雙曲線與方程講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

模塊4雙曲線與方程

§第1節(jié)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)

一、內(nèi)容提要

1.雙曲線定義：設(shè)Fi，F(xiàn)z是平面內(nèi)的兩個定點，若平面內(nèi)的點P滿足||PFi|—|PFz||=2a(0<

2a<IFiFzl),則點P的軌跡是以Fi，F(xiàn)?為焦點的雙曲線.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)

X2V2y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程亞一標(biāo)=l(a>0,b>0)~2~7~2=l(a>0,b>0)

azbz

焦點坐標(biāo)左焦點Fi(—c,0),右焦點Fz(c,0)上焦點Fi(0,c),下焦點F2(0,-C)

22

焦距|FIF2|=2c,其中c叫做半焦距，且c?=a+b

*w

圖形J《?——

F萬K

范圍x<—a或x>a,yGRy<一a或y>a,xGR

對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

實軸端點(頂點)(±a,0)(0,土a)

虛軸端點(0,±b)(±b,0)

實軸長2a,其中a叫做實半軸長

虛軸長2b,其中b叫做虛半軸長

ba

漸近線y=±-xy=±x

ab

c

e=-(e>1)

離心率a

雙曲線通徑公式：過焦點且與雙曲線實軸垂直的弦叫做通徑，通徑長為—.

3.a

二、考點題型

類型I:雙曲線定義的運用

【例1】雙曲線C:^—y2=l的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上，且|PF1|=6,則|PF2

【變式1】已知雙曲線C:?-y2=l的左、右焦點分別為F1,F2,過F2的直線/與雙曲線C的右

支交于A,B兩點，若|AB|=2,則AABFi的周長為.

【變式2】雙曲線9一?=1的左焦點為F，A(l,2),P為雙曲線右支上一點，則|PA|+|PF|的

最小值為.

【反思】可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線定義與橢圓運用思路類似，實際上大部分題目處理思路也相同，故要

類比學(xué)習(xí).

【例2】已知點0(0,0),A(—2,0),B(2,0),設(shè)點P滿足|PA|-|PB|=2,且P為函數(shù)y=3,4—x2圖

象上的點，貝IJ|0P|=()

D4710

D.------C.V7D.V10

A號5

類型II:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)

【例3】若方程三=1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為------------

22fm>0

【反思】對于方程二+t=1,若n>0則該方程表示橢圓；若mn<0,則該方程表示雙曲線.

mn

ImHn

［例4］雙曲線Ax2-y2=1的實軸長是虛軸長的2倍，貝IJ入=.

【例5】已知雙曲線C:三一1=1,則C的右焦點的坐標(biāo)為__________；點(4,0)到其漸近線的

63

距離是.

【反思】無論焦點在哪個坐標(biāo)軸上，雙曲線的漸近線都有個統(tǒng)一的求法：把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”

換成“0"，反解出y即得漸近線的方程.例如本題將所給方程變?yōu)?-(=0,可反解出漸近

63

線y=±yX.

【變式】若雙曲線馬-昌=1的離心率為2,則此雙曲線的漸近線方程為.

a2bz-------------------

【反思】離心率和漸近線斜率由a,b,c的比值決定，故在求它們的過程中，可對a,b,c按比

例賦值，不會影響結(jié)果.例如，本題也可由c=2a直接令a=l,c=2,于是b=Vc2—a2=W,

也得出

-a=V3

【例6】雙曲線C與雙曲線?—y2=1有相同的漸近線，且過點(2,2),則雙曲線C的方程為

【反思】與雙曲線捺―\=1色>1)/>0)共漸近線的雙曲線可設(shè)為g-g=A(A^0)

§第2節(jié)雙曲線的焦點三角形相關(guān)問題

一、內(nèi)容提要

雙曲線的焦點三角形問題常用雙曲線的定義求解，但除定義外，可能還需結(jié)合圖形（如等腰、

等邊、直角三角形，矩形，平行四邊形等）的幾何性質(zhì)才能求解問題，因此本節(jié)將歸納高考中

雙曲線常見的圖形和幾何條件的處理思路.

二、考點題型

類型I：焦點三角形中的特殊圖形

【例1】已知雙曲線C:\-?=l（a>0）的左、右焦點分別為Fi,Fz，點P在雙曲線C上，且

PFi1PF?,則△PF/?的面積為.

【反思】解析幾何小題中對直角的常見翻譯方法有：①勾股定理；②斜率之積為T;③向量數(shù)

量積等于0；④斜邊上的中線等于斜邊的一半等.選擇合適的方法前應(yīng)先預(yù)判計算量.

