山東省東營市2023-2024學(xué)年高二期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

試卷類型：A

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測

局一數(shù)學(xué)

2024.01

本試卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)

選項(xiàng)是正確的.

I.已知直線4：曠=》-2,￡y=kx若O%,則實(shí)數(shù)左=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】

【分析】兩直線平行，則斜率相等求解.

【詳解】已知直線4：y=x-2,l2：y=kx,

因?yàn)椤ā?，

所以上=1

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.若平面a〃平面尸，直線aua,直線那么a/的位置關(guān)系是（）

A.無公共點(diǎn)B.平行

C.既不平行也不相交D,相交

【答案】A

【解析】

【分析】由兩線的位置關(guān)系的定義判斷即可

【詳解】由題，直線a,b分別含于兩個(gè)平行的平面，可能平行，可能異面，但不可能相交.

故選：A

3.若雙曲線片-工=1的焦點(diǎn)與橢圓工+匕=1的焦點(diǎn)重合，則加的值為（）

2m49

A.2B.3C.6D.7

【答案】B

【解析】

【分析】先求出橢圓的焦點(diǎn)，再由兩曲線的焦點(diǎn)重合，列方程可求出加的值.

故2+加=5,解得m=3.

故選：B.

4.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直

角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵4844G中，分別是4G，54的中點(diǎn)，G是VN的中點(diǎn)，若

AG=xAB+yAA{+zAC,貝！|x+V+z=(

33

A.1BC.一D.-

-I24

【答案】C

【解析】

—■1/-—?\1—?3—■1—■

【分析】連接由ZG=—ZM+ZN=—48+—Z4+—NC，即可求出答案.

2、>244

【詳解】連接如下圖:

由于G是上W的中點(diǎn),

；丘；“十萬+；

=-AB+-AA+-AC.

2414

根據(jù)題意知AG=xAB+yAA{+zAC.

3

x+y+z=-.

故選：C.

5.拋物線C:r=2°x(p>0)的焦點(diǎn)為尸，且拋物線。與橢圓土+必=i在第一象限的交點(diǎn)為/,若⑷刀

2-

軸，貝|JP=()

2V2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)可得/(日,P),再由點(diǎn)在橢圓上，代入求參數(shù)即可.

【詳解】由題設(shè)尸(^,0),且A在第一象限，軸，則2(日,。)，

又A在橢圓上，故匹+/=10〃2=§，而?！祇,故p=2也.

893

故選：C

6.甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)進(jìn)行校園廚藝總決賽，決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績，回

答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對乙說：“你和甲的名次相鄰.”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排

列情況種數(shù)為（

A.54B.48C.42D.36

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：乙是冠軍，乙不是冠軍，再安排其他人，由加法計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】由題意，第一種情況：乙是冠軍，則甲在第二位，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有A；=6種

情況；

第二種情況：先從丙、丁、戊中選1人為冠軍，再排甲，乙兩人，再把甲和乙捆綁與其他人排列，共有

A；xA：xA；=36種；

綜上可得共有6+36=42種不同的情況.

故選：C.

22

7.若片，鳥是雙曲線C:土-匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸，。為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，且忸。|=|月閭，

416

5,

設(shè)四邊形對。鳥的面積為百，四邊形WQK的外接圓的面積為$2,則（）

678

A.nB.——C.—D.—

5兀5兀5兀

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，探求四邊形尸片。鳥的形狀，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理求出E，再求出$2作

答.

【詳解】依題意，點(diǎn)尸與Q,片與鳥都關(guān)于原點(diǎn)0對稱，且忸。|=陽閭，因此四邊形即。鳥是矩形，

如圖，

由雙曲線C：工一三=1得：|PQ|=閨S=2|陷|=2而記=4百，\\PF.\-\PF,||=4,

416

于是S|=附「+附「；(附H*匕*2「-("卜質(zhì)『=(4*42=32

|P^|.|PF2|=

顯然四邊形PFQF2的外接圓半徑為OF],因此邑=兀|。與『=兀x(2右了=207r,

5,328

所以77=7^—=「.

