解答題壓軸題閱讀理解探究題型（原卷版）

專題18解答題壓軸題閱讀理解探究題型(原卷版)

專題詮釋：閱讀理解探究題型以能力立意為目標綜合考核數(shù)學素養(yǎng)與數(shù)學應用能力，這類題目往往考核學

生的閱讀能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、表達能力、知識遷移能力。綜合性強，靈活性高，又具有

較強的區(qū)分度。近年來，閱讀理解探究性題型頻頻出現(xiàn)在全國各地的中考試題中。本專輯精選2022中考真

題，題目仍然偏多，想刪去一些，但又感覺每道題都具有特點，都很好。所以還請讀者自己根據(jù)自己的情

況選擇使用。

模塊一2022中考真題鏈接

類型一圖形的性質

1.(2022?淮安)在數(shù)學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究.如圖(1),在菱形N2CZ)

中，為銳角，￡為2c中點，連接。E,將菱形ABCD沿。E折疊，得到四邊形4?即，點/的對應

點為點4,點2的對應點為點

【觀察發(fā)現(xiàn)】

A'D與B'E的位置關系是；

【思考表達】

(1)連接3C,判斷NOEC與N8CE是否相等，并說明理由；

(2)如圖(2),延長DC交/彥于點G,連接EG,請?zhí)骄縉DEG的度數(shù)，并說明理由；

【綜合運用】

如圖(3),當/5=60°時，連接9C,延長DC交4夕于點G,連接EG,請寫出bC、EG、DG之間的

數(shù)量關系，并說明理由.

圖⑴圖⑵圖⑶

ABk

2.（2022?襄陽）矩形/BCD中，左=7（左＞1）,點E是邊5C的中點，連接4瓦過點E作的垂線

DC.Z

EF,與矩形的外角平分線C尸交于點?

【特例證明】

（1）如圖（1）,當人=2時，求證：AE=EFx

小明不完整的證明過程如下，請你幫他補充完整.

證明：如圖，在A4上截取連接昉；

,:k=2,

：.AB=BC.

VZB=90°,BH=BE,

/1=N2=45°,

:./AHE=180°-Zl=135°.

平分NDCG,ZDCG=90°,

1

.\Z3=~ZDCG=45°.

：.Z￡,CF=Z3+Z4=135O.

（只需在答題卡對應區(qū)域寫出剩余證明過程）

【類比探究】

（2）如圖（2）,當左W2時，求打的值（用含左的式子表示）；

EF

【拓展運用】

（3）如圖（3）,當左=3時，P為邊CD上一點，連接4P,PF,NP4E=45°,PF=運,求2C的

長.

3.(2022?寧夏)綜合與實踐

知識再現(xiàn)

如圖1,中，/ACB=90°,分別以2C、CA、N2為邊向外作的正方形的面積為&、的、邑.當

5*1=36,$3=100時，$2=.

問題探究

如圖，Rt4/8C中，ZACB=90°.

(1)如圖2,分別以2C、CA、48為邊向外作的等腰直角三角形的面積為S、￡2、S3,則⑼、S2、S3之

間的數(shù)量關系是.

(2)如圖3,分別以8C、CA.為邊向外作的等邊三角形的面積為晶、豆、S6,試猜想必、必、之

間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖1圖2圖3

實踐應用

(1)如圖4,將圖3中的△BCD繞點2逆時針旋轉一定角度至△2G8,繞點/順時針旋轉一定

角度至△/W,GH、兒W相交于點尸.求證：S△aw=S四邊形PMFG；

(2)如圖5,分別以圖3中Rt4/BC的邊8C、CA、為直徑向外作半圓，再以所得圖形為底面作柱

體，BC、04、N8為直徑的半圓柱的體積分別為力、為、匕.若/8=4,柱體的高〃=8,直接寫出匕+%

的值.

圖4圖5

4.(2022?朝陽)【思維探究】

(1)如圖1,在四邊形N8CD中，ZBAD=60°,Z5CZ>=120°,AB=AD,連接NC.求證BC+CD=

AC.

