蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見(jiàn)幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：圓中的重要模型-圓冪定理模型（解析版）

專(zhuān)題05圓中的重要模型--圓塞定理模型

圓嘉定理是一個(gè)總結(jié)性的定理，是對(duì)相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰納(Steiner)或者法國(guó)數(shù)學(xué)家普朗克雷

(Poncelet)提出的。圓塞定理的用法：可以利用圓塞定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問(wèn)題。

模型1.相交弦模型

A

條件：在圓。中，弦A8與弦C￡)交于點(diǎn)E,點(diǎn)E在圓。內(nèi)。

結(jié)論：ACAEfBDEb—=_PEC?EDEB?EAO

EBED

例1.(2023?廣西?九年級(jí)假期作業(yè))如圖：若弦BC經(jīng)過(guò)圓。的半徑。4的中點(diǎn)P,且PB=3,PC=4,則圓

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)A。交。。于。，設(shè)AP=OP=x,證明出AAFSSACRD,然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即

可.

【詳解】解：延長(zhǎng)49交。。于點(diǎn)。，連接相,8,

D

T^AP=OP=X,SiPD^OP+OD=OP+OA=3x,

^BD=BD<0ZA=ZC,0ZAPB=ZCPD,⑦AAPBSQD,

APRpYR

回蕓=M，回J=F，解得x=2或一2（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的解，

PCPD43x

0AD=4x=8.團(tuán)圓。的直徑為8.故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以

上知識(shí)點(diǎn).

例2.（2023?山東范澤?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知A、B、C、。在同一個(gè)圓上，BC=CD,AC與BD交

于E,若AC=8,CD=4,且線段BE、ED為正整數(shù)，則8D=.

【答案】7

【分析】根據(jù)題意易得回ABC甌BEC,則有3c2=CE-AC,即可求得EC、AE的值，利用相交弦定理可得BE

與DE的積，又線段BE、瓦）為正整數(shù)，且在E1BCD中，BC+CD>BE+DE,進(jìn)而可求解.

【詳解】解：BC=CD,HBAC=EIDAC,?.-0DBC=0DAC,AEBAC=SDBC,

X'.'0BCE=0ACB,.,.HABCfflBEC,:.BC?=CE-AC,AC=8,CD=4,，EC=2,AE=6,

NBAE=CDE,ZAEB=ZDEC,^AEB^ADEC,..BE-DE=AE-EC,即BEDE=12,

又由線段BE、ED為正整數(shù)，且在EIBCD中，BC+CD>BE+DE,

；.BE=3、DE=4或BE=4、DE=3,BD=BE+DE=7；故答案為7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及圓

的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例3.（2023?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀與思考

九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書(shū)，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突然看到某本數(shù)學(xué)書(shū)上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓

內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等），下面是書(shū)上的證明過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)

的任務(wù).圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

已知：如圖1,O的兩弦AB,8相交于點(diǎn)P.

求證：AP.BP=CP.DP.

證明：如圖1,連接AC,BD.

0ZC=ZB,ZA=ZD.

HAAPC^ADPB,（根據(jù)）

Ap

0—=@,^AP?BP=CP.DP,

DP

團(tuán)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

任務(wù)：（1）請(qǐng)將上述證明過(guò)程補(bǔ)充完整.根據(jù)：;@：.

⑵小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,A3是。的弦，尸是AB上一點(diǎn)，AB=10cm,B4=3cm,OP=Acm,

求。O的半徑.

CP

【答案】（1）有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，項(xiàng);；（2）。。的半徑為6cm.

Dr

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

（2）延長(zhǎng)0P交圓。于點(diǎn)￡>,延長(zhǎng)尸。交圓。于點(diǎn)孔設(shè)圓。的半徑為「cm,貝l]PP=（r+小卜m,

尸￡>=（r-后卜m,根據(jù)（1）中結(jié)論代入求解即可.

【詳解】（[）證明：如圖1,連接AC,BD.

團(tuán)NC=N3,ZA=ZD.回尸臺(tái)，（根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）

Aprp

0—=—,^AP.BP=CP-DP,團(tuán)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段的積相等.

CP

故答案為：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；—;

（2）延長(zhǎng)0P交圓。于點(diǎn)。，延長(zhǎng)尸。交圓。于點(diǎn)孔

F

設(shè)圓。的半徑為"m,而AB=10cm,PA=3cm,OP=V15cm,

PF=+rjcm,=卜m,PB=7cm,

根據(jù)（1）中結(jié)論得ARBP=DP.FP,即為3x7=（r+JI?）卜-JI?）,

0r2=36,解得：r=6或r=-6（不符合題意，舍去），回0的半徑為6cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的相交弦定理，圓周角定理，理解題意，熟練掌握運(yùn)

用圓的相交弦定理是解題關(guān)鍵.