S220TI5TI

Q

故答案為：--

5兀

8.已知。(0,0),4(—3,0),直線/:y=Ax上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸關(guān)于直線/'：歹=工的對稱點(diǎn)P滿足

尸。|=2尸4|,則實(shí)數(shù)人的取值范圍是()

A.(-oo,-V3]u[V3,+oo)B.[-V3,V3]

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)尸(x,Ax),則尸'(Ax,x),由兩點(diǎn)間的距離公式可得尤的一元二次方程，由AN0解不等式即可.

【詳解】設(shè)尸(x,乙)，則尸'(丘,x),

由尸。|=2|PZ|,得尸=4尸2『,

由兩點(diǎn)間的距離公式可得：^2x2+x2=4[(fcc+3)2+x2],

整理可得(3/+3)/+24kx+36=0,

由題意A=(24k)2—4(3后2+3)x3620,得左2—320,

解得k<-V3或kN也,即實(shí)數(shù)左的取值范圍是(-oo,-V3]<J[V3,+co).

故選：A.

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.若加_La,n//a9則加_L〃

B.若an//y.mla,則加_L/

C.若加〃見〃〃&,則加〃〃

D.若a_L/,尸_L/,則tz_1_齊

【答案】AB

【解析】

【分析】利用線面平行的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用

線面平行的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用面面的位置關(guān)系判斷D選項(xiàng).

【詳解】對于A,因?yàn)椤ā╝,過直線〃作平面尸，使得ac夕=a,

因?yàn)椤ā╝,nuB,ac/3=a,則”〃a,因?yàn)榧觃La,aua,則掰_1_。，故m_L〃，正確;

對于B,若a//月，mla,則加，尸，又尸///,則加正確；

對于C,若加〃〃a,則加〃〃或冽與“相交或加與〃異面，錯誤；

對于D,若&_1/,尸_1/,則a//月或&與￡相交，錯誤.

故選：AB

10.現(xiàn)有帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球及四個(gè)不同的盒子，則下列表述正確的有（）

A.全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有45種放法

B.全部投入2個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，共有CbAj種放法

C.將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)（另一個(gè)球不投入），共有種放法

D.全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，共有C〔A：種不同的放法

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可判斷A正確；對于B,先將5個(gè)球分為2組，再全排，計(jì)

算可判斷B不正確；對于C,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可判斷C正確；對于D,先將5個(gè)球分為4組，

再全排，計(jì)算可判斷D正確；

【詳解】對于A,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有4x4x4x4x4=45

種放法，故A正確；

對于B,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球全部投入2個(gè)不同的盒子里，第一步選2個(gè)盒子有C：種選法，

第二步將5個(gè)球分為兩組，若兩組球個(gè)數(shù)之比為1：4有C；種分法；若兩組球個(gè)數(shù)之比為2：3有C；種分

法，第三步將兩組排給兩個(gè)盒子有A：種排法，因此共有Cj(C；+C；)A；=180,故B不正確；

對于C,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球，將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，

第一步選4個(gè)球有C：種選法，第二步選一個(gè)盒子有種C；選法，共有C〉C：種放法，故C正確；

對于D,帶有編號1、2、3、4、5的五個(gè)球，全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒有空盒，第一步將5球分成2：

1：1：1的四組共有C；種分法，第二步分給四個(gè)盒子有A：種排法，故共有C[A：=240種放法，故D正

確；

故選：ACD.

11.經(jīng)過拋物線C：/=2"(,〉0)的焦點(diǎn)廠的直線/交。于48兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)/包,%),

5(%,%)(%>%)」/用的最小值是4,則下列說法正確的是()

A.04-08=3

B.\AF\+\BF\=\AF\^F\

C.若點(diǎn)是線段N2的中點(diǎn)，則直線/的方程為2x—>—2=0

D.若在=4而，則直線/的傾斜角為60°或120°

【答案】BC

【解析】

【分析】設(shè)出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)H同求得〃，由此對選項(xiàng)逐

一分析，從而確定正確答案.