【變式】設(shè)F（c,0）是雙曲線捻—仁=1缶>力>0）的右焦點，過原點。的直線與雙曲線交于A,

B兩點，且AF_LBF,且△ABF的周長為4a+2c,則該雙曲線的離心率為（）

【反思】似曾相識吧？沒錯，橢圓也是類似的處理方法，再一次說明了兩者解題的共性.

類型II：定義與中點相關(guān)

【例2】已知雙曲線C。一總=l（a>0,b〉0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,過￡的直線/交雙

曲線C的右支于點P,以雙曲線C的實軸為直徑的圓與/相切，切點為H,若|FiP|=2|FiH|,則C

的離心率為（）

A.—B.V5C.2V5D.V13

2

【反思】當(dāng)出現(xiàn)中點時，可往中位線方向思考，而原點0是FiFz的中點，常作為構(gòu)造中位線的隱

藏條件.

【變式】設(shè)雙曲線1的左焦點為F,P為雙曲線右支上的一點,且PF與圓x2+y2=9相

切于點N,M為線段PF的中點，0為原點，貝.

類型ni：定義與解三角形相關(guān)

【例3】已知FI,F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且NF1PF2=60。，|PFi|=3呷,貝！I

C的離心率為（)

A.CB.當(dāng)C.V7D.V13

2

【變式1】已知雙曲線馬一弓=19>0,13>0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn),過F2的直線/交雙

azbz2

曲線的右支于A、B兩點，且|AB|=IAFJ,coszAFiB=則雙曲線的離心率為（）

A.§B.V3C.2D.V5

2

【反思】從上面兩道題可以看出，焦點三角形中的角度（非直角）類條件，常用余弦定理翻譯成

a,b,c的方程，求離心率.

【變式2】雙曲線C：m—^=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為Fi,Fz,過點F?的直線/與雙曲

線C的右支交于A,B兩點，且|BF/=|F1F2|,甌=2印，則C的離心率為.

【變式3】設(shè)雙曲線=l（a>0,b>0）的左、右焦點為Fi，F(xiàn)2,過F?的直線與雙曲線的右

支交于A,B兩點，AB中點為P,若|AB|=四干”|,^^隹人=45。則該雙曲線的離心率為（）

A.V3B.6C.竽D等

【反思】在雙曲線離心率問題中，若給出兩條線段的比例關(guān)系，則可設(shè)其中一條線段的長，并嘗

試將圖形中的其它線段也用設(shè)的變量來表示，再結(jié)合雙曲線的定義把它們轉(zhuǎn)換成a,b,c,建

立方程求離心率.

類型IV：定義與幾何性質(zhì)綜合

【例4】點F(c,O)為雙曲線\—、=l(a>0,b>0)的右焦點，P為雙曲線左支上一點，線段P

F與圓M:(x-j)2+y2=9相切于點Q,若員=2試則雙曲線的離心率為.

【反思】①解析幾何中遇到線段比例的條件，構(gòu)造相似比是一個值得考慮的方向；②焦點三角

形PF1F2條件下求雙曲線的離心率，若能分析三邊比值關(guān)系，則可代公式e=”廣弁來算.

【例5】我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖1,Fi,Fz是雙曲

線的左、右焦點，從F2發(fā)出的光線m射在雙曲線右支上一點P,經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的

反向延長線過F1；如圖2,當(dāng)P異于雙曲線頂點時，雙曲線在P處的切線平分NF1PF2,若雙曲

線C的方程為三=1,則下列結(jié)論不正確的是()

916

A.射線n所在直線的斜率ke(-i)

B.當(dāng)m，n時，|PF1|?|PF2|=32\0

C.當(dāng)射線n過點Q(7,5)時，光線由Fz到P,再到Q經(jīng)過的)二任

路程為13

D.若T(1,O),直線PT與C相切，則|PF2|=12

圖1圖2

§第3節(jié)雙曲線漸近線相關(guān)問題

一、內(nèi)容提要

圓錐曲線中，漸近線是雙曲線獨有的幾何性質(zhì)，相關(guān)考題較多，本節(jié)將歸納一些常見題型.

1.借助漸近線分析直線與雙曲線的交點個數(shù)：

①當(dāng)直線/過原點時，若其斜率ke（-co，-|]ug，+00）,則直線/與雙曲線沒有交點，如圖

1;若ke（—則直線/與雙曲線有兩個關(guān)于原點對稱的交點，如圖2.

②當(dāng)直線過雙曲線內(nèi)部定點P時,若其斜率k=±之即直線與漸近線平行,則直線與雙曲線有1個

a

交點，如圖3中的A和勿若ke（—P，P）,則直線與雙曲線的兩支各有1個交點，如圖3中的/；

若ke（—00,-|）ug-+00）,則直線與雙曲線的同支有2個交點，如圖4中的/.