模型2.雙割線模型

條件：如圖，割線CH與弦CF交圓0于點(diǎn)E和點(diǎn)Go

結(jié)論：ACEGFCHFT—=—!?EC2FCGC1HC

CHCF

例1.（2023?重慶?一模）如圖，PAB,PC。為回。的兩條割線，若E4=5,AB=7,CD=11,則AC：BD=

o

D

【答案】|/1：3

【分析】根據(jù)切割線定理可求得aD=amc,即可求證aRAsaroa根據(jù)對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)和co的長(zhǎng)

求得PC與PB的比值，即可求解.

【詳解】解：SR42、PC。為回。的兩條割線,

^\BAC^BDC=180°,團(tuán)E4C+國(guó)8AC=180°,^BDC^PAC,

PAPC

又團(tuán)團(tuán)尸二團(tuán)尸,團(tuán)回以can尸團(tuán)---=---

PDPB

設(shè)尸。二%，PD=yf且y-x=ll,解得：x=4,y=15,

ACPC411

回=二—=一故答案為:

BDPB1233

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，考查了切割線定理，考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì),

本題中根據(jù)CD和對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)求ACI3BD的值是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）如圖，PAB為割線且PA=AB,P0交回。于C,若OC=3,OP=5,貝UAB的

C.屈D.75

【答案】B

【詳解】試題解析：延長(zhǎng)P。到E,延長(zhǎng)線與圓。交于點(diǎn)E,連接￡5,AC,

EIOC=3,OP=5,5\OE=OC=3,0￡P(guān)=O￡+OP=3+5=8,CP=OP-OC=5-3=2,

設(shè)B4=AB=x,則8P=2x,團(tuán)四邊形ACEB為圓。的內(nèi)接四邊形，

0EACP=0E,又I3P=EIP,EBACPEEIEBP,

CPAP?x-_

二￡=三，即9=9解得：x=20或》=一2后（舍去），則AB=20-故選B.

BPEP2x8

點(diǎn)睛：兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.

例3.(2023秋?河北承德?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，延長(zhǎng)弦D3、弦EC,交于圓外一點(diǎn)A,連接C2BE.

(1)證明：△ACDSAABE；(2)^AB=5,AC=6,AD=U,求AE.

【答案】⑴見(jiàn)解析(2)10

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得/￡)=/￡,再由NA=NA,即可證得△ACDS^ABE；

AD

(2)根據(jù)△ACDs△觸，可得土=￡_,即可求解.

ABAE

【詳解】(1)證明：BZD=ZE,ZA=ZA,0AACD^AABE；

(2)解：EAACD^AABE,E—=—,SAB=5,AC=6,AD=12,S-=—SAE=10.

ABAE5AE

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

模型3.切割線模型

條件：如圖，CB是圓。的切線，CA是圓0的割線。

結(jié)論：ACBD-ACABD—=—t>CB1=CD2CA

CACB

例1.(2023?廣東?九年級(jí)假期作業(yè))如圖，24切。。于點(diǎn)A,尸BC是。。的割線，若PB=3C=2,則24=

【答案】2夜

［分析］連接AB,AC,連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。,連接8。,利用余角的性質(zhì)證明NBAP=ZADB=ZACB,

推出AR4cs,進(jìn)而得到PA2=PBPC,利用等式即可求出PA.

【詳解】解：連接4?,AC,連接49并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)連接3D,

EIB4切。。于點(diǎn)A,0ZZMP=9O°,^\ZDAB+ZBAP=90°,

（BAD為。。的直徑，07ASZ）90?,0ZZMB+ZADB=90°,ZBAP=ZADB=ZACB

PAPC

又團(tuán)NP=NP,團(tuán)4e4cs△尸5A,團(tuán)=^\P^=PBPC,

PBPA

而E?=BC=2,E/iA2=2x4=8,0PA=272（負(fù)值舍去）.故答案：2&.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，正確利用定理是

解決本題的關(guān)鍵.

例2.（2022?廣東深圳??？既＃└ダ仕魍?韋達(dá)是十六世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，最早提出“切割線定

理"（圓事定理之一），指的是從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，則切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)

的比例中項(xiàng)，下面緊跟著圓的切線作圖的思路嘗試證明與運(yùn)用.

⑴作圖（保留作圖痕跡）：已知A8是圓。的直徑，點(diǎn)P是54延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，

①作線段。尸的中垂線MN交OP于點(diǎn)0；②以。為圓心，尸。為半徑作圓，交圓。于點(diǎn)及F-③連接

PE和PF；試說(shuō)明PE是圓。切線的理由.