【詳解】由題意可知直線/的斜率存在且不為0,可設(shè)直線/的方程為》=叩+§,

/=2px

聯(lián)立<",得,2—2夕加V_22=0,

x-my+

A=4P2m2+422〉0,

2

乃歹2=_夕2，乂+）2=2pm,xl+x2=m（yl+y2）+p=2pm+p,

222

丫丫一

122p2p4

所以|48|=匹+々+P=20（加2+1"2夕，當(dāng)加=0時(shí)等號成立，

所以22=4,2=2,所以拋物線方程為/=4x,

所以再吃=1，%%=一4,

所以。4?03=%々+%％=一3，A選項(xiàng)錯誤；

|^4F|=jq+1,|5F|=x2+1,

所以|/司+忸廠|=xx+x2+l-4m2+4,

2

|T4F|X|SF|=+l）（x2+1）=XjX2+%j+x2+1=4m+4,

所以|4F|+忸川=|4F||3尸I，B正確;

因?yàn)辄c(diǎn)是線段N5的中點(diǎn)，所以必+%=2,即4加=2,加=g,

所以直線/的方程為2x—y—2=0,C正確；

AB=4FB?所以司=3|FS|,即％+1=3（超+1）,所以項(xiàng)—3%—2=。,

3

因?yàn)?］、2=1，所以占2=0,即X；—2再—3=0,解得玉=3（再二—1舍去），

xi

又%〉為，故%>0>必，所以/（3,26），

所以直線/的斜率為28a=G，直線/的傾斜角為6o。，D錯誤.

3-1

故選：BC

【點(diǎn)睛】求解直線和拋物線/=28相交所得弦長，如果直線過焦點(diǎn)，此時(shí)直線的斜率存在且不為0,故

可設(shè)直線的方程為》=叩+",這樣的設(shè)法可以避免討論直線的斜率是否存在，減少一定的運(yùn)算量.

2

12.如圖甲，在矩形45co中，=2/￡>=2,￡為的中點(diǎn)，將△C8E沿直線BE翻折至△。出￡的

位置，R為/G的中點(diǎn)，如圖乙所示，則（）

A.翻折過程中，四棱錐G-ABED不存在外接球

B.翻折過程中，存在某個(gè)位置的G，使得8ELZG

C.當(dāng)二面角G-8E-/為120。時(shí)，點(diǎn)E到平面G8E的距離為逅

4

7T

D.當(dāng)四棱錐G-48助體積最大時(shí)，以ZG為直徑的球面被平面G8E截得交線長為3

【答案】AC

【解析】

【分析】A項(xiàng)，通過證明四邊形ABED不存在外接圓即可得出結(jié)論;B項(xiàng),通過證明ZBEQ=ZBEC=45°,

即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，求出G到平面/BCD的距離，利用等體積法即可求出點(diǎn)尸到平面qBE的距離；D

項(xiàng)，求出點(diǎn)/到平面QBE的距離ZE,進(jìn)而得出以AC,為直徑的球的半徑和球心F到平面QBE

的距離，即可得到球面與被平面QBE截得交線為圓的半徑，進(jìn)而得出交線長.

