廣東省清遠(yuǎn)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠(yuǎn)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)至第二冊(cè)第四章．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知傾斜角為的直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則（）A.2 B.-2 C. D.【答案】D【解析】直線(xiàn)的斜率為2，兩直線(xiàn)垂直，故直線(xiàn)的斜率，即.故選：D．2.橢圓上一點(diǎn)與它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，則點(diǎn)與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于（）A.2 B.6 C.8 D.16【答案】D【解析】橢圓中，所以，由橢圓的定義可得，又，所以，即點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是16．故選：D．3.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.3 B. C.2 D.【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，，所以，即．因?yàn)椋?，代入，求得，故選：C．4.如圖，在四棱錐中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】．故選：A5.2020年1月，教育部發(fā)布《關(guān)于在部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見(jiàn)》（簡(jiǎn)稱(chēng)“強(qiáng)基計(jì)劃”），明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原有的高校自主招生方式．某高校筆試環(huán)節(jié)要求考生參加三個(gè)科目考核，考生通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．考生甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核的概率分別為，且每個(gè)科目考核相互獨(dú)立，則甲順利進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核分別為事件，顯然為相互獨(dú)立事件，則事件“甲通過(guò)三個(gè)科目的筆試考核”相當(dāng)于事件，所求概率．故選：A．6.已知空間向量，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是等腰直角三角形B.，則四點(diǎn)共面C.四邊形是矩形D.若與分別是異面直線(xiàn)與的方向向量，則與所成角的余弦值為【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，則有，又，則為鈍角，為等腰三角形，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若要四點(diǎn)共面，則存在，使得成立，且，又，，則，解得，，為的中點(diǎn)，則四點(diǎn)共面，B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，，，，所以四邊形是平行四邊形．，與不垂直．四邊形不是矩形，C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，故D不正確．故選：B7.如圖,在一個(gè)7行8列的數(shù)表中,第行第列的元素為，其中，則該數(shù)表中所有無(wú)重復(fù)的元素之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知有，故在7行8列的數(shù)表中，只有第1行第1列及第7行第8列兩數(shù)是沒(méi)有重復(fù)的，則．故選：B．8.如圖，已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)，且有，直線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，又，則，設(shè)直線(xiàn)，把代入，可得，，令，則，同理，則，，，故選：D．二?多選題本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列結(jié)論成立的有（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列為遞增數(shù)列C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】因?yàn)?，所以，求得，即，所以為首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)C正確．對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?shù)列為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?shù)列的前項(xiàng)和為：，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10.已知圓心為的圓經(jīng)過(guò)，則（）A.圓的方程為B.圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則C.圓心為，半徑為的圓與圓有公共點(diǎn)，則D.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為6，則直線(xiàn)的方程為【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)，圓心為的圓經(jīng)過(guò)，則半徑為5，則圓的方程為，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)，圓心與點(diǎn)距離為，則圓上點(diǎn)到點(diǎn)的距離滿(mǎn)足，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)，點(diǎn)到圓心的距離為，因?yàn)閳A與圓有公共點(diǎn)，所以，則，故選項(xiàng)C正確．對(duì)于選項(xiàng)，由公式，可知要使得直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為6，則圓心到直線(xiàn)的距離為4．①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為4，滿(mǎn)足題意；②當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為時(shí)，直線(xiàn)的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為4，則，得，則直線(xiàn)的方程為．所以直線(xiàn)的方程為及，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．11.如圖，在正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的值最小B.當(dāng)時(shí)，C.若平面上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡是橢圓D.直線(xiàn)與平面所成角的正弦值是【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．設(shè)，則．，，，當(dāng)，即時(shí)，的值最小，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，，，，故B正確．對(duì)于C選項(xiàng)，如圖2所示構(gòu)造圓錐．