（2）計(jì)算：若圓。半徑。2=4,尸3=14,嘗試證明"切割線定理"并計(jì)算出PE的長(zhǎng)度.

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵證明見(jiàn)解析，EP=2而

【分析】（1）按要求作圖，根據(jù)是OP的中垂線，得至lJOQ=OP,點(diǎn)。在圓。上，OQ=EQ=PQ,根據(jù)三

角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得回?！晔?90。，即可證明；

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理的推論可得回班O=0AEP,證得AAEPSAEBP,所以4c=2,

EPBP

EP2=AP.BP,根據(jù)。2=4,PB=14,求出AP的長(zhǎng)度，代入計(jì)算即可.

【詳解】（1）作圖如下:

連接OE,EQ,

團(tuán)以。為圓心，尸。為半徑作圓，交圓。于點(diǎn)E、F-回0E=QP,

團(tuán)MN是OP的中垂線，回。。=。P，點(diǎn)。在圓。上,

^OQ=EQ=PQ,SSEOQ=^\OEQ,SPEQ=S\EPQ,

^EEOP+^iOEQ+SQEP+QEPQ=180°,02(ElOEQ+ElQEP)=180°,

EBOEQ+EIQEP=90°,即EIOEP=90°,OE垂直EP,EIPE是圓。的切線.

(2)證明：連接BE,OA,

EIE尸是圓。的切線，AB為圓。的直徑，00O￡P(guān)=9O°,0BEA=9O°,^BEO=SAEP

團(tuán)?！旰?2為圓。的半徑，WEO^EBO,^EBO^AEP,

A尸Ep

^\EPB=^\EPA,團(tuán)Z\AEPs/\EBP,團(tuán)——=——,回EP2=AP?BP.

EPBP

團(tuán)05=4,PB=14,0A3=208=8,AP=BP—AB=14—8=6,

0￡P(guān)2=6x14=84,@EP=2回.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線證明以及相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)題意證明AAEPSAEBP是解題關(guān)鍵.

例3.（2022春?河南洛陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）圓哥定理是平面幾何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定

理、切割線定理、割線定理以及它們的推論，其中切割線定理的內(nèi)容是：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，

切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).你能給出證明嗎？

下面是證明的開(kāi)頭:

已知：如圖①，點(diǎn)尸為回。外一點(diǎn)，切線融與圓相切于A,割線P8C與圓相交于點(diǎn)8、C.

求證：

證明：如圖②，連接AB、AC、80、AO,

因?yàn)橐郧袌F(tuán)0于點(diǎn)A,El.PA^AO,S\PAB+SBAO=90°.

閱讀以上材料，完成下列問(wèn)題：（1）補(bǔ)充完成上面的證明過(guò)程；

⑵如圖③，割線POE與回。交于。、E,且P8=BC=4,PE=7,求DE的長(zhǎng).

17

【答案】⑴見(jiàn)解析（2）DE的長(zhǎng)為亍

pAPR

【分析】（1）先證△PABs^pc4,得=即可得答案；（2）結(jié)合（1）同理可得口42=尸》尸￡,

UL

所以PBPC^PDPE,然后代入值即可求出PD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得DE的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：如圖②，連接AB、AC、BO、AO,

團(tuán)心切。。于點(diǎn)A,^PALAO,即/R4B+/B4O=90°,SOA=OB,SZOAB^ZOBA,

0ZOAB+AOBA+ZO=180°,團(tuán)2/38+NO=180°,EZOAB+-Z6>=90°,0ZPAB=-ZO,

22

0ZC=-ZO,0ZB4B=ZC,又EIZP=NP,SZ\PAB^Z\PCA,

2

PAPB,

El—=—,ElPA2=PBPC;

iOr/\.

（2）由（1）P^=PBPC，同理"2=尸￡）.2石，

PBPC4x（4+4）32

中PBPC=PDPE,國(guó)PD=---------=———L=',

PE77

321717

團(tuán)DE=PE-PD=7一一=—,SDE的長(zhǎng)為一.

777

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)

鍵是證明△PAfis△尸C4.

模型4.弦切角模型

A

D

C

0

B

條件：如圖，C8是圓。的切線，AB是圓。的直徑。

結(jié)論：1)ACBDfCAB上色=8DCB2=CD2CA；

CACB

2)KBDfBADT—=—1?BD2=AD2CD；

ADBD

2

3)ABAD~ACABP—=—PBA=AD?AC

CABA°

例L（2022秋,廣東江門(mén),九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C在。。上，直線/與。。相切于點(diǎn)A.