【詳解】由題意，

對于A,由已知，直角三角形4DE存在以/￡為直徑的唯一外接圓，

/ABE豐90°>

...點(diǎn)5不在該圓上，所以四邊形不存在外接圓，

???四棱錐G-ABED不存在外接球，故A正確；

對于B,由已知，AD=DE=CE^BC=\,ZADE=ZBCE=90°,

ZAED=ZBEC=45°，

NAEB=90°,BE±AE,

假設(shè)在翻折過程中，存在位置G,使得BE±AC,,

則/EnZG=4NEu平面AEC[,ZC]U平面AECX,

BEI平面AEC1,

又C\Eu平面AECA,

BE±CAE,

???△CBE在翻折至△G8E的位置的過程中=NB￡C=45°,

BE±GE顯然不成立，故假設(shè)錯誤，

翻折過程中，不存在任何位置的G,使得BE±AC,,故B錯誤；

對于C,取3E中點(diǎn)H,由已知，BC=CE,

CH±BE,CXH±BE

NGHC是二面角CX-BE-C的平面角，

當(dāng)二面角C.-BE-A為120°吐二面角C.-BE-C為60°,即ZqHC=60°,

1

又-：CH=CH=-BE=—,

122

，G到平面/BCD的距離為心=Ylxsin60°=",

G24

設(shè)點(diǎn)/到平面CiBE的距離為hA,

則^C-ABE=^A-CXBE，

,一Qh——Vh

…3口—33CIBE"A，

11…痣11-7

/.—x—x2xlx---=—x—xlxlxn

32432A4

hA=—,即點(diǎn)A到平面CXBE的距離為國,

A22

???點(diǎn),F為AC,中點(diǎn)，

..?點(diǎn)E到平面GBE的距離是點(diǎn)/到平面G8E距離的1

二點(diǎn)/到平面GBE的距離為逅，故C正確；

4

對于D,四棱錐G-ABED底面梯形ABED的面積為定值，

當(dāng)四棱錐G-的體積最大時(shí)，平面G8EL平面48ED,

平面。]8￡門平面48￡。=8￡,2￡<=平面45￡￡）,

由B選項(xiàng)有AE±BE,AE±平面CXBE,

?；C、Eu平面C]BE,

AE1C】E,

222

ACA=^AE-+CXE=7（A/2）+I=V3,

又Q/E”平面G8E,..?點(diǎn)/到平面C[BE的距離/￡=0,

■:點(diǎn)、F為AC,中點(diǎn)，

以zq為直徑的球的半徑R=K=@，球心/到平面GBE的距離]=4￡=正，易知，球面與被

2222

平面C、BE截得交線為圓，其半徑r=yjR2-d2=-,

2

，該交線周長為271r=兀，故D不正確.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.根據(jù)垂直關(guān)系分析可知NG^C是二面角C.-BE-C的平面角；

AP

2.根據(jù)球的性質(zhì)分析可知球心F到平面QBE的距離d=—.

第II卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分）

13.若C「=C：「6,則!?=.

【答案】3或6

【解析】

【分析】直接利用組合數(shù)的性質(zhì)得到x+3x-6=18或x=3x-6,解之即得x的值.

【詳解】因?yàn)樗詘+3x-6=18或x=3x-6,所以x=3或6.

故答案為3或6

【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.（2）如果

則加=左或加+左=”.

14.已知直線x—y+l=O與圓。：》2+/-4%一2^+掰=0交于48兩點(diǎn)，若48=2后，則加的值為

【答案】1

【解析】

【分析】求出圓心到直線的距離，由垂徑定理得到方程，求出加=1,驗(yàn)證后得到答案.

【詳解】。：/+72—4x—2y+加=0變形為（x—2y+（y—1）2=5—加，

故5-加>0,解得m<5,

故圓心為C（2,1）,半徑為J5-加，

設(shè)圓心。（2,1）到直線x—歹+1=0的距離為"，

R-1+1

貝!Jd==V2,

VT+T

由垂徑定理得255—加—Q2=2J2，解得加=1，滿足要求.

故答案為：1

15.如圖，在正方體48CD—4與。1。中，AM=2MB,N為?！ǖ闹悬c(diǎn)，記平面與平面力。24

的交線為/,則直線/與直線/G所成角的余弦值為

［答案］V1TT

111in

【解析】

【分析】根據(jù)題意可利用空間向量求解直線與直線之間夾角，從而求解.

【詳解】設(shè)/口44］=尸，連接NP,九。如下圖所示，則直線NP即為直線/.

因?yàn)槠矫鍭A^B平行于DgCD,且平面CMNc平面AA^B=MP,

平面CWc平面DACQ=NC,板MP〃CN,

由N為的中點(diǎn)，得：AP=-AA.