小明的思路是：延長CD到點￡,使DE=BC,連接/￡.根據(jù)/8/。+/8。。=180°,推得/8+//OC

=180°,從而得到然后證明從而可證8C+CD=/C,請你幫助小明寫

出完整的證明過程.

【思維延伸】

(2)如圖2,四邊形4BCD中，NBAD=NBCD=90°,AB=AD,連接/C,猜想2C,CD,ZC之間

的數(shù)量關系，并說明理由.

【思維拓展】

(3)在四邊形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,=痣,/C與8。相交于點。.若四邊形/BCD

中有一個內(nèi)角是75°,請直接寫出線段8的長.

圖1

5.（2022?蘭州）綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一些幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車害（wei）

范、芯組成的鑄型（如圖1）,它的端面是圓形.如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方

法將“矩”的直角尖端/沿圓周移動，直到在圓上標記HB,C三點；將“矩”向右旋轉，

使它左側邊落在8點上，“矩”的另一條邊與的交點標記為。點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離

的4,B,C,。四點，連接4D,2c相交于點。，即。為圓心.

圖1圖2

問題解決：（1）請你根據(jù)“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心。如

圖3,點4,B,C在O。上，ABLAC,且4B=/C,請作出圓心O.（保留作圖痕跡，不寫作法）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發(fā)，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法后發(fā)現(xiàn),

如果N8和/C不相等，用三角板也可以確定圓心。如圖4,點4B,C在上，AB±AC,請作出

圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發(fā)現(xiàn)古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的尺

規(guī)作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點4B,C是。。上任意三點，請用不帶刻度的直尺和

圓規(guī)作出圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：.

圖3圖4圖5

6.（2022?蘭州）綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在正方形/BCD中，￡是2c的中點，AELEP,￡尸與正

方形的外角/DCG的平分線交于尸點.試猜想NE與EP的數(shù)量關系，并加以證明；

【思考嘗試】

（1）同學們發(fā)現(xiàn)，取的中點R連接跖可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老師提出

的問題.

【實踐探究】

（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形/BCD中，E為

2C邊上一動點（點E,2不重合），是等腰直角三角形，/AEP=90°,連接CP,可以求出/DCP

的大小，請你思考并解答這個問題.

【拓展遷移】

（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點如圖3,在正方形/BCD中，

￡為8c邊上一動點（點E,8不重合），是等腰直角三角形，ZAEP=90°,連接DP知道正方

形的邊長時，可以求出周長的最小值.當42=4時，請你求出尸周長的最小值.

圖1圖2圖3

7.（2022?大連）綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：

如圖1,在△48C中，。是48上一點，NADC=NACB.求證N4BC.

獨立思考：（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究：（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.

“如圖2,延長C4至點￡,使CE=AD,5E與CD的延長線相交于點尸，點G,H分別在BF、2C上,

BG=CD,/BGH=/BCF.在圖中找出與瓦7相等的線段，并證明.”

問題解決：（3）數(shù)學活動小組同學對上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當NR4c=90°時，若給出△

/8C中任意兩邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標記的線段長均可求.該小組提出下面的問題，請你解

答.

“如圖3,在（2）的條件下，若/A4c=90°,48=4,NC=2,求的長.”

8.（2022?深圳）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形/BCD中，￡為ND邊上一點，將△/匹沿BE翻折到

△BEF處,延長即交CD邊于G點.求證：ABFG”ABCG；

（2）探究：如圖②，在矩形/BCD中，E為4D邊上一點，且/。=8,48=6.將沿BE翻折到

△BEF處,延長EF交邊于G點，延長8尸交CD邊于點，，且FH=CH,求/E的長.

（3）拓展：如圖③，在菱形48CD中，AB=6,E為CD邊上的三等分點，40=60°.將沿

/￡翻折得到△NFE,直線￡一交于點尸，求PC的長.

9.Q022?貴陽)小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.如圖，在D4BCD

,AD

中，/N為2C邊上的高，菰=加，點M在ND邊上，且氏4=8",點￡是線段上任意一點，連接

AIV

BE,將沿BE翻折得△F5E.