（1）試問(wèn)：N1與/ACB有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（2）如果我們把形如N1這樣的角稱(chēng)為“弦切角"，請(qǐng)你用文字表述你在（1）中得出的結(jié)論.

【答案】⑴/1=NACB,理由見(jiàn)詳解；⑵弦切角等于其兩邊所夾弧所對(duì)的圓周角.

【分析】（1）連接4。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接3D,由圓周角定理利出/&1。+/。=90。，由切線的性

質(zhì)得出NB4ZHN1=9O。，得出N1=ND,進(jìn)而則可得出結(jié)論；（2）由弦切角和對(duì)應(yīng)的圓周角的關(guān)系，直=

直接寫(xiě)出結(jié)論即可.

【詳解】（1）解：4=ZACB,理由如下：連接AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接3。，

D

I3AD是。。的直徑，^lABD90?,即：ZBAD+ZD=90°

回直線/與。。相切于點(diǎn)4.0ADXZ,即：ZBAZHZ1=9O°,0Z1=ZD,

SZACD=ZD,回N1=ZACZ）；

（2）解：由題意得：弦切角等于其兩邊所夾弧所對(duì)的圓周角.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，弦切角的定義，圓周角定理，理解弦切角的概念和圓周角定理的推論是

解題的關(guān)鍵.

例2.（2022?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考一模）弦切角定理（弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角）在證明角相等、線段

相等、線段成比例等問(wèn)題時(shí)，有非常重要的作用，為了說(shuō)明弦切角定理的正確性，小明同學(xué)進(jìn)行了以下探

索過(guò)程：

問(wèn)題的提出：若一直線與圓相交，過(guò)交點(diǎn)作圓的切線，則此切線與直線的交角中的任意一個(gè)稱(chēng)為直線和圓

的交角，其中所夾弧為劣弧的角為劣交角，所夾弧為優(yōu)弧的角為優(yōu)交角.直線和圓的交角有以下性質(zhì)：直

線和圓的交角等于所夾弧所對(duì)的圓周角.

問(wèn)題的證明：（只證明劣交角即可）

⑴請(qǐng)將不完整的已知和求證補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程;

已知：如圖1,直線/與回。相交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)8作.求證：^ABD=

（2）如圖2,直線/與國(guó)。相交于點(diǎn)A,B,為回。的直徑，8C切國(guó)。于點(diǎn)交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,若AD

=BC,AC=2,求回。的半徑.

【答案】（1）。。的切線DE,0C,證明見(jiàn)解析⑵叵出

2

【分析】（1）根據(jù)弦切角的定義，進(jìn)行填空即可，如圖1,連接OB、OC,由題意知

ZOBD=90°=ZABD+AOBA,ZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,ZOCB=ZOBC,有ZABD=90°-NOBA,

在AABC中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理等找出角度的數(shù)量關(guān)系ZOCA+ZOCB=90°-ZOBA,然后證明即可；

（2）如圖2,連接由（1）可知ZABC=NCD3,DC=AC+AD=AC+3C,△ABCSABDC,有生=空,

BCDC

求解滿足要求的BC值，進(jìn)而可得半徑.

【詳解】（1）解：由題意知：

己知：如圖1,直線/與回。相交于點(diǎn)A,B,過(guò)點(diǎn)B作O。的切線OE.

求證：0A8￡）=，C.

證明：如圖1,連接。4、OB、OC,

圖1

由題意知NOBD=90o=ZABD+/O3A,ZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,ZOCB=ZOBC

0ZABD=90°-ZOBASZOAB+Z.OBA+ZOCA+ZOAC+ZOCB+ZOBC=180°

02ZOCA+2NOCB+2ZOBA=180°回ZOCA+ZOCB=90°-AOBA

SZACB=ZOCA+ZOCB=90°-NOBA0ZABD=ZACB即結(jié)論得證.

故答案為：。。的切線DE,^ABD=ZC.

（2）解:如圖2,連接B。，

由（1）可知ZABC=NCD3,DC=AC+AD=AC+BC回AABCs^BDC

回會(huì)=怒回2=當(dāng)廠解得BC=J^+1或BC=-君+1（不符合題意，舍去）

nCDCnC2+nC

回廠=必=生=息口回回o的半徑為叵出.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，三角形相似等知識(shí).解題的關(guān)鍵在

于對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用.

模型5.托勒密定理模型

條件：如圖，AB.CD是圓。的兩條弦；結(jié)論：AB2CDAD1BCAC2BD

例1.(2023?山西晉中?九年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：

托勒密(Ptolemy)(公元90年?公元168年)，希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱(chēng)為

"偉大的數(shù)學(xué)書(shū)"，托勒密有時(shí)把它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書(shū)中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密

(Ptolemy)定理.