31

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在直線分別為x,乃z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)：AB=6,則得：N（0,0,3）,尸（6,0,2）,^（6,0,0）,Q（0,6,6）,

NP=(6,0,-1),AC,=(-6,6,6),

?——.,NPACX|-42|7V1T1

所以得：cos<NP,AC,>=__.

11V37X6A/3-111

NP\ACA

故直線l與直線AC,所成角的余弦值為MH.

Ill

故答案為：z^H

in

22

16.已知雙曲線A-2=l（a>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為片、鳥，過點(diǎn)片作圓必+/=”的切線，交雙曲

ab

線的右支于點(diǎn)若二月"區(qū)=45°,則該雙曲線的離心率為.

【答案】也

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)為/,連接04,作心作垂足為3,運(yùn)用中位線定理和勾股定理，結(jié)合雙曲線

的定義，即可得到。，6的關(guān)系，即可求解.

【詳解】如圖，作。4，￡河于點(diǎn)4于點(diǎn)區(qū)

???月旦與圓/+「=。2相切，/大班=45。,

22

/.\OA\=a,\F2B\^\BM\=2a,則優(yōu)叫=2缶，出國=2y1c-a=2b.

又點(diǎn)M在雙曲線上，|-|F,M|=2a+2b-lyfla=2a,

整理得b=缶，即廿=2/=02—得《2=3,由e>l解得e=JL

雙曲線的離心率為

故答案為：y/3-

四、解答題(本大題共6小題，共計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)

17.已知(x—的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和分別為。和且a+6=32.

(1)求正整數(shù)〃的值;

(2)求其展開式中所有的有理項(xiàng).

【答案】17.418.答案見解析

【解析】

【分析】(1)先利用題給條件列出關(guān)于〃的方程，解之即可求得〃的值;

(2)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得其展開式中所有的有理項(xiàng).

【小問1詳解】

因?yàn)閍=(―2)",6=2",所以(—2)"+2"=32,

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，此方程無解，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，方程可化為2x2"=32,解得〃=4；

【小問2詳解】

由通項(xiàng)公式Tr+1=［子］=(―3丫?C；「一5"

3

當(dāng)4一萬廠為整數(shù)時(shí)，ZE是有理項(xiàng)，則r=0,2,4,

所以有理項(xiàng)為7；=(-3)℃%4=(-3)2C^=54x,q=(—3>=81一.

18.如圖所示，某中心。接到其正西、正東、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)48,C的報(bào)告：4c兩個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到

了一聲巨響，3觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比A觀測點(diǎn)晚4秒，假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為v米/秒，各觀測點(diǎn)到該

中心的距離都是3V米，設(shè)發(fā)出巨響的位置為點(diǎn)尸，且4民均在同一平面內(nèi).請你確定該巨響發(fā)生的

點(diǎn)P的位置.

C

AOB

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】以接報(bào)中心為原點(diǎn)。，正東、正北方向?yàn)閄軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系；寫出/、8、。點(diǎn)

的坐標(biāo)，設(shè)P（X"）為巨響生成點(diǎn)，由雙曲線定義知P點(diǎn)在以/、8為焦點(diǎn)的雙曲線上，依題意求出雙曲線

方程，從而確定該巨響發(fā)生的位置.

【詳解】如圖，以接報(bào)中心為原點(diǎn)。，正東、正北方向?yàn)閤軸、y軸正向，建立直角坐標(biāo)系.

則/（—3%0）,S（3v,0）,C（0,3v）,

設(shè)P（x,y）為巨響為生點(diǎn)，由/、。同時(shí)聽到巨響聲，得|/訓(xùn)=歸。|,

故尸在/C的垂直平分線OP上，OP的方程為'=-%,因8點(diǎn)比N點(diǎn)晚4s聽到爆炸聲,

故戶a一|R4|=4v,由雙曲線定義知尸點(diǎn)在以/、8為焦點(diǎn)的雙曲線二一三=1上,

ab

222222

依題意得Q=2v,c=3vfb=c—a=(3v)—(2v)=5v，

故雙曲線方程為二1，將'=一'代入上式,得x=±2，

■.■\PB\>\P^\,,-.x=-2V5v.y=20,即尸卜2氐,2底)

故尸O=2jldv.