(1)問題解決如圖①，當4840=60°,將△48E沿BE翻折后，使點F與點M重合，則■=；

(2)問題探究：

如圖②，當N24D=45°,將△/5E沿翻折后，使EF〃BM,求NN2E的度數(shù)，并求出此時加的最

小值；

(3)拓展延伸：

當N24D=30°,將△/BE沿BE翻折后，若斯，4D,S.AE=MD,根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并

求出m的值.

圖①圖②備用圖

10.（2022?遵義）綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動，得出結論：對角互補的四邊形四個頂點共圓.該小組

繼續(xù)利用上述結論進行探究.

提出問題：

如圖1,在線段NC同側有兩點8,D,連接ND,AB,BC,CD,如果那么/,B,C,。四

點在同一個圓上.

探究展示：

如圖2,作經(jīng)過點/,C,。的。。，在劣弧/C上取一點E（不與/,C重合），連接CE,貝IJN/EC+

Z￡>=180°（依據(jù)1）

NB=/D

：.ZAEC+ZB=180°

...點N,B,C,￡四點在同一個圓上（對角互補的四邊形四個頂點共圓）

；.點B,。在點4C,￡所確定的。。上（依據(jù)2）

...點4,B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納：

（1）上述探究過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：；依據(jù)2：.

（2）如圖3,在四邊形N8CD中，Z1=Z2,Z3=45°,則/4的度數(shù)為.

拓展探究：

（3）如圖4,己知△N8C是等腰三角形，4B=/C,點。在2。上（不與2C的中點重合），連接4D.作

點C關于ND的對稱點E,連接￡8并延長交/。的延長線于尸，連接DE.

①求證：A,D,B,E四點共圓；

②若AB=2g,尸的值是否會發(fā)生變化，若不變化，求出其值；若變化，請說明理由.

11.（2022?赤峰）同學們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的

兩個圖形.受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

【問題一】如圖①，正方形N8CD的對角線相交于點。，點O又是正方形小的一個頂點，OAX

交于點￡,。0交于點尸，則NE與8尸的數(shù)量關系為；

【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線比、〃經(jīng)過正方形/BCD的對稱中心。，直線加

分別與5c交于點E、F,直線〃分別與42、8交于點G、H,且加若正方形488邊長為

8,求四邊形OE/G的面積；

【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形N2C。的邊CD上，

頂點￡在5c的延長線上，且8c=6,CE=2.在直線BE上是否存在點P,使尸為直角三角形？若

存在，求出3尸的長度；若不存在，說明理由.

圖①圖②

12.（2022?黔東南州）閱讀材料：小明喜歡探究數(shù)學問題，一天楊老師給他這樣一個幾何問題：

如圖1,△48C和△3DE都是等邊三角形，點N在DE上.

求證：以/E、AD、/C為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發(fā)現(xiàn)】（1）小明通過探究發(fā)現(xiàn)：連接。C,根據(jù)已知條件，可以證明DC=/￡,ZADC=UO°,

從而得出△ADC為鈍角三角形，故以/￡、AD、NC為邊的三角形是鈍角三角形.

請你根據(jù)小明的思路，寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】（2）如圖2,四邊形/BCD和四邊形2GFE都是正方形，點/在EG上.

①試猜想：以/小AG,/C為邊的三角形的形狀，并說明理由.

②若/￡2+/G2=10,試求出正方形/BCD的面積.

13.（2022?威海）回顧：用數(shù)學的思維思考

（1）如圖1,在△/2C中，AB^AC.

①AD,CE是△N2C的角平分線.求證：BD=CE.

②點。，￡分別是邊NC,N5的中點，連接50,CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

猜想：用數(shù)學的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學認為：在△NBC中，AB=AC,。為邊NC上一動點（不與點4,C重合）.對

于點。在邊NC上的任意位置，在另一邊上總能找到一個與其對應的點E,使得BD=CE.進而提出

問題：若點。，E分別運動到邊NC,N8的延長線上，8。與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

（2）如圖2,在△NBC中，AB=AC,點D,￡分別在邊NC,N8的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再

添加新的字母），使得BD=CE,并證明.

探究：用數(shù)學的語言表達

（3）如圖3,在△45C中，AB=AC=2,N/=36°,E為邊4B上任意一點（不與點/,3重合），F(xiàn)

為邊/C延長線上一點.判斷3尸與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.