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和.

已知：如圖1,四邊形A3CD內(nèi)接于。O.

圖1圖2

求證：ABCD+BCAD=ACBD

下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：

證明：如圖2,作=交BD于點(diǎn)E.

0AD=AD^^ABE=ZACD（依據(jù)1）

（依據(jù)2）

ABBE

0一=一^\ABCD=ACBE

ACCD

0AB=AB團(tuán)ZACB=ZADE

0ZBAE=ACAD0ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC

即NBAC=/E4D

0AABCs八AED

^ADBC=AC-ED

^ABCD+ADBC=AC(BE+ED)

SABCD+ADBC=ACBD

任務(wù)：

(1)上述證明過(guò)程中的"依據(jù)1""依據(jù)2"分別是指什么？

依據(jù)1：.

依據(jù)2：.

3

(2)如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，AD=5,tanZACB=-,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

4

求8。的長(zhǎng).

【答案】(1)同弧所對(duì)的圓周角相等，兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；(2)BD=7

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理，相似三角形的判定即可解決問(wèn)題.

(2)首先證明AC=50，由托勒密定理，構(gòu)建方程求出即可.

【詳解】解：(1)上述證明過(guò)程中的“依據(jù)甘是同弧所對(duì)的圓周角相等.

"依據(jù)2"是兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

故答案為：同弧所對(duì)的圓周角相等；兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

(2)EIAC為0。的直徑，0ZABC=ZAZ)C=9OO,

回點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，^AD=CD-0C￡)=AD=5,

團(tuán)在RMACD中，AC=VAD2+CD2=5V2

3

[atanZAC8=一回在Rt△ABC中，AB=3~Ji,BC=4及

4

SABCD+ADBC=ACBD

03A/2X5+5X4>/2=5V2-BD，SBD=J

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，

托勒密定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問(wèn)題.

例2.（2023春?河南平頂山?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：

羅狄斯托勒密（CVaadiasRo/awaeas,約90年168年），“地心說(shuō)"的集大成者，生于埃及，著名的天文學(xué)家，

地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家.

托勒密定理實(shí)出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密從他的書(shū)中摘出并加以完善.

托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.

如圖1,四邊形內(nèi)接于求證：ABCD+BCAD=ACBD

下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：

證明：如圖1,作=交BD于點(diǎn)E.0AD=AD>^ZABE=ZACD（依據(jù)1）,^^ABE^^ACD

A5BE

（依據(jù)2）,0—=—,^ABCD=ACBE,回用8=A8，^ZACB=ZADE,SZBAE=ZCAD,團(tuán)

ACCD

ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,即NS4C=/E4D,…

任務(wù)：

（1）托勒密定理的逆命題是;上述證明過(guò)程中的"依據(jù)1"為;"依據(jù)2"為

⑵請(qǐng)完成后續(xù)證明；

⑶如圖2,以A3為直徑的。。中，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，且NABC=30。，NACB的角平分線交。。于點(diǎn)

連接AD,BD,若AB=4,求CO的長(zhǎng).

【答案】⑴如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形;

同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似⑵證明見(jiàn)解析⑶C￡>=應(yīng)+#

【分析】（1）根據(jù)逆命題，同弧所對(duì)的圓周角相等，兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，進(jìn)行作答即

4DBE

可.（2）如圖，^ZBAE=ZCAD,交.BD于點(diǎn)、E,證明,則——=——，ABCD=ACBE,

ACCD

由AB=AB，可得NAGB=NAT）E，ZBAE+ZE4C=ZC4D+Z￡AC,即NBAC=NE4ZT證明

△ABC^AA￡E>,則變=生，ADBC^ACED.貝ij

DEAD

ABCD+ADBC=ACBE+ACED=AC<BE+ED）.

（3）由A3為直徑，可得NAT?=NACB=90。，四邊形ACBD為圓的內(nèi)接四邊形，由NABC=30。，AB=4,

可得AC=gAB=2,勾股定理求BC=26.由NACB的角平分線交。。于點(diǎn)。，可得ZACD=/BCD,

AD=BD,為等腰直角三角形，則AO=8r>=YZAB=20.由四邊形AC比）為圓的內(nèi)接四邊形，

2

可得ACBD+ADZCuAB-CD,即2x20+2夜x2有=4CD,計(jì)算求解即可.

【詳解】（1）解：由題意知，托勒密定理的逆命題是：如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線

的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形.

證明過(guò)程中的"依據(jù)1"為：同弧所對(duì)的圓周角相等；

"依據(jù)2"為：兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.