故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北45°距中心2Ji正米處.

19.如圖所示，，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，BC\\AD,BALAD,

AE=AD=2AB=2BC=4.

(1)求證：CE〃平面4DE；

(2)求平面CD廠與平面ZEE5所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵t

【解析】

【分析】(1)由面面平行判斷定理證平面3FC〃平面/￡>￡,再證CR〃平面/￡>￡即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由向量法即可求

【小問1詳解】

證明：四邊形AEFB為矩形，BF\\AE,又BC//AD,AE、ADu平面ADE,BF、BC<2平面ADE,

故AF〃平面ADE,BCH平面ADE,

又BFC\BC=B,BF、5Cu平面瓦(，.?.平面2FC〃平面

?/CF<z平面BFC,：.CF//平面ADE；

【小問2詳解】

建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則C(2,2,0),￡?(0,4,0),尸(2,0,4),萬戶=(2,工4),配=(2,與,0),

m-DF=2x-4y+4z=0

設(shè)平面CDb的法向量為加二(x,y,z),貝卜,取x=i得冽

m-DC=2x-2y=0

平面4EFB的法向量為〃=(0,1,0),設(shè)平面廠與平面4EE5所成銳二面角為。，則

\m'n\i7

cosf)--------....-—

-鵬「『，

2

故平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為§

20.已知拋物線C:/=2/(°>0)的焦點(diǎn)為2)為拋物線上一點(diǎn)，|阪|=2.

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)尸作互相垂直的兩條直線交拋物線。于G,〃，&S四點(diǎn)，求四邊形GRHS的面積最小值

【答案】(1)y2=4x

(2)32

【解析】

【分析】(1)利用拋物線的定義直接求拋物線。的方程；

(2)過焦點(diǎn)E作兩條相互垂直的直線，設(shè)RS:x=my+l,GH-.x=--y+Km^0),聯(lián)立直線與拋物線方

m

程組成方程組，利用拋物線焦半徑公式可得弦長，進(jìn)而可得推出四邊形AGM的面積的表達(dá)式，利用基本

不等式求四邊形RGSW面積的最小值.

【小問1詳解】

由|人因=2,可得.|=加+5=2,

又M的,-2)在拋物線上，所以4=2口加，

聯(lián)立解得m=l,p=2,

故拋物線方程為C:y2=4x

設(shè)RS:x=my+l,GH:x=—y+l(mw0),

m

x=my-1-1.

由<2/得：V-4my-4=0,

y=4x

???A=16m2+16=16(m2+1)>0,

設(shè)R(%,必),S(、2,%),所以必+歹2=4加/咫=一4，

2

/.\RS\=|7?F|+|5F|=xx+\+x2+\=m^yx+y2)+4=4(m+1),

同理：|G77|=4(4~+1),

m

四邊形RGSH的面積：S=-|^||GH|=8(m2+1)(3+1)=8(m2+2+2)232,

2mm

.1

(當(dāng)且僅當(dāng)加2=;即：優(yōu)=±1時(shí)等號成立)

m~

四邊形RGSH的面積的最小值為32.

21.如圖，三棱臺。跖—48C中，平面4D尸平面￡歸。，AC=CD=2,△DSC的面積為1,

AD1BC且AD與底面ABC所成角為60°.

(1)求點(diǎn)A到平面的距離；

(2)求直線3與平面ZD3所成角的正弦值.

【答案】(1)6

(2)

4

【解析】

【分析】（1）作出輔助線，得到N到平面。5c的距離即為的長，證明線面垂直，進(jìn)而得到面面垂直,

進(jìn)而得到線面垂直，故ND4C為2。與底面48C所成角，根據(jù)與底面45。所成角為60°，得到

△。/。為等邊三角形，從而得到2笈的長，得到答案；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到根據(jù)△Q8C的面積為1,求出3c=1,建立空間直角坐標(biāo)系，求

出平面ZD8的法向量，利用線面角的向量公式求出其正弦值.

