廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市越秀區(qū)2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學校、班級、姓名、座位號和考生號填寫在答題卡相應的位置上．用2B鉛筆將考生號、座位號填涂在答題卡相應位置上．2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列直線中，傾斜角小于的直線是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設所求直線的傾斜角為，則，其斜率為.對于A選項，直線的斜率為，不合乎要求；對于B選項，直線的斜率為，不合乎要求；對于C選項，直線的傾斜角為，不合乎要求；對于D選項，直線斜率為，合乎要求.故選：D.2.已知數(shù)列滿足，（），則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】因為，（），所以.故選：B.3.如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是，的中點，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，.故選：A.4.若橢圓（）與雙曲線的焦點相同，則的值為（）A.25 B.16 C.5 D.4【答案】C【解析】雙曲線的焦點為，因為橢圓（）與雙曲線的焦點相同，所以，解得.故選：C.5.已知空間三點、、，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為空間三點、、，則，，所以，，，，所以，，因為，則，所以，以、為鄰邊的平行四邊形的面積為.故選：D.6.在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率，每次接觸過程中傳染的概率決定．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為3天，那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到99人大約需要（）（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）（參考數(shù)據(jù)：）A.6天 B.15天 C.18天 D.21天【答案】C【解析】設第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項，公比的等比數(shù)列，由，解得，兩邊取對數(shù)可得，，得，故需要的天數(shù)約為.故選：C.7.已知拋物線C：（）的焦點為F，直線l與C相交于A、B兩點，與y軸相交于點E．已知，，若的面積是面積的2倍，則拋物線C的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過分別作的準線的垂線交軸于點，則，故，因為的準線為，所以，，所以，解得，故拋物線C的方程為.故選：B.8.高8m和4m的兩根旗桿筆直地豎立在水平地面上，且相距6m，則地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】如圖，設高8m和4m的兩根旗桿分別為，觀測點為點，則，故，所以，所以，如圖，在平面中，以點的中點為原點建立平面直角坐標系，則，設Px,y則，化簡得，為圓，所以地面上觀察兩旗桿頂端仰角相等的點的軌跡為圓.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知雙曲線C的方程為，則（）A.雙曲線C的焦點坐標為， B.雙曲線C的漸近線方程為C.雙曲線C的離心率為 D.雙曲線C上的點到焦點的距離的最小值為1【答案】ACD【解析】對于A：由雙曲線，則，即，所以雙曲線的焦點坐標為，故A正確；對于B：雙曲線的漸近線方程為，故B錯誤；對于C：雙曲線C的離心率，故C正確；對于D：雙曲線C上的點到焦點的距離的最小值為，故D正確.故選：ACD.10.已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過定點B.直線l被圓C截得的最長弦長為10C.當時，直線l被圓C截得的弦長最短D.當時，圓C上恰有3個點到直線l的距離等于4【答案】AB【解析】對于A，直線的方程變形為：，令，解得，所以直線l恒過定點，故A正確；對于B，圓的圓心，半徑，當直線過圓心時，弦長最長為，故B正確；對于C，當時，弦長最短，此時，解得，故C錯誤；對于D，當時，直線：，此時圓心到直線的距離，而，所以當時，圓C上有4個點到直線l距離等于4，故D錯誤.故選：AB.11.已知公差不為等差數(shù)列的前項和為，，，則的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】設等差數(shù)列的公差為，則，其前項和為，，，則當時，，當時，，只需，可得，所以，，則，所以，，故選：BC.12.已知正四面體的棱長為2，點分別為和的重心，為線段上一點，則下列結論正確的是（）A.直線與所成角的大小為B.點到直線的距離為C.直線與平面間的距離為D.