安徽省部分地區(qū)2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省部分地區(qū)2025屆高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)，平面向量，數(shù)列，立體幾何與空間向量（），其余內(nèi)容（）.—、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】命題“”的否定是，故選：D2.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，因?yàn)?，所以，則.故選：A.3.已知平面，直線且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因，又，則，即“”是“”的充分條件；當(dāng)，時(shí)，不一定和l平行，還有可能異面，則“”不是“”的必要條件.則“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)榈慕K邊過點(diǎn)，所以，解得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：或.故選：C.5.已知向量，且向量與的夾角為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，則，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：C.6.已知兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，在兩個(gè)等差數(shù)列中，前項(xiàng)和分別是，，對(duì)于一般等差數(shù)列前項(xiàng)和為二次型函數(shù)：（為常數(shù)），∴設(shè)，，為常數(shù)∴，故選：B.7.如圖，在扇形OAB中，半徑，弧長為，點(diǎn)是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值是（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】連接，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接分別交，與點(diǎn)，連接如下圖所示：則,,此時(shí)的周長取得最小值，其最小值為的長度；因?yàn)樯刃蜲AB的弧長為，半徑為2，所以；根據(jù)對(duì)稱性可知，在中，由余弦定理可得，所以.即周長的最小值是.故選：D8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，且當(dāng)時(shí)，，若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，任取，且，則，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則，即.由，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，則，而，則，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，即.綜上所述，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.某超市隨機(jī)抽取了當(dāng)天100名顧客的消費(fèi)金額作為樣本，并分組如下：（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A.若該超市當(dāng)天總共有600名顧客，則消費(fèi)金額在（單位：元）內(nèi)的顧客約有180人B.若每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表，則樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是145元C.若用樣本估計(jì)總體，則該超市當(dāng)天消費(fèi)金額的中位數(shù)是100.8元D.現(xiàn)從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是【答案】BD【解析】因?yàn)?，所以，?duì)于A，所以消費(fèi)金額在內(nèi)的顧客約有人，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，樣本中消費(fèi)金額的平均數(shù)是元，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，設(shè)消費(fèi)金額的中位數(shù)是，前二組的頻率和為，前三組的頻率和為，所以在第三組，所以，所以元，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，第1組頻率，第2組頻率分別為，所以從樣本的第1，2組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取6人，第1組抽2人，第2組抽4人，所以從這6人中隨機(jī)抽取2人做進(jìn)一步調(diào)查，則抽到的2人的消費(fèi)金額都不少于50元的概率是，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.函數(shù)的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為D.【答案】ABD【解析】由圖可得，，，因，取，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，則，，即，故B正確；對(duì)于C，令或，得或，其中，分別取，得相鄰三個(gè)根為，則相鄰根的差值即的圖象與直線的相鄰兩交點(diǎn)間的距離為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則，故D正確.故選：ABD11.某興趣小組制作了一個(gè)直三棱柱容器（容器壁厚度忽略不計(jì)），其中，，則下列說法正確的是（）A.若四棱錐的體積為，則B.若三棱柱的外接球的表面積為，則三棱柱的側(cè)面積為30C.若，棱長為的正方體能被整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則的最大值為D.若，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（含邊界），且，則點(diǎn)的軌跡長度為【答案】ABD【解析】對(duì)于A,根據(jù)余弦定理，，則,如圖，過點(diǎn)作，垂足為，所以,因?yàn)橹比庵?，所以四棱錐的高為，所以，故A正確；對(duì)于B,設(shè)三棱柱的外接球的球心為,半徑為,分別為上底面和下底面外接圓的圓心，則為外接圓的半徑，如上圖，則,,所以,所以,所以三棱柱的側(cè)面積為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)閮?nèi)切圓的半徑為，又因?yàn)?，所以三棱柱能容納的最大的內(nèi)切球的半徑為，則棱長為的正方體能整體放入此容器且可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則棱長最大的正方體恰好是直徑為的球的內(nèi)接正方體，則，則的最大值為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在平面ABC內(nèi)作，垂足為H，由A的分析可知H落在CB的延長線上，且，由于平面，平面，故，又平面，故平面，平面,故，而，故，又，故P點(diǎn)軌跡為以H為圓心，3為半徑的圓在四邊形內(nèi)（含邊界）的圓弧MN，在中，，則，故弧MN的長為，即點(diǎn)的軌跡長度為，故D正確；故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_____________.【答案】1【解析】由題意，在中，，，故答案為：1.13.已知隨機(jī)變量，且正數(shù)滿足，則的最小值為_____________.【答案】9【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，正數(shù)滿足，有對(duì)稱性可知，即，所以；當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：914.已知實(shí)軸長為的雙曲線的漸近線為，、分別為的上、下焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的上、下兩支分別交于點(diǎn)、，且，則直線的斜率為_____________.【答案】【解析】因?yàn)閷?shí)軸長為的雙曲線的漸近線為，則，解得，所以，雙曲線的方程為，，如下圖所示：設(shè)，由雙曲線的定義可得，則，，所以，，所以，，由余弦定理可得，所以，，解得，所以，，所以，，當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，則，所以，，此時(shí)，直線的斜率為；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時(shí)，由對(duì)稱性可知，直線的斜率為.綜上所述，直線的斜率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖1，在矩形ABCD中，，將沿著BD翻折到的位置，得到三棱錐，且平面ABP，如圖2所示.（1）求證：平面平面ABD；（2）求直線AB與平面BPD所成角的正弦值.（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BP，平面ABP，可得，，由題意可知：，且，平面，可得平面，由平面ABD，所以平面平面ABD.（2）解：由題意可知：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)椋?，解得，所以直線AB與平面BPD所成角的正弦值為.16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為向量.（1）求的大小；（2）是邊BC上一點(diǎn)且AD平分，若的面積是，求的周長.解：（1）由，可得，再由三角形正弦定理角化邊得：，整理得：，再由余弦定理得：，又因?yàn)?，所?（2）由的面積公式得：，因?yàn)锳D平分，，，所以，化簡(jiǎn)得：，又由的面積是，則，解得：，所以，又由余弦定理得：，所以，即三角形的周長是.17.已知函數(shù)與分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且.（1）求函數(shù)與的解析式；（2）若對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由①，可得，所以②，①②可得，所以，①②可得，所以；（2）由（1）知，所以在上單調(diào)遞增，由，得，所以，當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以不等式變形為，令，所以，令，求導(dǎo)得，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列.（1）證明：因，則，則是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；（2）解：由（1），，則是以為首項(xiàng)，公差為1等差數(shù)列，則；（3）證明：由（2），，則，則.證明：假設(shè)數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)這三項(xiàng)項(xiàng)數(shù)為.其中，則，.設(shè)，則，得，注意到，，則.這與矛盾，則數(shù)列中不存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列.19.法國著名數(shù)學(xué)家拉格朗日給出一個(gè)結(jié)論：若函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)，使得，這就是拉格朗日中值定理，其中稱為在區(qū)間上的“拉格朗日中值”.已知函數(shù).（1）利用拉格朗日中值定理求函數(shù)在上的“拉格朗日中值”；（2）利用拉格朗日中值定理證明：函數(shù)上任意兩點(diǎn)連線的斜率不小于；（3）針對(duì)函數(shù)，請(qǐng)證明拉格朗日中值定理成立.（1）解：由題，，因，，則（負(fù)值舍去）；（2）解：由題，，設(shè)，設(shè)，則在R上單調(diào)遞增，注意到，則當(dāng)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，設(shè)函數(shù)上任意兩點(diǎn)為，則函數(shù)上任意兩點(diǎn)斜率的表達(dá)式為，由拉