廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測試（12月）數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁南海區(qū)2027屆高一上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3，非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根據(jù)交集含義即可.【詳解】，則.故選：B.2.設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，寫出結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)槊}，所以.故選：D.3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】易知單調(diào)遞增，，f2所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C.4.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】因?yàn)槭荝上增函數(shù)，所以，即，又是上單調(diào)遞增函數(shù)，，即，.故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.5 B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解析式算出答案即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】借助函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)值的正負(fù)，利用排除法即可得.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，即的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故AC錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以fx=xex故只有選項(xiàng)B符合題意.故選：B.7.人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級，聲音的等級（單位：dB）與聲音強(qiáng)度（單位：滿足.一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級約為54dB，在有40人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍，則老師聲音的等級約為（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】【分析】利用題中給出函數(shù)模型，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度為，則，即，所以，即老師聲音的等級約為63dB.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，若，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造，根據(jù)題意得在上單調(diào)遞增，再由題意轉(zhuǎn)化即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，有恒成立，即有，即，即f(x1)?2令，不妨設(shè)，可得則可得，即，所以是上單調(diào)遞增函數(shù)，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，所以，不等式，即，所以，所以滿足的的取值范圍為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.下列條件中可以作為“”的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.或【答案】ACD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，再對比選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)該條件所表示的集合為，因?yàn)槠涫恰啊钡囊粋€(gè)必要不充分條件，則.對比選項(xiàng)知ACD，符合題意，B不合題意.故選：ACD.10.已知，為非零實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷BC選項(xiàng)，利用特值法可判斷AD選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，由，又，所以a2+即a2+b22C選項(xiàng)：由函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，，a?1>b?1，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：BC.11.若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，使均在函數(shù)的定義域內(nèi)，且滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題中性質(zhì)的定義，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，的定義域?yàn)镽，且，所以，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)镽，取，，則，則，即，故B正確；對于C，假設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，則存在，，使得，即，，即，若，則，即，即這與矛盾；若，不妨設(shè)，則可得，即，解得，則，故C正確；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，取，則，所以，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】6【解析】【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式可得解.【詳解】.故答案為：.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，寫出滿足條件的實(shí)數(shù)的一個(gè)值__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】通過取，如或，得出，再利用基本函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】取，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以滿足題意，取，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以滿足題意，故答案為：（答案不唯一）.14.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，函數(shù)與y=fx的圖象均關(guān)于直線對稱，由對稱性求解即可.【詳解】由滿足，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與y=fx的圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，，即，解得.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解不等式可得集合，從而進(jìn)行各集合間的運(yùn)算；（2）由可知，根據(jù)集合間的關(guān)系，分情況列不等式，解不等式組即可.【小問1詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，，則，又或，所以；【小問2詳解】由可知，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，綜上所述，即.綜上所述，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.給定函數(shù)，.（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；（2），用表示，中的最大者，記為，求不等式的解集.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)與分段函數(shù)的圖像得出答案；（2）根據(jù)圖像求出的解析式，然后分類討論求解即可【小問1詳解】【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以不等式的解集為17.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明；（3）解不等式.【答案】（1）（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，建立方程，可得答案；（2）在給定區(qū)間內(nèi)任意取，利用作差法，結(jié)合單調(diào)性的定義，可得答案；（3）根據(jù)偶函數(shù)與單調(diào)性化簡不等式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，可得答案.【小問1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即.所以，解得.【小問2詳解】任取，則.因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且，所以.又，所以.所以，即，因此在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】由，且為偶函數(shù)，可得.由（2）可知在上單調(diào)遞增，所以.所以或，所以不等式的解集為.18.學(xué)校和學(xué)校相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在學(xué)校外以為直徑的半圓弧（不含，兩點(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造一家污水處理廠.其對學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離有關(guān)，對學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為1；對學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對學(xué)校和學(xué)校的總影響度為學(xué)校和學(xué)校的影響度之和.記點(diǎn)到學(xué)校的距離為km，建在處的污水處理廠對學(xué)校和學(xué)校的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，對學(xué)校和學(xué)校的總影響度為0.085.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷半圓?。ú缓?，兩點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的污水處理廠對學(xué)校和學(xué)校的總影響度最?。咳舸嬖冢蟪鲈擖c(diǎn)到學(xué)校的距離，以及總影響度的最小值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可知，，再根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，再代入數(shù)據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用換元法，基本不等式求函數(shù)的最值.【小問1詳解】由為直徑，得，所以，由已知得，又當(dāng)垃圾處理廠是的中點(diǎn)時(shí)，對城和城的總影響度為，即時(shí)，，代入上式得，解得，所以表示成的函數(shù)為：；【小問2詳解】，令，，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以，當(dāng)時(shí)，等號成立，所以弧上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)到城的距離為km時(shí)，建在此處的垃圾處理廠對城市和城的總影響度最小為.19.已知正實(shí)數(shù)集，定義稱為的商集，用來表示集合中元素的個(gè)數(shù).（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）15.（3），證明見解析【解析】【分析】（1）由集合新定義直接求出即可；（2）分、討