若平面，則三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】將正四面體放入正方體中，以點為原點，，，所在直線為軸，軸，軸，如圖所示，因為正四面體的長為2，所以正方體的棱長為，則，，，，因為點分別為和的重心，所以點的坐標為，點的坐標為所以，設，則，所以，所以，對于A，，則，所以直線與所成角的余弦值為，又直線與所成角的范圍為，所以直線與所成角的大小為，故A正確；對于B，，設直線所成的角為，則，所以，所以點到直線的距離為，故B正確；對于C，設平面的一個法向量為，因為，，所以，取，則，因為，且直線平面，所以直線平面，所以點到平面的距離就是直線到平面的距離，則點到平面的距離，即直線到平面的距離為，故C錯誤；對于D，因為平面，平面，所以，則，即，解得，則，設的重心為，則，故，則，所以，又平面，所以平面，又因為點為等邊三角形的重心，所以點為等邊三角形的外心，外接圓半徑為，則三棱錐外接球的球心在直線上，設三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則的公比為______.【答案】【解析】設等比數(shù)列的公比為，對任意的，，則，因為，則，可得，因為，解得，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.14.已知直線與互相平行，則這兩條直線間的距離是______.【答案】【解析】因為直線與平行，則，解得，所以，這兩條平行直線的方程分別為、，故這兩條平行間的距離為.故答案為：.15.如圖是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水面下降0.5米后，水面寬______米．【答案】【解析】如圖建立直角坐標系，設拋物線方程為，將代入，得，，代入，得，故水面寬為．故答案為：16.在棱長為的正方體中，點、分別是梭、的中點，是側面上的動點，且平面，則點的軌跡長為______，點到直線的距離的最小值為______.【答案】；【解析】以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，如下圖所示：則A0,0,0、、、，因為點是側面上的動點，設點，設平面的法向量為m=x,y,z，，，則，取，可得，且，因為平面，則，即，可得，分別取線段、的中點、，所以，點的軌跡為線段，故點的軌跡長為，，由，可得，，所以，點到直線的距離為，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，當時，取最小值，且.故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項和公式為（）．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和．解：（1）當時，，當時，，顯然時，，滿足要求，綜上，；（2），則，所以為等差數(shù)列，故；18.在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)的圖象與坐標軸的交點都在圓C上．（1）求圓C的方程；（2）若經(jīng)過點1,4的直線l被圓C截得的弦長為4，求直線l的方程．解：（1）令得與軸的交點為，令，即，解得，或，可得與軸的交點為，，設圓C的方程為，所以，解得，所以圓C的方程為；（2）圓C的方程為，圓心為，半徑為，當直線l的斜率不存在時，可得方程為，被圓C截得的弦長為，符合題意；當直線l的斜率存在時，設其方程為，即，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓C截得的弦長為，解得，直線l的方程為，即.綜上所述，直線l的方程為，或.19.如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面ABD夾角的余弦值．解：（1）由題意知，則，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；（2）作，垂足為E，在平面內過點E作，交于F，連接，則即為平面與平面ABD夾角或其補角，由題意知，，故，，又在中，，則，則，又平面，平面，故，則，故，即，在中，,故平面與平面ABD夾角的余弦值為．20.在平面直角坐標系中，動圓C經(jīng)過定點，且與定直線l：相切．（1）求動圓圓心C的軌跡方程；（2）經(jīng)過點F的直線與動圓圓心C的軌跡分別相交于A，B兩點，點P在直線l上且BP∥x軸，求證：直線AP經(jīng)過原點O．解：（1）設點與直線l：相切的切點為，則，即動點C到定點和定直線l：的距離相等，點C軌跡且以為焦點，以直線l：為準線的拋物線，，故動圓圓心C的軌跡方程是；（2）由題意，可知直線斜率不為0，設直線的方程為：，Ax1,聯(lián)立方程組，得，則，所以，則，所以，，所以直線AP經(jīng)過原點O．21.如圖，在多面體中，四邊形是正方形，，，M是的中點．（1）求證：平面平面；（2）若平面，，，點P為線段上一點，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．解：（1）因為，，所以四邊形為平行四邊形，故,又平面，平面,所以平面；連接交于N，連接，因為四邊形是正方形，故N為中點，M是的中點，在中，有，平面，平面,所以平面，且平面，平面,,所以平面平面.（2）如圖，建立空間直角坐標系，設，，則，又M是的中點，故,，因為，所以，解得，設，因點P為線段上一點，則，即，故，所以，又，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設直線與平面所成角為，則當時，設，，所以，當時，所以，當時，，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.22.已知橢圓的左、右焦點分別為、，為橢圓上一點，且，．（1）求橢圓的離心率；（2）已知直線與橢圓