安徽省縣中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（B）

第1頁/共1頁2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期高二12月聯(lián)考數(shù)學(xué)（B卷）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，則9是該數(shù)列的（）A.第42項(xiàng) B.第41項(xiàng) C.第9項(xiàng) D.第8項(xiàng)【答案】B【解析】【分析】由遞推得到通項(xiàng)公式，然后計算即可.【詳解】由已知數(shù)列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，則數(shù)列的第項(xiàng)為，令，解得，所以9是該數(shù)列的第41項(xiàng).故選：B.2.過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接設(shè)直線的一般式方程，然后把點(diǎn)代入方程即可求解.【詳解】設(shè)與直線垂直的直線方程是，代入點(diǎn)，得，解得，所以所求的直線方程是.故選：A3.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)1,f1處的切線方程為，則（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析求解即可.【詳解】因?yàn)榍芯€方程為，可知當(dāng)時，，且切線斜率為3，即，，所以.故選：C.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)可得答案.【詳解】在中取得，故，所以.故選：A.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.外切 C.外離 D.內(nèi)切【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得到的軌跡表示圓心為，半徑為的圓，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】，得，則，整理得，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心為，半徑，兩圓的圓心距為，滿足，所以兩個圓外離.故選：C.6.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.單調(diào)減區(qū)間是 B.是極大值點(diǎn)C.沒有最大值 D.最多能有四個零點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】利用給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再逐一分析各個選項(xiàng)即可.【詳解】由圖可知：當(dāng)或時，f′x<0，當(dāng)或時，f′x因此函數(shù)在和0,4上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上不單調(diào)，A錯誤；不是極值點(diǎn)，B錯誤；函數(shù)在處取得極大值，當(dāng)不小于函數(shù)在，上的所有函數(shù)值時，函數(shù)有最大值，C錯誤；當(dāng)，，，且函數(shù)在，上的圖象都與軸相交時，函數(shù)在，，0,4，上各有1個零點(diǎn)，共有4個零點(diǎn)，因此最多能有四個零點(diǎn)，D正確.故選：D.7.在直三棱柱中，，，若點(diǎn)滿足，其中，則直線與平面所成角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可求線面角的正弦值.【詳解】分別取，中點(diǎn)，，則，即平面，連接，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，，，，，則，，因?yàn)?，，，易知平面的一個法向量是，設(shè)直線與平面所成角為，，則，所以時，，即的最大值是.故選：B.8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可設(shè)直線解析式為，，，聯(lián)立拋物線與所設(shè)直線，可得與交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題意計算即可得直線縱截距，則可得點(diǎn)的軌跡方程，即可得的取值范圍.【詳解】由，兩點(diǎn)在拋物線上，所以可以設(shè)點(diǎn)，，則，由直線交于，兩點(diǎn)，故直線不與軸平行或重合，故可設(shè)直線解析式為，聯(lián)立，得，，所以，解得，所以直線與軸的交點(diǎn)為，由，關(guān)于直線對稱，所以，且點(diǎn)不與點(diǎn)重合，故可知的軌跡方程為：（不經(jīng)過原點(diǎn)），所以，，即.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A. B.是的一個極值點(diǎn)C.在上的平均變化率為1 D.在處的瞬時變化率為2【答案】BD【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值點(diǎn)的概念及平均變化率、瞬時變化率的算法逐項(xiàng)求解即可.【詳解】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，由，所以A錯誤；因?yàn)?，?dāng)時，，且時，f′x>0，時，f′x<0，故由在上的平均變化率為，所以C錯誤；因?yàn)?，?dāng)時，，所以D正確.故選：BD.10.已知橢圓的長軸長為，離心率為，設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為定值，則（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.C.D.若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)離心率求橢圓方程可判斷A；設(shè)Px0,y0，依題意得，得恒成立可判斷BC【詳解】對于A，由題意，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A正確；對于BC，設(shè)Px0,y0所以，所以恒成立，可得且，且，顯然，解得，，B錯誤，C正確；對于D，由，解得，或，所以交點(diǎn)為，，則，D正確.故選：ACD.11.如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，為內(nèi)部一動點(diǎn)（不包含邊界），過分別作平面、平面、平面的垂線，垂足分別為，，.則（）A.直線與直線是異面直線B.為定值C.三棱錐的外接球表面積的最小值為D.當(dāng)時，平面與平面的夾角為【答案】BC【解析】【分析】選項(xiàng)A,找一一特殊位置中心，然后判斷即可；選項(xiàng)B，利用等體積法判斷即可；選項(xiàng)C，三棱錐的三條棱兩兩垂直，可以補(bǔ)成一個長方體，長方體的體對角線為其外接球直徑，然后計算即可；選項(xiàng)D，建立空間直角坐標(biāo)系，然后找到所需點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計算即可.