③當(dāng)直線過雙曲線外部定點P（不與原點重合）時，分析交點個數(shù)還需借助切線，如圖5,。和〃

是與漸近線平行的直線，/2和/3是雙曲線的兩條切線，我們讓直線/從。出發(fā)繞點P逆時針旋轉(zhuǎn),

恰好為時，與雙曲線有1個交點；轉(zhuǎn)到Z1和1之間時，與雙曲線在同支有2個交點；恰好為

%時，與雙曲線有1個交點；在"和b之間時，沒有交點；恰好為b時，有1個交點；在13

和〃之間時，與雙曲線在同支有2個交點；恰好為〃時，有1個交點；從繼續(xù)轉(zhuǎn)回。的過

程中，與雙曲線在兩支上各有1個交點.

2.漸近線的角度關(guān)系：如圖6,雙曲線的兩條漸近線關(guān)于x軸、y軸對稱，所以圖6中左右兩個

角相等，設(shè)為a,中間兩個角也相等，設(shè)為口，且a+G三90。.

3.雙曲線的兩類特征三角形：

①如圖7,設(shè)F為雙曲線\—\=1缶＞0加＞0）的右焦點，過F作一條漸近線的垂線，垂足

為A,則在AA0F中，|AF|=b,|OA|=a,|OF|=c這個三角形有雙曲線的全部特征參數(shù)，所

以把AAOF稱為雙曲線的“特征三角形”.由對稱性，這樣的特征三角形有4個.由于點A滿

足|OA|=a，所以A在圓x2+y2=a2±,由0A，AF可得AF是該圓的切線，若要求點A的坐

r_b（x2=《2

標(biāo)，可聯(lián)立y=aX求得所以圖7中點A的坐標(biāo)為（匕，當(dāng).

lx2+y2=a2|/=警I。。）

②如圖8,A為雙曲線的右頂點，過A作x軸的垂線交一條漸近線于點B,則在AAOB中，|0A

|=a,|AB|=b,|OB|=c，這個三角形也有雙曲線的全部特征，所以把AAOB稱為雙曲線的“特

征三角形”，由對稱性，這樣的特征三角形有4個.

二、考點題型

類型I:借助漸近線進行圖形分析

【例1】記雙曲線C:'—"=l(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與C

無公共點”的e的一個值________.

【變式】雙曲線l(a>,b>0)的焦距為2c,Fi，F(xiàn)2為其左、右兩個焦點，直線/經(jīng)

過點(0,b)且斜率為1,若I上存在點P滿足|PFi|-|PFz|=2b,則C的離心率的取值范圍為()

A.(1V2B.(V2-V3)C.(l-V3)D.(V2-+00)

【反思】從上面兩道題可以看出，涉及直線與雙曲線的交點個數(shù)問題，常借助漸近線來分析臨界

狀態(tài).

【例2】已知雙曲線C:g-g=l(a>0,b>0),若直線x=-b與C的兩條漸近線分別交于A,B

兩點，0為原點，且加與質(zhì)的夾角為60°,則C的離心率為()

A.2B-C.V3D.—

23

【變式1】已知雙曲線C:\—、=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,以線段F1F2為直

徑的圓與y軸的正半軸交于點B,連接FiB,F?B分別交雙曲線的漸近線于點E,F,若四邊形0

FBE為平行四邊形，則C的離心率為.

【反思】①雙曲線的兩條漸近線分別關(guān)于x軸、y軸對稱，由此可得到一些特殊的角度相等關(guān)系,

這也是漸近線最基礎(chǔ)的幾何性質(zhì)；②兩漸近線夾角為90。的雙曲線是等軸雙曲線，其離心率為

V2.

2

【變式21已知Pi(xi，yi),P2(x2，y2)兩點均在雙曲線「宏一丫2=l(a>0)的右支上，若

Xix2+yiy2>0恒成立，則a的取值范圍是.

【反思】可以發(fā)現(xiàn)，本題我們又用到了通過判斷數(shù)量積的正負(fù)來分析角度的銳鈍這一方法.

【例3】已知F是雙曲線C:\一A=l(a>0,b>0)的右焦點，點A是C的左頂點，0為原點,

過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為P,若NPAF=30°,則C的離心率為.

【反思】上圖中的APOF的三邊長分別為a,b,c,我們把它叫做雙曲線的一個“特征三角形”，

在后續(xù)的某些題目中，熟悉這一結(jié)論，可以迅速發(fā)現(xiàn)圖形中的一些幾何關(guān)系.

【變式1］已知雙曲線C:\—2=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi,Fz，過F1的直線與C

的兩條漸近線分別交于A,B兩點，若用=E曰印=0,則C的離心率為.