故答案為：如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形;

同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；

（2）證明：如圖，作NS4E=NC4D,交BD于點(diǎn)、E,

A

團(tuán)AO=A。，^ZABE=ZACDf[?]AABE^AACD,

ABBE

團(tuán)-----------,團(tuán)AB-CD-A.C-BE,回AR=AB，回NACB—^ADE,

ACCD

^\ZBAE=ZCAD,團(tuán)NBAE+N￡AC=NC4D+NE4C,

4r~?

即ZBAC=NEW.⑦△ABCs^AED,回一=—,?ADBC=ACED.

DEAD

?ABCD+ADBC=ACBE+ACED=AC<BE+ED).

國(guó)ABCD+BCAD=ACBD；

(3)解：回A3為直徑，回NAD5=NACB=90。，回四邊形AC3O為圓的內(nèi)接四邊形,

0ZABC=30°,AB=4,SAC=-AB=2,由勾股定理得，BC7AB2-AC。=2日

回/ACB的角平分線交。。于點(diǎn)。，回NACD=NBCD,

^AD=BD>^AD=BD,田△ABD為等腰直角三角形，SAD=BD=—AB=2y/2.

2

回四邊形ACB。為圓的內(nèi)接四邊形,

^ACBD+ADBC=ABCD,即2x2行+20x2有=4C￡),解得CD=0+#.

【點(diǎn)睛】本題考查了逆命題，等弧對(duì)等角，相似三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定

理，含30。的直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?重慶?九年級(jí)假期作業(yè)）已知：如圖。O的割線R4B交。。于點(diǎn)A,B,PA=7cm,AB5cm,

PO=Wcm,則。。的半徑是（）

C.6cmD.7cm

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)PO交圓于點(diǎn)E,連接人（：上巳證明那人（：~即￡8,從而證明結(jié)果

【詳解】延長(zhǎng)P0交圓于點(diǎn)E,連接AC,BE,

EI/PAC+/CAB=180。而四邊形ABEC是圓的內(nèi)接四邊形，貝IJ/CABM/B

尸APC

回/PAC=NB,又團(tuán)NP=NPEEPAC-0PEB,0——=一

PEPB

0PAxPB=（PC+2OC）xPC,BP7x（7+5）=PO2-OC2=100-OC2,求得0C=4cm.

【點(diǎn)睛】根據(jù)題意找到相似的三角形，并碎臉應(yīng)用內(nèi)接四邊形的教的特點(diǎn)很重要.

2.（2023?山西九年級(jí)期中）如圖，尸是。。外一點(diǎn)，PAB、PCD都是。。的割線.如果PA=4,AB=2,

PC=CD,那么PD的長(zhǎng)為（）

【答案】D

【分析】連結(jié)BC、BD,證明△PCBEBBID,由RI：PD=PC：可得到尸￡）的長(zhǎng).

【詳解】如圖，連結(jié)BC、BD.S同弧所對(duì)的圓心角相等盟PD4=SPBC,又回MP。是aCB和△朋。共同的角,

0APCB00fi4￡),m：PD=PC：PB=；PD：PA+AB,回PD=4\/1

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形、同弧對(duì)應(yīng)的圓周角相等，靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，兩個(gè)同心圓，過(guò)大圓上一點(diǎn)A作小圓的割線，交小圓于3、

C兩點(diǎn)，且圖中圓環(huán)的面積為4萬(wàn)，則A8-AC=.

【答案】4

【分析】設(shè)圓心為。，作AD與小圓相切，切點(diǎn)為/W,與大圓交于點(diǎn)D,連接OM，根據(jù)勾股定理及題意得

出402=4，過(guò)點(diǎn)。作ONLAC,連接。3,繼續(xù)利用勾股定理進(jìn)行等量代換得出。A?-o&=a。AB,

即可求解.

【詳解】解：設(shè)圓心為。，作AD與小圓相切，切點(diǎn)為M,與大圓交于點(diǎn)。，連接。河，如圖所示：

D

1AD,0AM2=OA2-(9M2,

2

團(tuán)%OA2_%O“2=4萬(wàn)，0AM=4,過(guò)點(diǎn)。作QVLAC,連接08,

SON2=OA2-AN2,ON2=OB2-BN2,

,即以22)

0OA2A7V2=OBiBN22_OB2=AN-BN=(AN+BN)(AN-BN=ACAB,

0OA2-OB2=OA2-OM-=AM2=4,0AB-AC=4,故答案為：4.

【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理解三角形，切線的性質(zhì)，垂徑定理等，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵.

4.（2023?成都市九年級(jí)期中）已知PCO為。。的兩條割線，PA=8,AB=10,CD=7,NP=60。,

則O。的半徑為.