【詳解】對于B，設(shè)，，，由題意，即，所以，即為定值，故B正確；對于C，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，由題意可知，，兩兩垂直，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為，即的最小值為，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，故C正確；對于D，如圖，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，,因?yàn)椋?，此時，為的中心，，，，因?yàn)?，，平面，所以平面，故即為平面的一個法向量，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，，則，所以平面與平面夾角的余弦值為，故D錯誤；由D可知，當(dāng)為的中心時，，則，所以，所以直線與直線共面，故A錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，若，則______.【答案】##【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【詳解】由，得，所以.故答案為：.13.已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，利用點(diǎn)差法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和離心率的定義求解即可；【詳解】設(shè)，，可得，，兩式相減可得，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，且直線，可得，，，即有，即，，，故雙曲線的離心率為.故答案為：2.14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若對任意實(shí)數(shù)，，且當(dāng)時，，則不等式的解集為______.【答案】【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并分析該函數(shù)的奇偶性，將所求不等式變形為，可得出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式，解之即可.【詳解】令，則，由題意可得當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，由，則，即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，則不等式可化為，即，即，則有，即，即，即，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)不等式的思路如下：（1）先分析出函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞恐g的關(guān)系，并注意定義域；（3）求解關(guān)于自變量的不等式，從而求解出不等式的解集.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出線段的中垂線方程，求出圓心坐標(biāo)及半徑即可；（2）按切線斜率存在與否，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求出切線方程.【小問1詳解】線段的中點(diǎn)2,1，直線的斜率，則線段的中垂線方程為，即，由，解得，，因此圓的圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】點(diǎn)到直線的距離為2，即直線與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由，解得，因此方程為，所以經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)計算即可求解；（2）由（1）得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計算可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，.因?yàn)闀r，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；【小問2詳解】，所以.因?yàn)椋裕謹(jǐn)?shù)列是遞增數(shù)列，所以，所以.17.已知函數(shù)的兩個極值點(diǎn)分別為2，3.（1）求，的值，并求出函數(shù)的極值；（2）已知，求證：不等式在上恒成立.【答案】（1），極大值為，極小值為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用極值點(diǎn)得到方程組，求出參數(shù)取值，再進(jìn)行檢驗(yàn)是否滿足題意，進(jìn)而求出極值；（2）把原不等式化簡后得到，分和兩種情況，分類討論來證明最小值恒大于0.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個極值點(diǎn)分別為2，3，所以解得此時，.所以當(dāng)時，f′x>0，當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)故函數(shù)在0,2，上單調(diào)遞增，在2,3上單調(diào)遞減，滿足的兩個極值點(diǎn)分別為2，3，極大值點(diǎn)為2，極小值點(diǎn)為3，所以函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問2詳解】證明：等價于，即，令，則，若，則?′x>0恒成立，?x所以；若，令，得，當(dāng)時，?′x當(dāng)時，?′x故?x上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以?x極小值為，也是最小值.令，，則，所以在上單調(diào)遞減，.綜上所述，在x∈0,+∞即不等式在x∈0,+∞上恒成立【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖像確定條件.18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，且.（1）求的方程；（2）若點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，直線交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.①記，的面積分別為，，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若直線交于另外一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）（2）①或；②是，【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，即可求解；（2）①設(shè)，直線：，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消得到，進(jìn)而可得，再結(jié)合條件，即可求解；②設(shè)直線：，聯(lián)立雙曲線方程，求得，，結(jié)合①中結(jié)果，可求直線的方程，進(jìn)而判斷直線恒過定點(diǎn)，即可求解.【小問1詳解】由題意知解得，，所以的方程為.【小問2詳解】由題意可知，A?2,0，，設(shè)，