母線(xiàn)與中軸線(xiàn)的夾角為，然后用平面去截圓錐，使直線(xiàn)與平面夾角為，則截口為點(diǎn)的軌跡圖形，由圓錐曲線(xiàn)定義可知，點(diǎn)的軌跡為橢圓，故C正確．對(duì)于D選項(xiàng)，直線(xiàn)與平面所成的角，即直線(xiàn)與平面所成的角．是與平面所成的角，又，則，故D不正確．故選：ABC．12.已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)．若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為B.若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，則C.的最小值為12D.的內(nèi)切圓的圓心在定直線(xiàn)上【答案】ACD【解析】因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，如圖，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理可知，所以，所以，則雙曲線(xiàn)的方程為，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由消去并化簡(jiǎn)得注意到當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，即此時(shí)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，是通徑，由雙曲線(xiàn)性質(zhì)可知，通徑最短，所以的最小值為，C選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，設(shè)與圓分別相切于點(diǎn)，由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得，而，兩式相加得，所以是雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，所以軸，則圓心在直線(xiàn)上，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13.魔方，又叫魯比克方塊，是由匈牙利布達(dá)佩斯建筑學(xué)院厄爾諾?魯比克教授于1974年發(fā)明的機(jī)械益智玩具，與華容道?獨(dú)立鉆石棋同被稱(chēng)為智力游戲界的三大不可思議．三階魔方（如圖所示）可以看作是將一個(gè)表面涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線(xiàn)把正方體切開(kāi)形成27個(gè)小正方體．現(xiàn)將三階魔方中1面有色的小正方體稱(chēng)為中心方塊，2面有色的小正方體稱(chēng)為邊緣方塊，3面有色的小正方體稱(chēng)為邊角方塊，若從這27個(gè)小正方體中任取1個(gè)，則抽到的是中心方塊或邊角方塊的概率為_(kāi)_________．【答案】【解析】沿等分線(xiàn)把正方體切開(kāi)，得到27個(gè)同樣大小的小正方體，1面有色的小正方體有6個(gè)，2面有色的小正方體有12個(gè)，3面有色的小正方體有8個(gè)，所以抽到的是中心方塊或邊角方塊的概率是．故答案為：．14.設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的最大值是__________．【答案】【解析】直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則垂直于直線(xiàn)時(shí)，有最大值，為，故答案為：．15.如圖，四面體中，，，，，，分別是，的中點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】設(shè)，，，,,故答案為：16.如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線(xiàn)的一部分繞其虛軸所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為180米，水平方向上塔身最窄處的半徑為30米，最高處塔口半徑為米，塔底部塔口半徑為米，則該雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，以冷卻塔的軸截面所在平面建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則由題知，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以，解得，因?yàn)槔鋮s塔總高度為180米，所以，所以，故所求雙曲線(xiàn)的離心率．故答案為：．四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求的通項(xiàng)公式．（2）是否存在正整數(shù)使，，成等比？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又符合，所以的通項(xiàng)公式為.（2）存在，理由如下：設(shè)存在，使，，成等比，則所以：解得：或（舍去）.所以：可使，，成等比.18.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸相切．（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的光線(xiàn)經(jīng)軸反射后與圓相交于，求的面積．解：（1）設(shè)圓的方程為，由題可得則，,所以故圓的方程為．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的光線(xiàn)所在直線(xiàn)為，則斜率為，故直線(xiàn)的方程為，設(shè)經(jīng)軸反射后為直線(xiàn)，斜率，則直線(xiàn)的方程為，則圓心到直線(xiàn)的距離為，則，故的面積為．19.如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，，，為上一點(diǎn)，且平面，到的距離為．（1）證明：．（2）已知點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦危瑒t，因?yàn)槠矫妫?、平面，則，，因?yàn)?，則，因?yàn)椋?、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，則，因?yàn)?，，則為中點(diǎn)，又因?yàn)椋瑒t.（2）由（1）知，因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，由（1）可知，，則點(diǎn)到的距離為，解得，則，因?yàn)?，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，可得，所以，.因此，平面與平面夾角的余弦值是．20.人類(lèi)的四種血型與基因類(lèi)型的對(duì)應(yīng)為型的基因類(lèi)型為型的基因類(lèi)型為或型的基因類(lèi)型為或型的基因類(lèi)型為．其中和是顯性基因，是隱性基因，且各基因類(lèi)型是等可能的．（1）若甲的父親血型是型，母親的血型基因類(lèi)型為，求甲血型是型的概率；（2）若乙的血型基因類(lèi)型為，其母親血型是型，求其父親血型是型的概率．解：（1）若甲的父親血型是型（基因類(lèi)型為或），母親的基因類(lèi)型為，則甲的血型基因類(lèi)型可能結(jié)果為，共8種，則甲的血型是型（基因類(lèi)型為或），共有3種，則其概率為．（2）若乙的母親血型是型（基因類(lèi)型為或），則父母血型的基因類(lèi)型組合有父母從上表可知，乙的血型基因類(lèi)型為，共有16種，其中父親血型為型的有6種，故乙的血型基因類(lèi)型為，其母親血型是型，其父親血型是型的概率為．21.已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列，求的取值范圍．解：（1）由題意有，則，即，又，所以為以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，則，的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知