【答案】V73

【分析】根據(jù)切割線定理即可求得PC的長(zhǎng)，在直角ABCD中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】如圖：

fflPA?PB=PC?PD,得8xl8=PC?(PC+7),解得：PC=9,連接BC,

EIBP=PA+AB=2PC=18,0P=6O°,EEBCP=90",0EBCD=9O°,

BC=^BP2-PC2=A/182-92=9A/3,連接BD,EEBCD=90°,EIBD為直徑,

BD=+BC?=卜+（9后=2瓦.故回O的半徑為：773.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切割線定理與勾股定理，連接CD構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?重慶九年級(jí)期末）如圖，從圓外一點(diǎn)尸引圓的切線點(diǎn)A為切點(diǎn)，割線尸交。。于點(diǎn)。、B.已

【答案】9:4

【分析】根據(jù)切割線定理，可求PB=18,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方

可求SAABP：SADAP-PB2：PA2=9：4.

【詳解】由切割線定理可得PA2=PDXPB,

0PA=12,PD=80PB=18.由弦切角和公共角易知AABPElADAP.

HSAABP:SADAP=PB2：PA2=9：4.故答案為9：4

【點(diǎn)睛】本題應(yīng)用了切割線定理和相似三角形的性質(zhì)：相似三角形面積的比等于相似比的平方.

6.（2023?浙江?統(tǒng)考二模）如圖，A3是。O的直徑，點(diǎn)C在。。上，點(diǎn)。在54的延長(zhǎng)線上，連接CD、C4、CB,

2

^.DC=DADB.（l）^ffi：△ACDs^caD；（2）判斷直線CD與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

c

DO

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)相切，見(jiàn)解析

【分析】(1)由OC?可得程=黑，又ND=ND,從而△ACDs/\CBD即可得證;

￡1.D

(2)連接0C,由△ACDSACBD,OB=OC,BT^ZDCA=ZOCB,因?yàn)锳3是。。的直徑，故NACB=90。,

從而可得NOCO=90。，即。CLCD.又因?yàn)镺C是半徑，所以直線8是。。的切線.

【詳解】(1)證明：S\DC2=DADB回］|=黑

0ZD=ZD,EZXACD^ACBD.

(2)答：直線CO與0。相切.解：連接0C,

0AACD(^ACBD,0Z￡)G4=ZB,

?OB=OC,回/OC3=ZB,SZDCA=ZOCB

國(guó)AB是。。的直徑，fflZACB=90°,

0ZDCO=ZDCA+ZACO=Z.OCB+ZACO=90°,0OC±CD.

又聞OC是半徑，回直線CO是。。的切線.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，切線的判定，連接OC,找出角的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.

7.(2023?廣東珠海,統(tǒng)考一模)如圖，。。為正A/EC的外接圓，P為劣弧BC上任一點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線和A3

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。.⑴求/3PC；(2)求證：AC2=CPCD.

A

_

【答案】（1）120°（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和AABC為正三角形即可求出；（2）證明△尸即可求出.

【詳解】（1）解：；AABC為正三角形，；.NA=60。.

四邊形ASPC為圓內(nèi)接四邊形，ZBPC=180°-ZA=120°；

（2）證明：由（1）知，ZBPC=120°,

0Z.DBC=180°-ZABC=120°,

又團(tuán)ZPCB=NBCD,0△PCBrNBCD.

CPCB.,

回有=—貝U=CP，CD

CnCD

X0CB=AC,SAC2=CPCD.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合問(wèn)題，涉及到等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)

用這些知識(shí)是關(guān)鍵.

8.（2023?廣東汕頭??？家荒＃┤鐖D，A3是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，AD平分/C4B,過(guò)點(diǎn)D作AC

的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接HD.

⑴求證：是0O的切線；（2）求證：AB■（AB-AE）=AC-BF（3）^AB^10,AC=6,求的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵見(jiàn)解析（3）4后

【分析】（1）連接OD,由題可知，D已經(jīng)是圓上一點(diǎn)，欲證EF為切線，只需證明/OD尸=90。即可;

(2)連接。.由(1)知ZFD3+NODB=90。，A3為OO的直徑，由AEBO?AOC4得粵=黑，又

AC

AEAD

△AEDFADB,所以F=F7,所以AD?=Ag.Ag,因?yàn)锳g2=9?+E凡所以Ag2=AE.AB+AC.1B尸，

ADAB

即可證明AE)=AC8F；

(3)連接BC,根據(jù)勾股定理求出BC,進(jìn)而根據(jù)三角形的中位線定理可得OH的長(zhǎng)，從而得的長(zhǎng).

【詳解】(1)如圖，連接OO.