14.（2022?河南）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

（1）操作判斷

操作一：對折矩形紙片N8CD,使/。與8c重合，得到折痕￡尸，把紙片展平；

操作二：在4D上選一點尸，沿AP折疊，使點/落在矩形內(nèi)部點〃處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當點〃在即上時，寫出圖1中一個30°的角：.

（2）遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：

將正方形紙片48co按照（1）中的方式操作，并延長尸“交CO于點0,連接8。.

①如圖2,當點M在E尸上時，ZMBQ=°,NCBQ=°；

②改變點P在/。上的位置（點尸不與點4。重合），如圖3,判斷/兒必。與/C8。的數(shù)量關系，并

說明理由.

（3）拓展應用

在（2）的探究中，己知正方形紙片4BCD的邊長為8CM,當尸。=1”;時，直接寫出4P的長.

￡j……F'圖:L

BCB^--------c

圖1圖23圖3

15.（2022?武漢）問題提出

如圖（1）,在△48C中，AB=AC,。是NC的中點，延長8c至點E，使DE=DB,延長交48于點

AF

F,探究二白的值.

/ID

問題探究

AF

（1）先將問題特殊化.如圖（2）,當NA4C=60°時，直接寫出了三的值；

/1￡）

（2）再探究一般情形.如圖（1）,證明（1）中的結論仍然成立.

問題拓展

CG1

如圖（3）,在△/2C中，AB^AC,。是/C的中點,G是邊2c上一點'-=-^n<2\延長8C至點

A￡的值（用含〃的式子表示）.

E,使。打=。6,延長ED交48于點F.直接寫出二

D

AA

AxA

BCEBCEBGCE

(1)(2)(3)

16.(2022?岳陽)如圖，△/5C和△QBE的頂點5重合，NABC=NDBE=90°,/BAC=/BDE=30°,

BC=3,BE=2.

AD

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當點。，E分別在上時，可以得出結論：—=，直線/。與

CE

直線CE的位置關系是；

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的△D8E繞點8順時針旋轉，使點。恰好落在線段/C上，連接EC,

(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展運用：如圖3,將圖1中的△D3E繞點2順時針旋轉a(19°<a<60°),連接EC,它

們的延長線交于點尸，當。尸=8￡時，求tan(60°-a)的值.

17.（2022?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,每個小正方形的頂點稱為格點，點4、B、

C、D、M均為格點.

【操作探究】

在數(shù)學活動課上，佳佳同學在如圖①的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫了兩條互相垂直的線段/2、CD,相

交于點P并給出部分說理過程，請你補充完整：

解：在網(wǎng)格中取格點E,構建兩個直角三角形，分別是△A8C和

1

在Rt448C中，tan/A4c=萬，

在Rt/XCDE中，,

所以XanZBAC=tanZDCE.

所以/BAC=/DCE.

因為N/CP+NDCE=N/CB=90°,

所以N/CP+NA4c=90°,

所以//PC=90°,

即ABLCD.

【拓展應用】

￡1）對圖②是以格點。為圓心，A8為直徑的圓，請你只用無刻度的直尺，在俞上找出一點尸，使

PM=AM,寫出作法，并給出證明；

（2）如圖③是以格點。為圓心的圓，請你只用無刻度的直尺，在弦48上找出一點尸.使

AB,寫出作法，不用證明.

圖①圖②圖③

18.(2022?蘇州)(1)如圖1,在△48C中，/ACB=2/B,CD平分//C3,交4s于點D,DE//AC,

交BC于點E.

3

①若?！?1,BD=~,求8C的長；

ABBE

②試探究1是否為定值.如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

/iULfC

(2)如圖2,NC3G和48CF是△/5C的2個外角，/BCF=2/CBG,CD平分/BCF,交48的延長

線于點D,DE//AC,交C2的延長線于點￡.記的面積為&,△CDE的面積為S2，△5DE的面

積為S3.若5「53=得%2,求cos/CAD的值.

19.(2022?湘潭)在△N8C中，/BAC=90°,AB^AC,直線/經(jīng)過點/,過點2、C分別作/的垂線，垂

足分別為點。、E.