【小問1詳解】

因?yàn)閆C=CD=2,作_LDC交DC于H,

因?yàn)槠矫鍭DFC1平面BDC,而平面ADFCA平面BDC=DC,u平面ADFC,

所以AH，平面BDC,則A到平面DBC的距離即為2笈的長，

而BCu平面BDC,故因?yàn)?D1BC,AD^AH=A,4D,u平面4D9。，

所以1平面9C,因?yàn)锽Cu平面所以平面Z5C1平面/。-。，

作。/1ZC交/C于

因?yàn)椤?gt;/u平面4DRS,平面NDPCn平面45C=/C,所以平面48C,

故ND4C即為與底面48C所成角，因?yàn)?。與底面48c所成角為60°，所以ND4C=60°，

因?yàn)?C=CD=2,所以△D4C為等邊三角形，故H為3中點(diǎn)，且ZZ/=2sin60°=行，

故N到平面￡石。的距離為百；

【小問2詳解】

由（1）可知1平面4D9C,因?yàn)镃Du平面4D尸C,所以5C1C。，

因?yàn)椤鱀8C的面積為1,所以'C2cp=L又8=2,所以8C=1,

取N5中點(diǎn)為N,連接MN,則跖V平行BC,

因?yàn)?c1平面4D9C,所以■平面4DFC,

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，以MN,MC,地＞所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則/(0,—1,0),C(0,l,0),5(1,1,0),￡>(0,0,V3),AS=(1,2,0),石=(0,1,百卜

麗=(0,-1詞,設(shè)平面4D3的法向量為=(x,y,z),

ri-AB=(x,y,z),(1,2,。)=%+2y=0

，令y=-V3,則x=2>/3,z=1J

ri'AD=(%//).(0,l,g)=y+J§z=0

所以為=(2百,-JI,1),設(shè)直線S與平面所成角為，,

,—,\CD-n\

貝!1sin。=卜osCZ),司=T=^|~~

11\CD[\n\712+3+1x73+1—4

故直線CD與平面ADB所成角的正弦值為二二.

4

45

22.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，動圓。與圓G：x2+y2+2x—^=0內(nèi)切，且與圓

3

。2：/+/_2》+4=0外切，記動圓C的圓心的軌跡為〃.

(1)求軌跡〃的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)G且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與軌跡〃交于尸，。兩點(diǎn)?線段0G上是否存在點(diǎn)

N(n,0),使得蘇.而=網(wǎng).而？若存在，求出〃的取值范圍；若不存在，說明理由；

(3)過點(diǎn)4(4,0)且不垂直于x軸的直線與軌跡〃交43兩點(diǎn)，點(diǎn)3關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為E,證明：直線

AE過定點(diǎn).

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)存在，〃e(0,—)

4

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)圓的位置關(guān)系可得圓心距與半徑的關(guān)系，即可結(jié)合橢圓的定義判斷軌跡符合橢圓定義，

即可利用橢圓的性質(zhì)求解.

(2)聯(lián)立直線與橢圓方程得(3+4公)》2一8左2》+8左2—12=0,由已知條件推導(dǎo)出直線NR的方程為：

3k14左2一?一?一?——?

y+-----7=——(%--------),由此能求出線段。尸上存在點(diǎn)N(〃,0),使得QP?NP=PQ?NQ，其中

3+4kk3+4k

〃e(0,；).

(3)聯(lián)立直線N5方程與橢圓方程得(3+4左2)/一32左2%+64左2-12=0,得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式

求解直線NE的方程為=為產(chǎn)(X-X3)，代入化簡運(yùn)算即可求解直線NE過定點(diǎn)(1,0).

“3—“4

【小問1詳解】

設(shè)動