【變式2】已知雙曲線E:||T=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fi,Fz,圓0。2+丫2=22與

E的一條漸近線的一個交點為M,若|MF2|=^^^2|,則E的離心率為()

A.V2B.V3C.V5D.V6

【變式3】已知雙曲線C:\—\=l(a>0,b>0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在C的一條

漸近線上，且FBLB0,0為原點，直線FB與y軸交于點D,若直線AB過線段0D的中點，則C

的離心率為()

A.V2B.V3C.2D.V5

【總結(jié)】由例3及其變式可發(fā)現(xiàn),漸近線中對于幾何條件的翻譯和做法,與前面小節(jié)大同小異.

類型II：漸近線相關(guān)的綜合運算

［例4］已知雙曲線=l(a>0,b>0)的左焦點為F,過F且與x軸垂直的直線/與雙曲

線交于A,B兩點，交雙曲線的漸近線于C,D兩點，|CD|=V^|AB|,則雙曲線的離心率為.

【例5】已知雙曲線接一"=l(a>0,b>0)的左焦點為F,過F且斜率為蔣的直線交雙曲線

于點A(xi，yQ,交雙曲線的漸近線于點B(X2)丫2),且xt<0<x2,若|FB|=3|FA|,則雙曲線

的離心率是.

【總結(jié)】從上面兩道題可以看出，漸近線有關(guān)問題，若不便從幾何角度分析，也可用其方程參與

運算，按代數(shù)的方法來求解問題，但這樣做計算量往往更大一些，為次選方案.

§第4節(jié)高考中雙曲線常用的二級結(jié)論

一、內(nèi)容提要

解析幾何中存在無數(shù)的二級結(jié)論，本節(jié)篩選出了一些在高考中比較常用的雙曲線二級結(jié)論,

記住這些結(jié)論可適當(dāng)縮短解題時間.

1.焦點三角形面積公式：如圖1,設(shè)P是雙曲線三一弓=l(a>0,b>0)上一點，F(xiàn)i

a2b2

h2

(-C-0),F2(C-0)分別是雙曲線的左、右焦點，ZT1PF2=e,則SAPF#2=c|yp|=

tan-

證明：一方面，APF1F2的邊F1F2上的高h(yuǎn)=|yp|,所以SAPFF2=之下#21-h=?2c-|yp|=

c|yP|;另一方面，記|PFi|=m,|PFz|=n，則|m-n|=2a①，

22

在△PF1F2中，由余弦定理，IF1F2F=IPFil+|PF2|-2|PF/?IPF2I?cos/FiPF2,

所以4c2=m2+n2-2mncos0=(m—n)2+2mn—2mncos0=(m—n)2+2mn(l—cos。,)②,

將式①代入式②可得：4c2=4a2+2mn(l一cos。)所以m=J：-■=2b

、'2(l-cos0)l-cos0

2b2rsin02sin-cos-2

SAPF=1mnsin0=1■sine=b2.^^-=bQ2.—b

故F12~~e

l-cos0l-cos02sin2^tan-

2-基于雙曲線第三定義的斜率積結(jié)論：如上圖2,設(shè)A,B分別是雙曲線g-g=l(a>O,b

>0)的左、右頂點，P是雙曲線上不與A,B重合的任意一點，則kPA-kPB=

注：上述結(jié)論中A,B是雙曲線的左、右頂點，可將其推廣為雙曲線上關(guān)于原點對稱的任

意兩點，如上圖3,只要直線PA,PB的斜率都存在，就仍然滿足kpA-kpB=?下面給出證明.

證明：設(shè)A(xi，y),P(X2-y2),則B(-xx--y。所以kpA?kpB=紀(jì)工?出地=室彎①,

X2—X]X2-X]x2—X]

因為點A在雙曲線上，所以—'=1,故y/=b2值—1)=家x/—a2),同理，y2=

22

捺(X：一a2),所以yi-(x^-a-xj+a)=(x；—x》,代入①得:kPA-kPB=^;

在上述條件中令A(yù)(-a,0),B(a,0),即得內(nèi)容提要第2點的特殊情況下的結(jié)論.

3.中點弦斜率積結(jié)論：如圖4,AB是雙曲線\一2=19>0,1)>0)的一條不與坐標(biāo)軸垂直且

不過原點的弦，M為AB中點，則kAB，koM=?此結(jié)論可用下面的點差法來證明?

期一在=1

證明：設(shè)A—，yi）,B（X2，丫2）-。X2,%Hy2,因為A,B都在雙曲線上，所以,

9一魚二i

Va2b2

兩式作差得：亨一■=o,整理得：紇約―二號①，

zzz

abX]-X2Xi+x2a

注意到株=kAB，鬻=等=?所以式①即為kAB-k0M=g

Xj—X2X1+X22XMXMa

注：中點弦結(jié)論和上面的第三定義斜率積結(jié)論的結(jié)果都是?這是巧合嗎？不是，兩者之間有必

然的聯(lián)系.如上