(1)特例體驗：如圖①，若直線/〃2C,AB=AC=五,分別求出線段AD、CE和。E的長；

(2)規(guī)律探究：

(I)如圖②，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點/旋轉a(0<a<45°),請?zhí)骄烤€段3D、CE和。E的

數(shù)量關系并說明理由；

(II)如圖③，若直線/從圖①狀態(tài)開始繞點/順時針旋轉a(45°<a<90°),與線段8c相交于點

H,請再探線段2。、CE和。E的數(shù)量關系并說明理由；

20.(2022?陜西)問題提出

(1)如圖1,AD是等邊△4BC的中線，點P在4D的延長線上，且4P=/C,則N4PC的度數(shù)

為.

問題探究

(2)如圖2,在△N3C中，CA=CB=6,ZC=120°.過點/作⑷且4P=8C,過點尸作直線

ILBC,分別交48、8c于點。、E,求四邊形OEC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△NBC型板材，//C8為鈍角，NB4c=45：工人師傅想用這塊板材裁出一個

△48P型部件，并要求/8/P=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心，以C4長為半徑畫弧，交4B于點、D,連接CD；

②作CD的垂直平分線I,與CD交于點E；

③以點/為圓心，以NC長為半徑畫弧，交直線/于點尸，連接4P、BP,得A4BP.

請問，若按上述作法，裁得的△/8P型部件是否符合要求？請證明你的結論.

21（2022?樂山）華師版八年級下冊數(shù)學教材第121頁習題19.3第2小題及參考答案.

如圖，在正方形45cZ）中，CE工DF.求證：CE=DF.

證明：設C￡與。方交于點。，

??,四邊形48CZ）是正方形，

；?NB=NDCF=90°,BC=CD.

：.ZBCE+ZDCE=90°,

9：CE±DF,

：.ZCOD=9Q°.

：.ZCDF+ZDCE=90°.

：.ZCDF=ZBCE,

:?△CBE"ADFC.

：.CE=DF.

某數(shù)學興趣小組在完成了以上解答后，決定對該問題進一步探究.

【問題探究】

EG

如圖1,在正方形4BCZ）中，點￡、F、G、〃分別在線段43、BC、CD、DAk,_aEGLFH.試猜想

的值，并證明你的猜想.

【知識遷移】

如圖2,在矩形48co中，AB=m,BC=n,點、E、F、G、〃分別在線段/夙BC、CD、DA±,且EG

EG

LFH.則而=______-

【拓展應用】

如圖3,在四邊形NBC。中，ND4B=90°,ZABC^60°,AB=BC,點E、尸分別在線段/2、AD1.,

CE

且CEL即.求赤的值.

C

二

時BFCA

圖1圖2E圖3

O

BFC

22.(2022?泰安)問題探究

(1)在△48C中，BD,CE分別是N/8C與的平分線.

①若N/=60°,AB=AC,如圖1,試證明2C=CD+2E；

②將①中的條件"N8=NC”去掉，其他條件不變，如圖2,問①中的結論是否成立？并說明理由.

遷移運用

(2)若四邊形N8CD是圓的內(nèi)接四邊形，S.ZACB=2ZACD,ZCAD=2ZCAB,如圖3,試探究線段

AD,BC,/C之間的等量關系，并證明.

類型二圖形的變化

23.(2022?煙臺)【問題呈現(xiàn)】

如圖1,△48C和△/￡>￡都是等邊三角形，連接8D,CE.求證：BD=CE.

【類比探究】

BD

如圖△和△/￡)￡都是等腰直角三角形，NABC=NADE=90；連接請直接寫出芾

2,/2CRD,CE.CE

的值.

【拓展提升】

ABAD3

如圖3,△45。和△4DE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且左=7毛=了.連接5。，CE.

BCDE4

BD

(1)求7T的值；

CE

(2)延長CE交8。于點尸，交于點G.求sin/BFC的值.

24.（2022?連云港）【問題情境】

在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放.其中//C8=

NDEB=9Q°,/B=30°,BE=4C=3.

【問題探究】

小昕同學將三角板?！?繞點B按順時針方向旋轉.

（1）如圖2,當點E落在邊48上時，延長。E交2c于點下，求AF的長.