^OD=OA,^\ZODA=ZOAD,

^ZODA=ZEAD,SOD//AE,^ZODF=ZE,

13A￡±￡F,[?]ZF=90°,E?ODF90?,

回半徑OD_L￡F,回E尸是。。的切線；

(2)如圖，連接8.

0?ODF90?,0ZFDB+ZODB=90°,

EIAB為。。的直徑，fflZADB=90°,^ZDAB+ZDBA=90°,

SOD=OB,SZOBD=ZODB,aNFDB=NDAB,

0ZBAD=ZCADB1ZFDB=ZCAD,

BDBF

EIAB、a。四點(diǎn)共圓，EZFBD=ZDCA,BJ^FBD-^DCA,0—=—,

ACCD

BZCAD=ZDAB,國(guó)BD=CD,國(guó)BD?=AC?BF,

AEAD

⑦/FAD=/DAR,ZE=ZADB=90°,0AED^ADB,[?]——=——,0A￡>2=AE-AB，

AADAB

在RSADB中，AB2=AD2+BD2，^\AB2=AEAB+ACBF,0AB(AB-AE)=ACBF.

(3)如圖，連接BC,交OD于點(diǎn)H.回A3是。。的直徑，0Z4CB=9O°,

0AB=1O,AC=6,JAB?—=J]02—62=8,

ElCD=BD,0OD_LBC,13CH=BH=—BC=—x8=4,mOA=OB,0OH=—AC=3,

222

AB=10,QOD=OB^5,SDH=OD-OH=5-3=2,

^BD2^DH-+BH-=22+42=20,^AD1=AB--BD1=102-20=80,回4。=胸=4指.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，掌握三角形的中位線定理，勾股定理，角平分線的定義，切線的判定等

知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?湖北,校聯(lián)考二模）如圖，已知是O。的直徑，點(diǎn)C是O。上一點(diǎn)，連接BC,AC,過(guò)點(diǎn)C作

直線于點(diǎn)。，點(diǎn)E是A3上一點(diǎn)，直線CE交。。于點(diǎn)尸，連接正，與直線CO交于點(diǎn)G.

⑴求證：BC'BG-BF；⑵若CB=&cm,FG=1cm,求FB的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析⑵=3cm

【分析】（1）先根據(jù)是直徑可得出NACB=90。，再由CD,AB及相似三角形的判定定理可得出AFBC回

△CBG,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出答案；

（2）設(shè)3G=xcm,由（1）的結(jié)論即可得出關(guān)于x的一元二次方程，求出x的值，進(jìn)而可得出用的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：?.?AB是直徑，.?.44CB=90。，ZA+ZABC=90°,

■.■CD1.AB,ZABC+ZBCD=9Q°,:.ZA=NBCD,

-.-ZA=ZF,:.NF=/BCD,

CBFB

?;/CBG=/FBC,:AFBC⑦ACBG，拓=通:.BC?=FB,BG;

（2）解：設(shè)BG=xcm,由上可知（述）2=x（x+l）

解得x=2,x=—3（舍去），BF=3cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定

定理得出AEBC回ACBG,再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論.

10.（2023?山東聊城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如

圖①所示：B4切回。于點(diǎn)A,A8是回。的一條弦，SR48就是回。的一個(gè)弦切角.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等于它

夾弧所對(duì)的圓周角.根據(jù)下面的"已知"和"求證"，寫(xiě)出"證明"過(guò)程，并回答后面的問(wèn)題.

（1）如圖1,必是回。的切線，A為切點(diǎn)，AC為直徑，SR4B夾弧所對(duì)的圓周角為回C.求證：0B4B=EC.

（2）如圖2,以是回。的切線，A為切點(diǎn)，回刑8夾弧所對(duì)的圓周角為SD.求證：0B4B=0￡）.

（3）如圖3,為半回。的直徑，。為圓心，C,。為半回。上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作半回。的切線CE交A。的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若C￡0A。，且BC=LAB=3,求。E的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）DE=g

【分析】（1）由切線的性質(zhì)可知，13cAp=90。，所以回。3+團(tuán)唐2=90。.再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，

0CAB+0C=9O°,所以I3P4B=EIC.

（2）如圖2,作直徑AC,連接BC,利用（1）中的結(jié)論及同弧所對(duì)的圓周角相等可得結(jié)論.

（3）連接AC,由題意可知，△AC￡00A2C,結(jié)合（1）中的結(jié)論易得AOCEHaBAC,得出比例，進(jìn)而可得結(jié)

論.

【詳解】解：（1）證明：回外切回。于點(diǎn)A,

回回CAP=90。,

^ECAB+SPAB=90°.

又0AC是直徑,

032=90°,

00CAB+E1C=9O°,

0mB=9O°-0CAB=EIC.

(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)