個(gè)外角，

:.ZFNG=ZGCF+ZF,

即ZFNG-ZGCF=ZF,

:.ZFNG=ZHBF,

:.CG//BH；

(4)證明：ZA<ZF,

.?.尸只能在ZA內(nèi)部,

如圖，過點(diǎn)尸作WW//CG,

E

:.FM/IBH,

連接AF,

FMUCG,

:.ZGCF=ZCFM,

又-FM//BH,

:.ZHBF=ZBFM,

又ZECG=-ZECF,ZHBD=-ZDBF，

nn

n—\n—1

...ZGCF=——ZECF,ZHBF=——ZDBF,

nn

:.ZBFC=NCFM+ZBFM

=NGCF+HBF

=NECF+ZDBF

nn

〃一1

=——(ZECF+ZDBF),

n

又ZECF=Z.CAF+ZAFC,ZDBF=ZBAF+ZAFB,

ZECF+ZDBF=ZCAF+ZAFC+ZBAF+ZAFB=ZBAC-bZBFC,

—1

..ZBFC=——(ZBAC+ZBFC),

n

1n—1

—NBFC=——ZBAC,

nn

:.ZBFC=(n-l)ZBAC,

即ZF=(/J-1)ZA.

故答案為：ZF=(M-1)ZA.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，熟記三角形內(nèi)角和是180。是解

題的關(guān)鍵，同時(shí)應(yīng)熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定及角平分線的定義.

題型四、“老鷹捉小雞”模型

A

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內(nèi)角的和.

選擇題(共4小題)

1.(2023春?濱湖區(qū)期中)如圖，把AABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形3CDE內(nèi)時(shí)，則Z4與N1+N2

之間有始終不變的關(guān)系是()

A.ZA=Z1+Z2B.2zl4=Zl+Z2C.3ZA=Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

【分析】根據(jù)N1與4㈤□的2倍和N2與Z4DE的2倍都組成平角，結(jié)合A曲的內(nèi)角和為180?？汕蟪龃?/p>

案.

【解答】解：AABC紙片沿DE折疊，

Zl+2.ZAED=180°,Z2+1ZADE=180°，

ZAED=1(180°一Zl),NADE=1(180°-Z2),

ZAED+ZADE=-(180°-Zl)+-(180°-Z2)=l80°--(Z1+Z2)

222

MDE中，ZA=180°-(ZAED+ZADE)=180°-[l80°-1(Z1+Z2)]=1(Z1+Z2),

即2N4=N1+N2.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180。及圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此

題的關(guān)鍵.

2.(2023春?巨野縣期末)如圖，在三角形紙片ABC中，ZA=60°,ZB=70°,將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C

落在AABC外，若N2=18。，則/I的度數(shù)為()

B

A.50°B.118°C.100°D.90°

【分析】在AABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求出NC的度數(shù)，由折疊的性質(zhì)，可知：ZCDE=ZC'DE,

ZCED=ZCED,結(jié)合N2的度數(shù)可求出NCED的度數(shù)，在ACDE■中利用三角形內(nèi)角和定理可求出NCDE

的度數(shù)，再由/1=180。-/8￡1-N。。式即可求出結(jié)論.

【解答】解：在AABC中，ZA=60°,ZB=70°,

ZC=180°-ZA-ZB=50°.

由折疊，可知：ZCDE=ZC'DE,ZCED=ZC'ED,

180°+N2

ZCED==99°,

2

ZCDE=180°-ZCED-ZC=31°,

Z1=180°-ZCDE-ZCDE=1800-2ZCDE=118°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理以及折疊的性質(zhì)，利用三角形內(nèi)角和定理及折疊的性質(zhì)求出NCDE

的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?定陶區(qū)期末）如圖，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形3CDE外部時(shí)，則Z4

與Nl、N2之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A.2ZA=Z1-Z2B.3ZA=2（Z1-Z2）C.3ZA=2Z1-Z2D.Z4=Z1-Z2

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N4'=N4,根據(jù)平角等于180。用/I表示出/4ZM,根據(jù)三角形的一個(gè)外角等

于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和