（2）若點C、E、。在同一條直線上，求點。到直線3c的距離.

（3）連接。C,取。C的中點G,三角板。即由初始位置（圖1）,旋轉到點C、B、。首次在同一條直

線上（如圖3）,求點G所經(jīng)過的路徑長.

（4）如圖4,G為。C的中點，則在旋轉過程中，點G到直線48的距離的最大值是.

（圖1）（圖2）（備用圖）

25.(2022?成都)如圖，在矩形/BCD中，AD=nAB點￡是/。邊上一動點(點￡不與4,。重

合)，連接BE,以為邊在直線3E的右側作矩形EAFG,使得矩形防9Gs矩形/BCD,EG交直線

CD于點H.

【嘗試初探】

(1)在點￡的運動過程中，與始終保持相似關系，請說明理由.

【深入探究】

(2)若〃=2,隨著E點位置的變化，〃點的位置隨之發(fā)生變化，當〃是線段CD中點時，求tan/4BE

的值.

【拓展延伸】

(3)連接8",FH,當△8777是以F”為腰的等腰三角形時，求tan/NBE的值(用含〃的代數(shù)式表

示).

26.（2022?濟寧）知識再現(xiàn)

如圖1,在RtZXZBC中，ZC=90°,/4,/B,NC的對邊分別為a,b,c,

ab

*.*sin4=sinB=-,

cc

ab

**CsinA9csinB'

ab

**sinAsinB

拓展探究

如圖2,在銳角中，N4,ZB,NC的對邊分別為a,b,c.

abc

請?zhí)叫?府航之間的關系，并寫出探究過科

解決問題

如圖3,為測量點/到河對岸點8的距離，選取與點N在河岸同一側的點C,測得/C=60〃z,NA=

75°,ZC=60°.請用拓展探究中的結論，求點/到點3的距離.

類型三函數(shù)

27.（2022?阜新）當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化.下面是關于

“一次函數(shù)圖象平移的性質”的探究過程，請補充完整.

（1）如圖1,將一次函數(shù)y=x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移了個單

位長度；

（2）將一次函數(shù)產(chǎn)-2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）

平移了個單位長度；

（3）綜上，對于一次函數(shù)（k手0）的圖象而言，將它向下平移加（m>0）個單位長度，相當于

將它向（填“左”或“右”）（左>0時）或將它向（填“左”或“右”）（上<0時）平移

了n（M>0）個單位長度，且加，n,左滿足等式.

y八

O

備用圖

28.（2022?襄陽）探究函數(shù)性質時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概

6

括函數(shù)性質的過程.結合已有經(jīng)驗，請畫出函數(shù)＞=由-網(wǎng)的圖象，并探究該函數(shù)性質.

（1）繪制函數(shù)圖象

①列表：下列是X與/的幾組對應值，其中.

X......-5-4-3-2-112345......

y......-3.8-2.5-1155a-1-2.5-3.8......

②描點：根據(jù)表中的數(shù)值描點（x,y）,請補充描出點（2,。）；

③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數(shù)圖象；

（2）探究函數(shù)性質

6

請寫出函數(shù)夕=荷-兇的一條性質：:

（3）運用函數(shù)圖象及性質

6

①寫出方程函—忖=5的解；

6

②寫出不等式由-|x|Wl的解集.

29.（2022?濰坊）為落實“雙減”，老師布置了一項這樣的課后作業(yè)：

二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1,-1）,且不經(jīng)過第一象限，寫出滿足這些條件的一個函數(shù)表達式.

【觀察發(fā)現(xiàn)】

請完成作業(yè)，并在直角坐標系中畫出大致圖象.

【思考交流】

小亮說：“滿足條件的函數(shù)圖象的對稱軸一定在y軸的左側.”

小瑩說：“滿足條件的函數(shù)圖象一定在x軸的下方

你認同他們的說法嗎？若不認同，請舉例說明.

【概括表達】

小博士認為這個作業(yè)的答案太多，老師不方便批閱，于是探究了二次函數(shù)y=a/+6x+c的圖象與系數(shù)a,

b,c的關系，得出了提高老師作業(yè)批閱效率的方法.

請你探究這個方法，寫出探究過程.

力

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一寸——4-i.11

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1

1F—丁211

1,111

11111

11111

1L

??—311

!；；11

30.（2022?鄂州）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究＞="2（a＞0）型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)如圖1

11

所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0,—）的距離龍?zhí)?，始終等于它到定直線/：y=-1的距離

1

兒W（該結論不需要證明），他們稱：定點尸為圖象的焦點，定直線/為圖象的準線，＞=-丁叫做拋物線

qa

1

的準線方程.其中原點。為FH的中點，F(xiàn)H=2OF=丁.

2a

1、11

例如：拋物線＞=牙2,其焦點坐標為尸（0,-）,準線方程為/：j=--.其中MF=ACV,FH=2OH=

1.

【基礎訓練】

（1）請分別直接寫出拋物線＞=2/的焦點坐標和準線/的方程：,.

【技能訓練】

一1C一

（2）如圖2所示，已知拋物線＞=訶2上一點尸到準線/的距離為6,求點尸的坐標；

【能力提升】

（3）如圖3所示，已知過拋物線y=a/（a＞0）的焦點廠的直線依次交拋物線及準線/于點/、B、

C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

【拓展升華】

（4）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條

線段分為兩段/C和C2,使得其中較長一段/C是全線段N3與另一段C2的比例中項，即滿足：

藐AC=7B7C=四A/5—后1人把吟V5—1I這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點C稱為線段48的黃金分割點.

AD/iCzz

一1c

如圖4所示，拋物線》=矛2的焦點尸（0,1）,準線/與V軸交于點H（0,-1）,E為線段的黃金

圖I圖2圖3圖4

C4x2（-l<%<0）

31.（2022?荊州）小華同學學習函數(shù)知識后，對函數(shù)y=4）,々.蕭、。、通過列表、描點、連線，畫

（一歹（久W_1或久>0）

出了如圖1所示的圖象.

X…-4-3-2-131101234???

~4~2~4

…???

y14249110-4-24-1

344-3

請根據(jù)圖象解答:

（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】

①寫出函數(shù)的兩條性質：；；

②若函數(shù)圖象上的兩點（龍1，為），（必，了2）滿足町+犯=0,則為+了2=。一定成立嗎？.（填“一

定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如圖2,將過/（-1,4）,8（4,-1）兩點的直線向下平移〃個單位長度后，得到

4

直線/與函數(shù)>=一嚏（xW-1）的圖象交于點尸，連接尸/,PB.

①求當〃=3時，直線/的解析式和△尸48的面積；

②直接用含n的代數(shù)式表示△P48的面積.

圖I圖2

模塊二2023中考押題預測

32.(2023?廬陽區(qū)校級一模)【問題提出】如圖1,42為的一條弦，點C在弦N5所對的優(yōu)弧上運動時，

根據(jù)圓周角性質，我們知道N/C2的度數(shù)不變.愛動腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線段N3的長度已知,

/ACB的大小確定，那么點C是不是在某個確定的圓上運動呢？

【問題探究】為了解決這個問題，小芳先從一個特殊的例子開始研究.如圖2,若N8=4,線段上方

一點C滿足/ZC3=45°,為了畫出點C所在的圓，小芳以48為底邊構造了一個Rt4/03,再以點。

為圓心，0/為半徑畫圓，則點。在O。上.后來小芳通過逆向思維及合情推理，得出一個一般性的結

論.即：若線段的長度已知，NNC8的大小確定，則點C一定在某一個確定的圓上，即定弦定角必

定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型.

【模型應用】

(1)若48=6,平面內(nèi)一點C滿足//C5=60°,若點C所在圓的圓心為O,則//。2=,劣

弧的長為.

(2)如圖3,已知正方形48CD以48為腰向正方形內(nèi)部作等腰△48E,其中過點￡作即，

4B于點尸,若點尸是△/所的內(nèi)心.

①求N2PE的度數(shù);

圖1圖2圖3

33.(2023?徐州一模)綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

(1)操作判斷：

操作一：如圖1,對折矩形紙片/BCD,使/。與3C重合，得到折痕￡尸，把紙片展平；

操作